Algoritmi di stima con perdita di pacchetti in reti di sensori wireless: modellizzazione a catene di Markov, stima e stima distribuita Chiara Brighenti,

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1 Algoritmi di stima con perdita di pacchetti in reti di sensori wireless: modellizzazione a catene di Markov, stima e stima distribuita Chiara Brighenti, Marco Maddalena, Ivan Tessarolo Università degli studi di Padova Corso di Progettazione di Sistemi di Controllo Prof. L. Schenato

2 Fusione dei dati e perdita di pacchetto
Stima distribuita

3 Modello e ipotesi Modello del processo di misura: i = 1,…,M Ipotesi:
e bianchi, Gaussiani a media zero e scorrelati osservabile e raggiungibile ( e ) Struttura della rete ad albero 12 settembre 2018 Stima distribuita: fusione di dati e perdita di pacchetto

4 Fusione dei dati Problema: minimizzare il numero di trasmissioni dei nodi Filtro di Kalman in forma d’informazione Equazione di aggiornamento della stima filtrata Altro metodo… 12 settembre 2018 Stima distribuita: fusione di dati e perdita di pacchetto

5 Metodo di fusione di stime locali
12 settembre 2018 Stima distribuita: fusione di dati e perdita di pacchetto

6 Metodo di fusione di stime locali
Equazione di aggiornamento della stima al nodo i Alla radice si ha la stima globale ottima I nodi trasmettono delle stime 12 settembre 2018 Stima distribuita: fusione di dati e perdita di pacchetto

7 Algoritmi di stima distribuita con perdita di pacchetti
Principio base: si sfrutta l’informazione presente alla base station calcolando le stime non arrivate con il filtro in catena aperta Generalizzazioni di algoritmi noti di stima distribuita 12 settembre 2018 Stima distribuita: fusione di dati e perdita di pacchetto

8 Algoritmi 1 e 2 Equazioni Algoritmo 1: Equazioni Algoritmo 2:
12 settembre 2018 Stima distribuita: fusione di dati e perdita di pacchetto

9 Algoritmi 3 e 4 Equazioni Algoritmo 3:
Algoritmo 4: Filtro di Kalman con perdita di pacchetto 12 settembre 2018 Stima distribuita: fusione di dati e perdita di pacchetto

10 Simulazioni Parametro di interesse: q/r
Confronto prestazioni: medie a regime delle varianze campionarie d’errore bernoulliane iid con c : costante moltiplicativa dei valori assoluti di q e r 12 settembre 2018 Stima distribuita: fusione di dati e perdita di pacchetto

11 Varianza di errore campionaria
Caso 1: A = 0.5, λ = 0.5, c = 1 Varianza di errore campionaria q/r F.S. = 0.7 Alg. 1 Alg. 2 Alg. 3 Alg. 4 12 settembre 2018 Stima distribuita: fusione di dati e perdita di pacchetto

12 Varianza di errore campionaria
Caso 2: A = 1, λ = 0.5, c = 1 Varianza di errore campionaria q/r F.S. = 1.4 Alg. 1 Alg. 2 Alg. 3 Alg. 4 12 settembre 2018 Stima distribuita: fusione di dati e perdita di pacchetto

13 Varianza di errore campionaria
Caso 3: A = 1, λ = 0.5, c = 10 Varianza di errore campionaria q/r F.S. = 18 Alg. 1 Alg. 2 Alg. 3 Alg. 4 12 settembre 2018 Stima distribuita: fusione di dati e perdita di pacchetto

14 Varianza di errore campionaria
Caso 4: A = 1, λ = 0.85, c = 1 Varianza di errore campionaria q/r F.S. = 0.9 Alg. 1 Alg. 2 Alg. 3 Alg. 4 12 settembre 2018 Stima distribuita: fusione di dati e perdita di pacchetto

15 Varianza di errore campionaria
Caso 5: A = 2, λ = 0.85, c = 1 Varianza di errore campionaria q/r F.S. = 1030 Alg. 1 Alg. 2 Alg. 3 Alg. 4 12 settembre 2018 Stima distribuita: fusione di dati e perdita di pacchetto

16 Conclusioni Alg. 1 Alg. 2 Alg. 3 Alg. 4 Varianza d’errore q/r
12 settembre 2018 Stima distribuita: fusione di dati e perdita di pacchetto

17 Conclusioni L’ Algoritmo 2 è la soluzione più efficiente, se A è almeno semplicemente stabile. Si potrebbe valutare il metodo di fusione proposto con perdita di pacchetto, seguendo l’approccio dell’Algoritmo 2. 12 settembre 2018 Stima distribuita: fusione di dati e perdita di pacchetto

18 Schema di trasmissione con perdita di pacchetti in una rete wireless
12 settembre 2018 Stima con processo di arrivo dei pacchetti a catena di Markov

19 Filtro ottimo Filtro ottimo a minima varianza d’errore di stima
12 settembre 2018 Stima con processo di arrivo dei pacchetti a catena di Markov

20 Modello perdita pacchetti
Modellizzazione del processo di perdita dei pacchetti a catena di Markov: Per il teorema di Markov: 12 settembre 2018 Stima con processo di arrivo dei pacchetti a catena di Markov

21 Stimatore sub-ottimo a guadagno costante a regime
Per A stabile, il guadagno costante ottimo: Dove e` soluzione della MARE: 12 settembre 2018 Stima con processo di arrivo dei pacchetti a catena di Markov

22 Stimatore sub-ottimo a guadagno costante a regime
Per A instabile, condizioni sufficienti di instabilita` del filtro: 12 settembre 2018 Stima con processo di arrivo dei pacchetti a catena di Markov

23 Stimatore a due guadagni costanti
Tempi medi di permanenza nei due stati: 12 settembre 2018 Stima con processo di arrivo dei pacchetti a catena di Markov

24 Stimatore a due guadagni costanti
Andamento medio della varianza d’errore: 12 settembre 2018 Stima con processo di arrivo dei pacchetti a catena di Markov

25 Stimatore a due guadagni costanti
I due valori di picco possono essere determinati risolvendo l’equazione: o piu` semplicemente attraverso un’iterazione sufficientemente lunga dell’equazione , alternando i due intervalli medi di arrivo e perdita dei pacchetti. 12 settembre 2018 Stima con processo di arrivo dei pacchetti a catena di Markov

26 Stimatore a due guadagni costanti
L’idea consiste nel determinare due guadagni costanti utilizzando i due valori di picco nella: viene utilizzato per la stima sulla prima misura arrivata allo stimatore dopo un intervallo di perdita dei pacchetti. viene utilizzato con le successive misure in arrivo fino alla prossima perdita di pacchetto. 12 settembre 2018 Stima con processo di arrivo dei pacchetti a catena di Markov

27 Stima con i DTJMLS Sistema Discrete Time Jump Linear Systems
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28 Stima con i DTJMLS Modello con perdita di pacchetti: 12 settembre 2018
Stima con processo di arrivo dei pacchetti a catena di Markov

29 Stima con i DTJMLS Stimatore ottimo a guadagno costante a minima norma quadratica media dell’errore di stima a regime ( ) per sistemi MSS: Dove e` soluzione della CARE: 12 settembre 2018 Stima con processo di arrivo dei pacchetti a catena di Markov

30 Schema di trasmissione con perdita dei pacchetti e ritardo
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31 Stimatore ottimo a minima varianza d’errore
Dopo aver inizializzato il buffer per : per ogni 12 settembre 2018 Stima con processo di arrivo dei pacchetti a catena di Markov

32 Modello perdita pacchetti con ritardo
Modello del processo di arrivo con ritardo ed eventuale perdita dei pacchetti a catena di Markov: 12 settembre 2018 Stima con processo di arrivo dei pacchetti a catena di Markov

33 Stimatore sub-ottimo a N guadagni costanti a regime
Per il teorema di Markov: Definiamo: 12 settembre 2018 Stima con processo di arrivo dei pacchetti a catena di Markov

34 Stimatore sub-ottimo a N guadagni costanti a regime
Per A stabile: 12 settembre 2018 Stima con processo di arrivo dei pacchetti a catena di Markov

35 Stimatore a NxN guadagni costanti
Noto lo stato , definiamo: 12 settembre 2018 Stima con processo di arrivo dei pacchetti a catena di Markov

36 Stimatore a NxN guadagni costanti
Per A stabile: 12 settembre 2018 Stima con processo di arrivo dei pacchetti a catena di Markov

37 Algoritmo ottimo Lo stato non è noto del tutto ma solo parzialmente.
Quello che si può dire è che se il pacchetto è arrivato allora il ritardo è noto, altrimenti si sa che è maggiore o uguale ad un certo valore. 12 settembre 2018 Stima con processo di arrivo dei pacchetti a catena di Markov

38 Esempio 12 settembre 2018 Stima con processo di arrivo dei pacchetti a catena di Markov

39 Nuova catena di Markov La catena di Markov deve essere stazionaria.
12 settembre 2018 Stima con processo di arrivo dei pacchetti a catena di Markov

40 Primo elemento del buffer
Viene usato l’algoritmo sviluppato da Craig e Smith. 12 settembre 2018 Stima con processo di arrivo dei pacchetti a catena di Markov

41 Primo elemento del buffer
Se nel filtro di Kalman tempo variante esiste Si calcola come nel caso tempo variante a partire da questo limite invece che da Il filtro con guadagno costante ha una aspettazione di covarianza d’errore che converge allo stesso valore 12 settembre 2018 Stima con processo di arrivo dei pacchetti a catena di Markov

42 Struttura a buffer Si aggiorna la stima nel buffer minimizzando
12 settembre 2018 Stima con processo di arrivo dei pacchetti a catena di Markov

43 Impraticabilità Il numero di guadagni costanti risulta essere
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44 Simulazioni Perdita di pacchetti con A stabile: 12 settembre 2018
Stima con processo di arrivo dei pacchetti a catena di Markov

45 Simulazioni Perdita di pacchetti con A instabile: 12 settembre 2018
Stima con processo di arrivo dei pacchetti a catena di Markov

46 Simulazioni Perdita di pacchetti e ritardo con A stabile:
12 settembre 2018 Stima con processo di arrivo dei pacchetti a catena di Markov

47 Simulazioni Perdita di pacchetti e ritardo con A instabile:
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