GEOMETRIA PIANA.

Presentazione sul tema: "GEOMETRIA PIANA."— Transcript della presentazione:

1 GEOMETRIA PIANA

2 Il vertice, nella geometria piana è:
il punto di incontro di due lati di un poligono (triangolo, quadrilatero, ecc). il punto di incontro di due semirette, che formano un angolo (vertice dell'angolo);

3 L’ANGOLO Prendiamo DUE SEMIRETTE  a  e b che abbiano la stessa STESSA ORIGINE O, che non siano appartenenti alla stessa retta e che giacciano su uno STESSO PIANO. Possiamo notare che le due semirette dividono il piano in due parti (colorate con tonalità diverse). Ognuna di queste due parti, nelle quali risulta diviso il piano, prende il nome di ANGOLO. Quindi possiamo dire che l'ANGOLO è la PARTE DI PIANO LIMITATA da DUE SEMIRETTE aventi la STESSA ORIGINE. Le due SEMIRETTE  a e b rappresentano i due LATI dell'angolo. L'ORIGINE delle due SEMIRETTE, O, è il VERTICE dell'angolo. La PARTE DI PIANO contenute nell'angolo è detta AMPIEZZA DELL'ANGOLO. Per indicare l'angolo che abbiamo disegnato si indica: prima la lettera a che indica una semiretta; poi la lettera O che indica il vertice. Il vertice viene contraddistinto da un accento circonflesso Ô; poi la lettera b che indica l'altra semiretta. Il nostro angolo si scriverà: aÔb.

4 ANGOLO PIATTO – GIRO - NULLO
Disegniamo un angolo i cui lati siano due semirette opposte. L'angolo così formato: aÔb prende il nome di ANGOLO PIATTO. L’angolo piatto non è né un ANGOLO CONCAVO, né un ANGOLO CONVESSO.  L'ANGOLO PIATTO misura 180°. Ora disegniamo un angolo i cui lati coincidono: (si legge “la linea a coincide con la linea b) L'angolo così formato: aÔb prende il nome di ANGOLO GIRO. L'ANGOLO GIRO misura 360°. “Quindi possiamo dire che l'ANGOLO GIRO è DOPPIO dell'ANGOLO PIATTO o anche che  l'ANGOLO PIATTO è la META' dell'ANGOLO GIRO” Notiamo che l’angolo giro è un angolo concavo. Infatti, esso contiene i prolungamenti dei suoi lati. L’angolo convesso in questo caso è l'ANGOLO NULLO che non contiene i prolungamenti dei suoi lati: L'ANGOLO NULLO misura 0°.

5 ANGOLI CONSECUTIVI – ADIACENTI
Abbiamo disegnato due angoli: l'angolo aÔb; l'angolo bÔc. Osserviamo che i due angoli hanno lo stesso vertice O e che uno dei lati (il lato b) è comune ad entrambi gli angoli, mentre gli altri due lati (a e c) si trovano dalla parte opposta rispetto al lato comune (b). I due ANGOLI si dicono CONSECUTIVI. Anche in questo caso abbiamo disegnato due angoli: l'angolo dÔe; l'angolo eÔf. Osserviamo che i due angoli hanno lo stesso vertice O, che uno dei lati (il lato e) è comune ad entrambi gli angoli, mentre gli altri due lati (d e f) si trovano dalla parte opposta rispetto al lato comune (e). Quindi anche questi due ANGOLI sono CONSECUTIVI. Però notiamo anche che i due lati non comuni (d e f) APPARTENGONO AD UNA STESSA RETTA. In questo caso i due ANGOLI si dicono ADIACENTI.

6 ANGOLI CONCAVI – CONVESSI
Le due semirette a e b formano due angoli, uno evidenziato con il colore ARANCIO e l'altro con il colore MARRONE. Ora ci concentriamo su quest'ultimo angolo, quello indicato nella figura in MARRONE. Disegniamo i prolungamenti dei lati dell'angolo, ovvero i PROLUNGAMENTI di a e b e chiamiamo tali prolungamenti a' eb‘. Osserviamo che le semirette a' e b' sono contenute nell'angolo disegnato. Per questa ragione tale angolo si dice CONCAVO. Quindi possiamo affermare che: Un angolo si dice CONCAVO  quando contiene i prolungamenti  dei suoi lati.  In caso contrario si dice CONVESSO.

7 ANGOLI COMPLEMENTARI, SUPPLEMENTARI, ESPLEMENTARI
Consideriamo due angoli, l'angolo Alfa e l'angolo Beta. Come possiamo osservare la SOMMA dei due angoli dati è un ANGOLO RETTO. I due angoli Alfa e Beta si dicono, in questo caso, ANGOLI COMPLEMENTARI. Consideriamo ora i seguenti angoli. Come possiamo osservare la SOMMA dei due angoli è un ANGOLO PIATTO. I due angoli Alfa e Beta si dicono, in questo caso, ANGOLI SUPPLEMENTARI. Infine consideriamo i seguenti angoli. Come possiamo osservare la SOMMA dei due angoli è un ANGOLO GIRO. I due angoli Alfa e Beta si dicono, per questa ragione, ANGOLI ESPLEMENTARI.

8 Poiché l'ANGOLO RETTO è la metà di un ANGOLO PIATTO 
e quest'ultimo è, a sua volta, la metà dell'ANGOLO GIRO, è evidente che l'ANGOLO RETTO è la QUARTA PARTEdell'ANGOLO GIRO. Un angolo MINORE dell'ANGOLO RETTO si dice ANGOLO ACUTO Un angolo MAGGIORE dell'ANGOLO RETTO si dice ANGOLO OTTUSO

9 BISETTRICE DI UN ANGOLO
la BISETTRICE DI UN ANGOLO è la SEMIRETTA che ha per ORIGINE il VERTICE dell'angolo e che divide l'angolo in DUE PARTI UGUALI.

10 IL POLIGONO In geometria un poligono è una figura geometrica piana delimitata da una linea spezzata chiusa. I segmenti che compongono la spezzata chiusa si dicono lati del poligono e i punti in comune a due lati consecutivi si dicono vertici del poligono.

11 Una prima classificazione di un POLIGONO riguarda il suo numero di lati
3 Triangolo 4 Quadrilatero 5 Pentagono 6 Esagono 7 Ettagono 8 Ottagono 9 Ennagono 10 Decagono 11 Endecagono 12 Dodecagono 13 Tridecagono 14 Tetradecagono 15 Pentadecagono 16 Esadecagono 17 Eptadecagono 18 Ottadecagono 19 Ennadecagono 20 Icosagono 21 Endeicosagono 22 Doicosagono 23 Triaicosagono 24 Tetraicosagono 25 Pentaicosagono 26 Esaicosagono 30 Triacontagono 50 Pentacontagono 257 257-gono 1 000 Chiliagono 10 000 Miriagono 65537 65537-gono

12 POLIGONO SEMPLICE - COMPLESSO
Un poligono è: semplice se i lati del poligono non si intersecano. complesso (o intrecciato) se non è semplice.

13 POLIGONO CONVESSO - CONCAVO
Disegniamo due POLIGONI: il poligono ABCDE e il poligono FGHIL. Entrambi i poligono disegnati hanno 5 lati, quindi entrambi sono dei PENTAGONI. Eppure è molto evidente che i due poligoni sono profondamente diversi l'uno dall'altro. Esaminiamo il primo poligono ABCDE: Come possiamo notare, disegnando i PROLUNGAMENTI di tutti i LATI del poligono, essi sono TUTTI ESTERNI al poligono stesso. In questo caso il POLIGONO si dice CONVESSO. Ora esaminiamo il secondo poligono FGHIL: Come possiamo notare, disegnando i PROLUNGAMENTI di tutti i LATI del poligono, alcuni sono ESTERNI al poligono stesso, mentre altri sono INTERNI. In questo caso il POLIGONO si dice CONCAVO. Ricapitolando: se il PROLUNGAMENTO di TUTTI i LATI sono ESTERNI al poligono, esso si dice CONVESSO (ogni angolo interno è minore o uguale a un angolo piatto); se il PROLUNGAMENTO di QUALCHE LATO è INTERNO al poligono, esso si dice CONCAVO (anche un solo angolo interno è maggiore di 180°). Quando non è diversamente indicato si fa riferimento a poligoni convessi.

14 SOMMA DEGLI ANGOLI INTERNI DI UN POLIGONO
Generalizzando, se indichiamo con n il numero di lati di un poligono (e dunque anche il numero di angoli) la SOMMA DEGLI ANGOLI INTERNI è pari a:  SI = (n-2) x 180°

15 DIAGONALE DI UN POLIGONO
Consideriamo il POLIGONO ABCDE. Ora prendiamo il VERTICE B e scegliamo un altro VERTICE del poligono, uno qualsiasi, purché NON CONSECUTIVO. Ricordiamo che due vertici si dicono consecutivi quando APPARTENGONO AD UNO STESSO LATO. Quindi, nel nostro esempio, possiamo scegliere qualsiasi altro vertice ad eccezione di A e C. Scegliamo, ad esempio, il vertice E: Quindi disegniamo il SEGMENTO che unisce i PUNTI B ed E. Quella che abbiamo disegnato si chiama DIAGONALE del poligono. Ovviamente possiamo fare la stessa cosa con ciascun vertice e i suoi vertici non consecutivi. Abbiamo così disegnato tutte le diagonali del nostro poligono. Generalizzando possiamo affermare che si dice DIAGONALE di un poligono, ogni SEGMENTO che UNISCE DUE dei suoi VERTICI NON CONSECUTIVI.

16  POLIGONO NUMERO DIAGONALI TRIANGOLO: NESSUNA DIAGONALE QUADRILATERO: DUE DIAGONALI PENTAGONO: CINQUE DIAGONALI ESAGONO: NOVE DIAGONALI OTTAGONO: VENTI DIAGONALI

17 QUADRILATERI Un QUADRILATERO è un POLIGONO che ha QUATTRO LATI e QUATTRO ANGOLI. I QUADRILATERI possono essere classificati a seconda delle caratteristiche dei loro LATI e dei loro ANGOLI. Il PARALLELOGRAMMAche ha QUATTRO ANGOLI CONGRUENTI e QUATTRO LATI CONGRUENTI, prende il nome di QUADRATO. Il PARALLELOGRAMMAche ha QUATTRO ANGOLI CONGRUENTI, cioè di uguale ampiezza, prende il nome di RETTANGOLO. Il PARALLELOGRAMMAche ha QUATTRO LATI CONGRUENTI, cioè aventi tutti la stessa lunghezza, prende il nome di ROMBO.

18 QUADRILATERI Il quadrilatero con 1 COPPIA di LATI OPPOSTI PARALLELI si dice TRAPEZIO. Il TRAPEZIO che ha ENTRAMBE le COPPIE DI LATI OPPOSTI PARALLELI  e CONGRUENTI prende il nome di PARALLELOGRAMMA. Il quadrilatero con 2 COPPIE di LATI CONSECUTIVI CONGRUENTI si dice DELTOIDE. Il quadrilatero con 4 LATI GENERICI, cioè senza particolari proprietà, si dice QUADRILATERO SCALENO.

19 AREA DEL RETTANGOLO L'AREA del RETTANGOLO è uguale al PRODOTTO della BASE per l'ALTEZZA. A = b x h dove A é l'area del rettangolo, b è  la base, h è l'altezza. Disegniamo il RETTANGOLO ABCD: la cui base AB misura 6 cm e la cui altezza AD misura 4 cm. Moltiplichiamo la base del rettangolo (6 cm) per la sua altezza (4 cm). Infatti: 6 cm x 4 cm = 24 cm2. L'AREA del rettangolo misura 24 cm2. Quindi possiamo affermare che l'AREA del RETTANGOLO è uguale al PRODOTTO della BASE per l'ALTEZZA.

20 AREA DEL QUADRATO Il QUADRATO presenta le caratteristiche del RETTANGOLO, in quanto ha tutti e quattro gli ANGOLI CONGRUENTI e retti. Il QUADRATO è un RETTANGOLO PARTICOLARE in quanto, a differenza del rettangolo che ha i lati opposti congruenti, il quadrato ha TUTTI I LATI CONGRUENTI. Di conseguenza, per calcolare AREA del QUADRATO possiamo applicare la stessa formula vista per il calcolo dell'area del rettangolo, ovvero: A = b x h dove A é l'area del quadrato, b è  la base, h è l'altezza.   Poiché nel quadrato b = h = l (dove l é il lato del quadrato) possiamo scrivere A = l x l = l2.  In altre parole, l'AREA del QUADRATO si ottiene MOLTIPLICANDO la misura del LATO per SE STESSA.

21 AREA DEL PARALLELOGRAMMA
Disegniamo su un foglio di carta il PARALLELOGRAMMA ABCD. Disegniamo l'altezza DH rispetto alla base AB. Ritagliamo il triangolo DHA (per rendere più evidente il disegno in basso, abbiamo indicato il triangolo in questione con un azzurro più scuro). Ora posizioniamo in modo diverso il triangolo appena ritagliato… abbiamo ottenuto un RETTANGOLO. E' evidente che il parallelogramma e il rettangolo disegnati sopra, sono EQUICOMPOSTI. Di conseguenza essi sono anche EQUIVALENTI. Quindi, per conoscere l'area del parallelogramma è sufficiente trovare l'area del rettangolo ad esso equivalente. Quindi possiamo affermare che un PARALLELOGRAMMA è EQUIVALENTE ad un RETTANGOLO avente la STESSA BASE e la STESSA ALTEZZA. Di conseguenza, per trovare l'area del parallelogramma sarà sufficiente trovare l'area del rettangolo avente la stessa base e la stessa altezza. A = b x h

22 AREA DEL TRAPEZIO Disegniamo un TRAPEZIO ABCD:
Ora disegniamo un trapezio ad esso congruente che chiamiamo A'B'C'D': ritagliamo i due trapezi e li posizioniamo uno accanto all'altro. Abbiamo ottenuto un PARALLELOGRAMMA. Ora osserviamo attentamente il parallelogramma e confrontiamolo con il trapezio di partenza. Il nostro PARALLELOGRAMMA ha per altezza la STESSA ALTEZZA del trapezio, per base la SOMMA delle BASI del trapezio. L'AREA DEL TRAPEZIO è esattamente la META' dell'area del parallelogramma. In altre parole un TRAPEZIO è EQUIVALENTE alla META' di un PARALLELOGRAMMA che ha per altezza la STESSA ALTEZZA del trapezio e per base la SOMMA DELLE BASI del trapezio. Quindi, l'AREA del TRAPEZIO si ottiene MOLTIPLICANDO la SOMMA delle misure delle BASI per la misura dell'ALTEZZA e DIVIDENDO il prodotto ottenuto per 2. La formula sarà:

23 AREA DEL ROMBO Disegniamo il ROMBO ABCD.
Indichiamo con d1 e con d2 rispettivamente la DIAGONALE MAGGIORE e la DIAGONALE MINORE. Ora disegnamo le rette parallele alle diagonali passanti per i 4 vertici I punti di intersezione di tali rette individuano il RETTANGOLO EFGH, che può essere scomposto in 8 triangoli congruenti, mentre il ROMBO ABCD può essere scomposto in 4 triangoli congruenti. Questo significa che il RETTANGOLOha una ESTENSIONE DOPPIA rispetto a quella del ROMBO. la BASE del RETTANGOLO e la DIAGONALE MINORE del rombo sono congruenti; l'ALTEZZA del RETTANGOLO e la DIAGONALE MAGGIORE sono congruenti. Quindi, se noi moltiplichiamo tra loro le due diagonali otteniamo l'area del rettangolo EFGH. L'area del rombo è esattamente la metà dell'area del rettangolo. La formula per trovare l'AREA DEL ROMBO, dunque è: A = (d1 x d2)/2 dove A é l'area del rombo, d1 è  la diagonale maggiore e d2 è la diagonale minore.

24 AREA DEL DELTOIDE Dallo studio dei quadrilateri abbiamo appreso che il DELTOIDE ha i LATI CONSECUTIVI CONGRUENTI e le DIAGONALI PERPENDICOLARI: Quindi, essendo il DELTOIDE un QUADRILATERO con le DIAGONALI PERPENDICOLARI, per poterne determinare l'AREA, possiamo applicare le formule per il calcolo dell'area del ROMBO, ovvero: A = (d1 x d2)/2 dove A é l'area del deltoide d1 è  la diagonale maggiore d2 è la diagonale minore.

25 I TRIANGOLI I TRIANGOLI possono essere classificati secondo i LATI e secondo gli ANGOLI. Secondo i LATI i triangoli possono essere classificati in: TRIANGOLO EQUILATERO Il triangolo con tutti e TRE LATI CONGRUENTI, cioè aventi la stessa lunghezza, si dice EQUILATERO. TRIANGOLO ISOSCELE Il triangolo con DUE LATI CONGRUENTI, cioè aventi la stessa lunghezza, si dice ISOSCELE. TRIANGOLO SCALENO Il triangolo che ha TRE LATI DISUGUALI, cioè aventi tutti diversa lunghezza, si dice SCALENO.

26 TRIANGOLI Secondo gli ANGOLI i triangoli possono essere classificati in: TRIANGOLO RETTANGOLO Il triangolo che ha un ANGOLO RETTO si dice TRIANGOLO RETTANGOLO. TRIANGOLO ACUTANGOLO Il triangolo con tutti e TRE gli ANGOLI ACUTI si dice TRIANGOLO ACUTANGOLO. TRIANGOLO OTTUSANGOLO Il triangolo che ha un ANGOLO OTTUSO si dice TRIANGOLO OTTUSANGOLO.

27 CARATTERISTICHE DEI TRIANGOLI
Essendo il TRIANGOLO un POLIGONO valgono, per esso, tutte le caratteristiche proprie dei poligoni. Come sappiamo in un qualsiasi POLIGONO,  OGNI LATO è sempre MINORE rispetto alla SOMMA di TUTTI GLI ALTRI LATI. Per i TRIANGOLI, essendo i lati solamente tre, potremo dire che  OGNI LATO è sempre MINORE della SOMMA DEGLI ALTRI DUE. Inoltre OGNI LATO è sempre MAGGIORE della DIFFERENZA DEGLI ALTRI DUE. Il TRIANGOLO è un POLIGONO che NON HA DIAGONALI.  Essendo la DIAGONALE di un poligono, ogni SEGMENTO che UNISCE DUE dei suoi VERTICI NON CONSECUTIVI  è evidente che nel triangolo non possiamo disegnarne. La SOMMA degli ANGOLI ESTERNI del TRIANGOLO misura 360°. La SOMMA degli ANGOLI INTERNI del TRIANGOLO misura 180°.

28 ELEMENTI NOTEVOLI DI UN TRIANGOLO
Gli ELEMENTI DEL TRIANGOLO sono i LATI e gli ANGOLI. Oltre ad essi, esistono anche altri elementi del triangolo, che prendono il nome di ELEMENTI NOTEVOLI. Gli ELEMENTI NOTEVOLI di un triangolo sono: le ALTEZZE; le MEDIANE; le BISETTRICI; gli ASSI dei tre lati.

29 1 - ALTEZZE DI UN TRIANGOLO
Disegniamo il TRIANGOLO ABC: Ora disegniamo il segmento  AH che parte dal vertice A e interseca, perpendicolarmente, il lato opposto BC: Il segmento AH si dice ALTEZZA del triangolo relativa al lato BC. Il punto H si chiama PIEDE dell'ALTEZZA, mentre il lato BC è la BASE del triangolo. Quindi possiamo dire che l'ALTEZZA di un triangolo rispetto ad un suo lato, che in questo caso prende il nome di BASE, è la DISTANZA di questo LATO dal VERTICE OPPOSTO. Ricordiamo che la DISTANZA di un PUNTO da una RETTA è la LUNGHEZZA DEL SEGMENTO DI PERPENDICOLARE condotta da quel punto alla retta. Poiché il triangolo ha TRE LATI, ognuno di essi può essere considerato come BASE del triangolo. Di conseguenza, per ogni triangolo, possiamo disegnare TRE ALTEZZE, ognuna delle quali unisce perpendicolarmente un lato con il suo vertice opposto:

30 RETTE PERPENDICOLARI Nel piano due rette si dicono perpendicolari, o equivalentemente ortogonali, se si incontrano formando angoli uguali (che si dicono retti).

31 2 - MEDIANE DI UN TRIANGOLO
Disegniamo un qualsiasi triangolo ABC: Ora disegniamo il PUNTO MEDIO del lato BC e lo chiamiamo P: Ora congiungiamo il vertice A con il punto medio P del lato opposto: Quella che abbiamo disegnato prende il nome di MEDIANA e più esattamente essa è la MEDIANA del triangolo ABC relativa al lato BC. Possiamo allora dire che una MEDIANA di un triangolo è il SEGMENTO che UNISCE un VERTICE al PUNTO MEDIO DEL LATO OPPOSTO. Poiché il triangolo ha tre lati e tre angoli, noi possiamo costruire tre mediane per ogni triangolo: ognuna di esse unisce un vertice con il punto medio del lato opposto. Notiamo che le tre mediane passano tutte per uno stesso punto detto BARICENTRO che nell'immagine sopra abbiamo indicato con la lettera O.

32 3 - BISETTRICI DI UN TRIANGOLO
Dallo studio degli ANGOLI abbiamo appreso che si chiama BISETTRICE DI UN ANGOLO la SEMIRETTA che ha per ORIGINE il VERTICE dell'angolo e che divide l'angolo in DUE PARTI UGUALI. Ora disegniamo il triangolo ABC: Quindi disegniamo un segmento che partendo dell'angolo A raggiunga il lato opposto BC, dividendo l'angolo A in due parti aventi la stessa ampiezza: Il segmento AH che abbiamo disegnato prende il nome di BISETTRICE di VERTICE A del triangolo. Quindi possiamo dire che la BISETTRICE di un triangolo RELATIVA AD UN VERTICE è il SEGMENTO che UNISCE il VERTICE al LATO OPPOSTO DIVIDENDO a META' l'angolo.  Ora disegniamo anche la bisettrice del triangolo relativa al verticeB e la bisettrice del triangolo relativa al vertice C: Come possiamo osservare le TRE BISETTRICI si INCONTRANO in un punto detto INCENTRO che nel nostro disegno abbiamo evidenziato con la lettera O.

33 4 - ASSI DI UN TRIANGOLO Disegniamo un qualsiasi triangolo ABC.
Ora disegniamo il punto medio del lato BC e lo chiamiamo P. Ora disegniamo la RETTA p (minuscolo)  PERPENDICOLARE a BC e PASSANTE per il PUNTO P. La RETTA p che abbiamo disegnato si chiama ASSE del LATOBC. Ora disegniamo anche il punto medio del lato AB (R) e il punto medio del lato AC (Q) e disegniamo, rispettivamente, la retta perpendicolare ad AB passante per R che chiamiamo r e la retta perpendicolare ad AC passante per Q che chiamiamo q. Abbiamo così disegnato gli ASSI dei TRE LATI DEL TRIANGOLO. Quindi possiamo dire che l'ASSE di un TRIANGOLO relativo ad un lato è la RETTA ad ESSO PERPENDICOLARE passante per il PUNTO MEDIO del lato considerato.  Come possiamo notare gli assi del triangolo passano tutti per UNO STESSO PUNTO che chiamiamo CIRCOCENTRO DEL TRIANGOLO e che abbiamo indicato con la lettera O:

34 PUNTI NOTEVOLI DI UN TRIANGOLO
Nel triangolo ci sono dei punti detti PUNTI NOTEVOLI. Essi sono dei PUNTI nei quali si INTERSECANO gli ELEMENTI NOTEVOLI di un triangolo. I PUNTI NOTEVOLI di un triangolo sono: l'ORTOCENTRO; il BARICENTRO; l'INCENTRO; il CIRCOCENTRO.

35 PUNTI NOTEVOLI ORTOCENTRO. Abbiamo appreso che un triangolo ha TRE ALTEZZE. Come possiamo notare le tre altezze si incontrano in un punto che chiamiamo O. Il punto O prende il nome di ORTOCENTRO. Quindi l'ORTOCENTRO è il PUNTO in cui si INCONTRANO le ALTEZZE di un triangolo. BARICENTO. Abbiamo visto che le tre mediane di un triangolo passano tutte per uno stesso punto detto BARICENTRO e indicato, nel disegno sottostante, con la lettera O. Quindi il BARICENTRO di un triangolo può essere definito come il PUNTO DI INTERSEZIONE delle tre MEDIANE del triangolo. INCENTRO. Abbiamo parlato delle BISETTRICI di un triangolo e abbiamo appreso che si chiama BISETTRICE di un triangolo RELATIVA AD UN VERTICE il SEGMENTO che UNISCE il VERTICE al LATO OPPOSTO DIVIDENDO a META' l'angolo. LE TRE BISETTRICI di un triangolo si INCONTRANO in un punto detto INCENTRO. CIRCOCENTRO. Abbiamo visto che l'ASSE di un TRIANGOLO relativo ad un lato è la RETTA ad ESSO PERPENDICOLARE passante per il PUNTO MEDIO del lato considerato. Inoltre abbiamo osservato che gli assi del triangolo si incontrano tutti in UNO STESSO PUNTO detto CIRCOCENTRO DEL TRIANGOLO che abbiamo indicato con la lettera O

36 AREA DEL TRIANGOLO Disegniamo su un foglio di carta un qualsiasi TRIANGOLO ABC. Partendo dal vertice C disegniamo la parallela al lato AB. Ora partendo dal vertice B disegniamo la parallela al lato AC. Indichiamo con la lettera D il punto di intersezione tra le due rette appena disegnate. La figura che abbiamo ottenuto è quella di un PARALLELOGRAMMA. Ora analizziamo con attenzione il nostro parallelogramma: esso ha la STESSA BASE  e la STESSA ALTEZZA del triangolo ABC. Quindi possiamo dire che un TRIANGOLO è EQUIVALENTE alla META' di un PARALLELOGRAMMA che ha la STESSA BASE  e la STESSA ALTEZZA. Di conseguenza, l'AREA del TRIANGOLO si ottiene MOLTIPLICANDO la misura della BASE per quella dell'ALTEZZA ad essa relativa e DIVIDENDO il prodotto ottenuto PER DUE. La formula, quindi, per calcolare l'area del triangolo è la seguente: A = (b x h)/2 dove A é l'area del triangolo b è  la base h è l'altezza.

37 FORMULE INVERSE AREA TRIANGOLO
L'AREA DEL TRIANGOLO è uguale alla META' del PRODOTTO della misura della base per la relativa ALTEZZA. In altre parole l'area del triangolo è data da: A = (b x h)/2 dove A = area del triangolo b = base h = altezza.   Vediamo, ora, quali sono le formule inverse da applicare nel caso in cui conosciamo l'area e la base e dobbiamo trovare l'altezza oppure conosciamo l'area e l'altezza e dobbiamo trovare la base. Ecco le FORMULE INVERSE: b = (A x 2)/ h h = (A x 2)/ b.

38 TEOREMA DI PITAGORA Disegniamo su un cartoncino, di spessore costante, un TRIANGOLO RETTANGOLO. Ora, sempre usando lo stesso cartoncino, costruiamo TRE QUADRATI che chiamiamo rispettivamente Q1, Q2, Q3 aventi come LATI rispettivamente l'ipotenusa AB e i due cateti AC e CB. Ora ritagliamo i tre quadrati Q1, Q2, Q3 e li PESIAMO su una bilancia di precisione. Noteremo che il peso complessivo dei due quadrati Q2 e Q3 è uguale al PESO del quadrato Q1.  Ma se il peso complessivo di Q2 e Q3 è uguale al peso del quadrato Q1 evidentemente Q2 e Q3  insieme hanno la stessa ESTENSIONE di Q1. Inoltre possiamo verificare che quanto detto è vero per qualsiasi triangolo rettangolo da noi disegnato. Possiamo allora affermare che in OGNI TRIANGOLO RETTANGOLO, il QUADRATO costruito sull'IPOTENUSA è EQUIVALENTE alla SOMMA dei QUADRATI costruiti sui DUE CATETI. Possiamo, allora enunciare il TEOREMA DI PITAGORA. Esso afferma che in ogni TRIANGOLO RETTANGOLO l'AREA DEL QUADRATO costruito sull'IPOTENUSA è UGUALE alla SOMMA delle AREE dei QUADRATI costruiti sui due CATETI. Possiamo allora affermare che la misura dell'IPOTENUSA di un triangolo rettangolo si ottiene estraendo la RADICE QUADRATA della SOMMA dei QUADRATI delle misure dei DUE CATETI. essendo i2 = c12 + c22.

39 TERNE PITAGORICHE Prendiamo la seguente TERNA di numeri: 3, 4, 5.
Osserviamo che: 32 + 42 = 52. Infatti: 32 = 9 42 = 16 52 = 25 = 25. Una terna di questo tipo prende il nome di TERNA PITAGORICA. Una TERNA PITAGORICA sono tre numeri tali che la SOMMA dei QUADRATI dei DUE NUMERI PIU' PICCOLI è UGUALE al QUADRATO del NUMERO MAGGIORE. Potremmo anche dire che una terna pitagorica sono tre numeri che soddisfano il TEOREMA DI PITAGORA.

40 FORMULA DI ERONE (Calcolare l’area conoscendo i lati)
Esiste la possibilità di calcolare l'AREA DEL TRIANGOLO conoscendo la misura dei suoi LATI. In questo caso si applica la seguente formula: dove A = area del triangolo P = perimetro del triangolo a, b, c = lati del triangolo. Questa formula è detta FORMULA di ERONE dal nome del matematico greco, vissuto nel I secolo a.C., che la scoprì come calcolare l'area del triangolo conoscendo la misura dei suoi lati. Tale formula ci dice che l'AREA di un TRIANGOLO si ottiene estraendo la RADICE QUADRATA del PRODOTTO del suo SEMIPERIMETRO (P/2) per le DIFFERENZE tra ilSEMIPERIMETRO e CIASCUNO dei suoi LATI.

41 IL CERCHIO Osserviamo l'immagine.
Quella che abbiamo disegnata è una LINEA CURVA CHIUSA. Tale linea ha una particolarità: essa è formata da tutti punti del piano che hanno la stessa distanza da un punto interno alla linea che abbiamo chiamato con la lettera O. La linea che abbiamo disegnato prende il nome di CIRCONFERENZA. Possiamo dire, quindi, che la CIRCONFERENZA è una LINEA CURVA CHIUSA formata dall'insieme dei PUNTI del piano che sono tutti UGUALMENTE DISTANTI da un PUNTO O interno a tale piano. Il punto O è detto CENTRO della circonferenza. I SEGMENTI che UNISCONO il CENTRO con un QUALSIASI PUNTO DELLA CIRCONFERENZA prendono il nome di RAGGI. Indichiamo il raggio di una circonferenza con la lettera r. Quindi r = raggio della circonferenza. E' evidente che, data la definizione di circonferenza, i RAGGI sono tutti UGUALI tra loro.  ATTENZIONE!!! Non confondiamo la circonferenza con il cerchio. La circonferenza è una linea, il cerchio è una superficie.

42 CORDE - DIAMETRO Chiamiamo CORDA un SEGMENTO che UNISCE DUE PUNTI QUALSIASI di una CIRCONFERENZA. Nell'immagine sopra abbiamo scelto due punti qualsiasi della circonferenza: il punto A e il punto B. Quindi abbiamo tracciato il segmento che unisce questi due punti: il segmento AB è una CORDA della CIRCONFERENZA. Ora disegniamo la corda MN tale che essa passi per il centro O. La corda che abbiamo disegnato prende il nome di DIAMETRO della CIRCONFERENZA.  Quindi diciamo che il DIAMETRO è la CORDA che PASSA per il CENTRO. Essa viene indicata con una d minuscola. E' abbastanza evidente che il DIAMETRO è il DOPPIO del RAGGIO. Quindi d = 2r.

43 CIRCONFERENZA Disegniamo una circonferenza.
Ora prendiamo un filo di ferro sottile e, partendo da un punto qualsiasi che chiameremo A, facciamolo aderire perfettamente alla circonferenza fino a raggiungere nuovamente il punto A. Se ora noi raddrizziamo il filo di ferro in modo da ottenere un segmento, che nell'immagine sottostante abbiamo indicato con LM, avremo quella che viene detta CIRCONFERENZA RETTIFICATA. La lunghezza del segmento LM non è altro che la lunghezza della circonferenza data. Ora confrontiamo la misura del diametro AB con la lunghezza della circonferenza LM. Notiamo che la lunghezza della circonferenza è poco più del triplo della lunghezza del diametro. Per l'esattezza, se dividiamo la lunghezza della circonferenza per la lunghezza del diametro otteniamo come quoziente il numero 3,14 approssimando il calcolo alla seconda cifra decimale. Possiamo ripetere la prova con qualsiasi circonferenza e arriveremo sempre allo stesso risultato.

44 PI GRECO π - CALCOLO CIRCONFERENZA
Il valore esatto che otteniamo dividendo la lunghezza della circonferenza per il diametro è 3, , cioè un numero non periodico con infinite cifre decimali che viene indicato con il simbolo  π che si legge pi greco. Allora, indicando con C la lunghezza della circonferenza r  la lunghezza del raggio 2r la lunghezza del diametro possiamo scrivere: C / 2r = 3,14 e quindi: C = 2r * 3, oppure C = r * 2π (dove π = 3,14) In altre parole possiamo dire che la LUNGHEZZA di una CIRCONFERENZA è uguale al PRODOTTO della misura del suo RAGGIO per 2π. Dalla formula precedente possiamo ricavare la formula inversa, ovvero: r = C/ 2π. In altre parole possiamo dire che la MISURA del RAGGIO di una circonferenza si ottiene DIVIDENDO la lunghezza della CIRCONFERENZA per 2π.

45 ESEMPI CIRCONFERENZA Problema 1: Calcolare la lunghezza di una circonferenza che ha il raggio di cm 6. Per risolvere il problema è sufficiente applicare la formula: C = 2π x r dove C è la lunghezza della circonferenza r è la lunghezza del raggio che nel nostro caso misura cm 6 π = 3,14. Quindi avremo: C = 2π x r = 2 x 3,14 x 6 = 37,68 cm. La lunghezza della circonferenza è pari a 37,68 cm. Vediamo, ora, come applicare la formula inversa. Problema 2: Calcolare il raggio di una circonferenza che è lunga m 31,40. In questo caso è nota la misura della circonferenza e dobbiamo trovare la misura del raggio. Applichiamo la formula inversa e abbiamo: r = C/ 2π = 31,40/ (2 x 3,14) = 31,40/ 6,28 = 5 m. Il raggio della nostra circonferenza è lungo 5 m. Problema 3: Quanti metri ha percorso un corridore se la ruota della sua bicicletta che ha il raggio di 30 cm ha fatto 500 giri? “Cominciamo col dire che se la ruota della bici ha fatto 500 giri significa che il corridore ha percorso una distanza pari al numero di giri della ruota per la circonferenza della stessa.” Ora noi non conosciamo la circonferenza della ruota, ma sappiamo la misura del raggio, quindi possiamo dire che C = 2π x r = 2 x 3,14 x 30 = 188,40 cm. Ora possiamo calcolare la lunghezza percorsa, ovvero: 188,40 x 500 = cm. Esprimiamo la misura trovata in metri sapendo che occorrono 100 cm per fare 1 metro: cm = 942 m. Il nostro corridore ha percorso 942 metri.

46 AREA DEL CERCHIO AREA del CERCHIO è uguale a A = (C x r)/ 2 Dove A = Area del cerchio C = Circonferenza r = raggio. Noi però sappiamo che la lunghezza della circonferenza si calcola nel modo seguente: C = 2π x r. Sostituendo questa formula in quella dell'area otteniamo A = (2π x r x r)/ 2. Se in questa formula semplifichiamo il 2 a numeratore e a denominatore e moltiplichiamo, a numeratore, r per r, avremo: A = π x r2. Possiamo allora affermare che l'AREA del CERCHIO è data dal PRODOTTO tra il QUADRATO DEL RAGGIO per 3,14. Da questa formula otteniamo anche la formula inversa che ci permette di calcolare il RAGGIO conoscendo l'area del cerchio, cioè r2 = A/ π ovvero

47 FORMULE PERIMETRO - AREA

48 FORMULE PERIMETRO - AREA