Analisi delle Traiettorie: Modelli di Crescita Latente (LGM)

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1 Analisi delle Traiettorie: Modelli di Crescita Latente (LGM)
Tempo 1 Tempo 2 Tempo 3 Coeff. ang. latente Intercetta latente

2 SEM Modelli ad Equazioni Strutturali– cenni riepilogativi
I SEM stimano le relazioni fra - i costrutti osservabili e latenti (modello di misura) e - gli stessi costrutti latenti (modello strutturale). Il modello strutturale mette in relazione i fattori latenti fra di loro.

3 SEM – cenni riepilogativi
Identificazione Il numero di punti di dati (D) nei SEM è semplicemente il numero di varianze e covarianze. Per n variabili osservate, D = n(n+1)/2. Il numero di parametri (P) è la somma del numero di coefficienti strutturali, di varianze e covarianze delle variabili latenti esogene che devono essere stimate.

4 SEM – cenni riepilogativi
Se D = P, il modello è esattamente identificato  non desiderabile. Se D < P, il modello è sotto-identificato, e i parametri non possono essere stimati. Se D > P, il modello è sovra-identificato, e i parametri possono essere stimati. . Questa è una condizione necessaria per utilizzare i SEM (Cfr. pag. 15 del volume Duncan et al., Latent Growth Curve Modeling).

5 SEM – cenni riepilogativi
Bontà di adattament. Cenni agli indici meno usuali Indice di adattamento normato (noto come Delta1) varia da 0 a 1. Un valore inferiore a 0.9 richiede la rispecificazione del modello. Root mean square error of approximation (RMSEA) dovrebbe essere pari a  0.05 per un buon adattamento ed a 0.08 per un adattamento adeguato. L’IC (intervallo di confidenza) al 90% dovrebbe essere compreso fra questi estremi. Modification Indices (MI) o indici di modificazione: la misura prevista decresce se un parametro o vincolo è rimosso dal modello.

6 Latent Growth Curve Model
Le idee principali del modello LGM sono: Siamo effettivamente interessati nei fattori latenti non osservabili, non tanto nelle misure osservate. Con le misure ripetute, questi fattori latenti rappresenterebbero le traiettorie di crescita che forniscono le misure osservate. Si ricorre allo schema teorico dei SEM per stimare questi fattori di crescita, che sono di interesse primario.

7 Latent Growth Curve Model
IPOTESI DEI LGM Le osservazioni possono essere espresse come funzioni lineari dei fattori latenti, delle medie dei fattori latenti. Le medie di tutte le variabile latenti, dei termini di errore, e dei fattori hanno varianza nulla. Le varianze di tutte le variabili latenti hanno media nulla. Le medie e le varianze delle variabili latenti non covariano. Le varianze d’errore non covariano fra loro né con altre variabili, ad eccezione delle variabili osservate che influenzano direttamente.

8 Latent Growth Curve Model
Forma analitica del modello: dove: - i è il punteggio o valore non osservato per l’intercetta. L’intercetta è costante per ogni specifico soggetto nel tempo. Il significato per il singolo soggetto è del tutto analogo al significato al significato dell’intercetta di una retta in uno spazio bi-dimensionale, è cioè il punto in cui la retta ‘taglia’ l’asse verticale delle ordinate, al tempo 0. Il fattore relativo all’intercetta fornisce le informazioni campionarie relative alla media  fra tutti i soggetti. e alla varianza della collezione di intercette che caratterizza ogni curva di crescita individuale.

9 Latent Growth Curve Model
- i è il punteggio o valore non osservato per la pendenza di una traiettoria individuale. Nella nostra analisi, ci si limita a traiettorie lineari. L’intercetta ha una media  nel campione. I due fattori, intercetta e coefficiente angolare, possono variare insieme (freccia bidirezionale che li collega nel grafico). -  t è il coefficiente di regressione che collega il fattore latente alla variabile osservata; -  it è una variabile errore, con media 0 e incorrelata con le altre variabili nel tempo. Ci si attende che tali errori varino casualmente nel tempo per ogni soggetto.

10 Latent Growth Curve Model
Come formulare il modello? Si deve disporre di almeno tre misure temporali (onde o waves) per l’identificazione sopra discussa. Se si vuole stimare una traiettoria lineare: 1) Si esprime la depressione Y in funzione dell’intercetta e del coefficiente angolare latenti intercetta e coefficiente angolare per ogni soggetto i Intercetta e coefficiente angolare sono indipendenti dal t

11 Latent Growth Curve Model
2) Si esprimono le intercette  e i coefficienti angolari  come funzione di influenze individuali e di gruppo. i=+D(i) i=+D(i)  e  sono l’intercetta ed il coefficiente angolare medi, esprimenti l’influenza di gruppo, denominati anche effetti fissi. Le deviazioni individuali sono denominate effetti casuali. La loro varianza cattura la variabilità intra-individuale.

12 Latent Growth Curve Model
3) Una volta ottenute le stime dei parametri dal modello, che si dice anche non condizionato perché non considera (e quindi non condiziona a) variabili esplicative, si disegna la retta di crescita ottenuta ed il diagramma di dispersione della traiettorie di crescita. 4) Se il modello non si adatta bene ai dati, si cerca di esaminare se i punteggi indicano non linearità. 5) Problema dei dati mancanti: Si costruisca prima il modello con i dati completi. Se è soddisfacente, si cerchi di imputare i dati mancanti e si costruisca di nuovo il modello. Si confrontino i risultati.