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dal libro di Babai & Frankl:
Linear Algebra Methods in Combinatorics with applications to Geometry and Computer Science Lezione 4
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Possiamo usare meno grafi bipartiti?
Domanda del giorno Prendiamo il grafo completo su n nodi: Copriamo tutti gli archi esattamente una volta con grafi bipartiti completi: Possiamo usare meno grafi bipartiti? NO! Sono necessari n -1
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servono “molte” matrici
Domanda del giorno Kn B1 + B2 + ⋯ + Bm Copriamo tutti gli archi esattamente una volta con grafi bipartiti completi: servono “molte” matrici matrice “semplice” matrice “complessa” rango Sono necessari n -1
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Rango delle matrici massimo numero di righe linearmente indipendenti
2 3 guarda le colonne rango(A) < n ⇒ Ax = 0 per qualche x≠0 rango(A+B) ≤ rango(A) + rango(B)
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Domanda del giorno Sono necessari n -1 Falso! Kn = B1 + ⋯ + Bm
Kn B1 + B2 + ⋯ + Bm servono “molte” matrici matrice “complessa” rango = n - 1 matrice “semplice” rango =1 copre (3,2) ma non (2,3) rango(A+B) ≤ rango(A) + rango(B) n - 1 ≤ m Sono necessari n -1
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servono “molte” matrici
Domanda del giorno Kn B1 + B2 + ⋯ + Bm servono “molte” matrici matrice “complessa rango =1 rango(Bi) = 1 Kn S = B1 + ⋯ + Bm ⇒ rango(S) n - 1 rango(A+B) ≤ rango(A) + rango(B) da vedere n - 1 ≤ m Sono necessari n -1
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ho “1” in uno ed uno solo tra
Dettaglio mancante copre (3,2) ma non (2,3) Kn S = B1 + ⋯ + Bm ⇒ rango(S) n - 1 per ogni ij ho “1” in uno ed uno solo tra (i,j) e (j,i) Kn=S + ST
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Dettaglio mancante Kn S = B1 + ⋯ + Bm ⇒ rango(S) n - 1
S + ST =Un - In Kn=S + ST Kn= Un - In
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Dettaglio mancante rango(A) < n ⇒ Ax = 0 per qualche x≠0
Kn S = B1 + ⋯ + Bm ⇒ rango(S) n - 1 S + ST =Un - In Per assurdo rango(S) ≤ n - 2 Sx = 0 con x ≠0 e ∑xi=0 rango(A) < n ⇒ Ax = 0 per qualche x≠0 rango(A+B) ≤ rango(A) + rango(B)
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Dettaglio mancante Kn S = B1 + ⋯ + Bm ⇒ rango(S) n - 1
S + ST =Un - In Per assurdo rango(S) ≤ n - 2 Sx = 0 con x ≠0 e ∑xi=0 (S + ST)x= STx= (Un - In)x = - x xTSTx = (xT) (- x) = -||x||20 xTST= (Sx)T = 0T 00
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Ricetta del giorno (lower bound)
Quanti “pezzi” B1 ,..., Bm servono per ottenere un oggetto O? Passo 1 associare matrici O B1,...,Bm Passo 2 O = B1+⋯ +Bm tradurre in somma B1,...,Bm O Passo 3 rango(O) ≥ R rango(Bi) ≤ r limitare rango 𝑚≥ 𝑅 𝑟
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Esercizio Prendiamo il grafo completo su n nodi:
Copriamo tutti gli archi un numero dispari di volte (può cambiare da arco ad arco) con grafi bipartiti completi. Dimostra che servono m ≥ (n-1)/2 grafi bipartiti. Sugg: può essere utile questa cosa: rango(A+B) ≥ rango(A) - rango(B)
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Esercizio Dimostra che il rango della matrice Kn
può cambiare a seconda del campo in cui facciamo le operazioni.
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Cosa ricordare Una “ricetta” per dare un limite inferiore al numero di oggetti (rango) La prima ricetta del corso ci dava un limite superiore (linear algebra bound)
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