Bergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio

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1 Bergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio
I SOLIDI Copyright © 2011 Zanichelli editore Bergamini, Trifone, Barozzi – La matematica del triennio

2 1. I POLIEDRI Prisma Piramide Poliedro
I SOLIDI 1. I POLIEDRI DEFINIZIONE Poliedro Un poliedro è una figura solida limitata da un numero finito di poligoni appartenenti a piani diversi e tali che il piano di ogni poligono non attraversi il solido. Prisma La distanza fra il vertice (o la base superiore) e il piano della base (inferiore) si chiama altezza. L’altezza delle facce laterali di una piramide retta è detta apotema. Piramide

3 2. POLIEDRI REGOLARI E SOLIDI DI ROTAZIONE
I SOLIDI 2. POLIEDRI REGOLARI E SOLIDI DI ROTAZIONE DEFINIZIONE Poliedro regolare Un poliedro si dice regolare quando le sue facce sono poligoni regolari congruenti e anche i suoi angoloidi e i suoi diedri sono congruenti 0 < a < 1 a > 1 DEFINIZIONE Solido di rotazione Si chiama solido di rotazione un solido generato dalla rotazione di una figura piana intorno a una retta r

4 Animazione di un solido di rotazione

5 3. LA SFERA 0 < a < 1 a > 1
I SOLIDI 3. LA SFERA La sfera è un solido generato dalla rotazione completa di un semicerchio attorno al suo diametro… … ma, aumentando il numero di lati delle facce di un poliedro regolare, si approssima sempre meglio una sfera… 0 < a < 1 a > 1 Quindi, la sfera è un solido di rotazione o un poliedro?

6 4. CALCOLO DELLE AREE Al = 2p . h Al = π . r . a
I SOLIDI 4. CALCOLO DELLE AREE DEFINIZIONE Superficie di un poliedro La superficie di un poliedro è la somma delle superfici di tutte le sue facce. Scomponendo un solido (anche non poliedrico) è possibile calcolarne la superficie laterale: Al = 2p . h Al = π . r . a Ricordiamo che alla superficie laterale va aggiunta la superficie delle basi.

7 4. CALCOLO DELLE AREE Area della sfera.
I SOLIDI 4. CALCOLO DELLE AREE Area della sfera. La misura dell’area della superficie sferica è uguale a quattro volte quella del suo cerchio massimo: Ssfera = 4 π r2 Riscrivendo l’espressione della superficie sferica come Ssfera=2πr . 2r, troviamo che la superficie di una sfera è equivalente alla superficie laterale del suo cilindro circoscritto.

8 I SOLIDI 4. CALCOLO DELLE AREE

9 I SOLIDI 5. CALCOLO DEI VOLUMI Vediamo che, in generale, il volume delle tre figure può essere espresso come prodotto tra l’area della superficie di base e l’altezza. TEOREMA Volume del cubo La misura del volume del cubo è uguale alla misura del suo spigolo elevato alla terza potenza: V = a3 TEOREMA Volume del prisma La misura del volume del prisma è uguale al prodotto della misura dell’area di base per la misura dell’altezza: V = S . h TEOREMA Volume del cilindro La misura del volume del cilindro è uguale ap prodotto dell’area del cerchio di base per la misura dell’altezza: V =π .r2 . h

10 5. CALCOLO DEI VOLUMI Volume della piramide e volume del cono.
I SOLIDI 5. CALCOLO DEI VOLUMI Volume della piramide e volume del cono. La piramide e il cono sono equivalenti, rispettivamente, alla terza parte di un prisma o di un cilindro di base equivalente. Quindi: TEOREMA Volume della piramide La misura del volume di una piramide è uguale alla terza parte del prodotto della misura dell’area di base per la misura dell’altezza: V =⅓.S . h TEOREMA Volume del cono La misura del volume di un cono è uguale alla terza parte del prodotto della misura dell’area del cerchio per la misura dell’altezza. V =⅓.S . h

11 5. CALCOLO DEI VOLUMI Volume della sfera
I SOLIDI 5. CALCOLO DEI VOLUMI TEOREMA Volume della sfera La misura del volume di una sfera è uguale al prodotto di (4/3 π) per la misura del raggio della sfera elevaro al cubo: V =4/3 . π. r3

12 I SOLIDI 5. CALCOLO DEI VOLUMI