FORMULE TRIGONOMETRICHE

Presentazione sul tema: "FORMULE TRIGONOMETRICHE"— Transcript della presentazione:

1 FORMULE TRIGONOMETRICHE

2 FORMULE TRIGONOMETRICHE
Le funzioni goniometriche seno, coseno, tangente e cotangente sono usate normalmente ogni volta che è necessario descrivere come varia una grandezza fisica scalare in funzione della direzione e, più in generale, ogni volta che in un problema è coinvolto un angolo Ma hanno un «difetto», non sono proporzionali agli angoli; per esempio, il seno di 90° non è il triplo del seno di 30° altro esempio, la tangente di 90° non è il doppio della tangente di 45° La tangente di 45° è 1 mentre quella di 90° è !!!!!

3 FORMULE TRIGONOMETRICHE
E’ fondamentale quindi avere a disposizione delle regole (formule) che possano permettere di calcolare il valore delle funzioni goniometriche partendo da particolari combinazioni di angoli Ad esempio: quanto vale il coseno di un angolo pari a a – b cos(a – b) se si conoscono cosa e cosb?

4 FORMULE TRIGONOMETRICHE cos(a – b) = sena senb + cosa cosb
La risposta è cos(a – b) = sena senb + cosa cosb Come si ottiene questa relazione?

5 FORMULE TRIGONOMETRICHE FORMULE DI ADDIZIONE E SOTTRAZIONE

6 Coseno della differenza tra due angoli
cos(a – b) y P’ a A x

7 P’ (cosa; sena) y P’ a A x

8 P’ (cosa; sena) y P P’ a b A x

9 P’ (cosa; sena) y P P (cosb; senb) P’ P a b A x

10 Quest’angolo in verde è
P’ (cosa; sena) y P P (cosb; senb) P’ P a - b a b A x Quest’angolo in verde è a - b

11 P’ (cosa; sena) y P P (cosb; senb) P’ P a - b A x

12 a - b A P’ (cosa; sena) P P (cosb; senb) P’ P
y P P (cosb; senb) P’ P a - b A x Scriviamo l’espressione della distanza P’P

13 A (xa; ya) B(xb; yb) y B A A B = (xb – xa)2 + (yb –ya)2 x
RIPASSO DISTANZA TRA DUE PUNTI IN UN SISTEMA DI ASSI CARTESIANI A (xa; ya) B(xb; yb) y B A A B = (xb – xa)2 + (yb –ya)2 x

14 a - b A P’ (cosa; sena) P P (cosb; senb) P’ P
y P P (cosb; senb) P’ P a - b A x Scriviamo l’espressione della distanza P’P

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18 Costruiamo lo stesso angolo (a – b) partendo dal punto A
P’ (cosa; sena) y P P (cosb; senb) P’ P a - b A x Costruiamo lo stesso angolo (a – b) partendo dal punto A

19 Costruiamo lo stesso angolo a – b partendo dal punto A
P’ (cosa; sena) y P P (cosb; senb) P’ P a - b A x x Costruiamo lo stesso angolo a – b partendo dal punto A

20 y K P P’ P a - b A x x

21 A (1; 0) K [cos(a – b); sen(a – b)]
y K P P’ P a - b A x A (1; 0) K [cos(a – b); sen(a – b)] La distanza AK è data da

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23 y K P P’ P a - b A x PP’ = AK

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25 Coseno della somma tra due angoli
cos(a + b)

26 cos(a + b) = cos[a – (- b)]
Applicando la relazione trovata in precedenza cos[a – (- b)] = senasen(- b) + cosacos(- b) e, poiché sen(- b) = - senb e cos(- b) = cosb y b - b x

27 cos(a + b) = cos[a – (- b)]
Applicando la relazione trovata in precedenza cos[a – (- b)] = senasen(- b) + cosacos(- b) e, poiché sen(- b) = - senb e cos(- b) = cosb y b - b x

28 sena[- senb] + cosacosb = - senasenb + cosacosb
cos(a + b) = cos[a – (- b)] Applicando la relazione trovata in precedenza cos[a – (- b)] = senasen(- b) + cosacos(- b) e, poiché sen(- b) = - senb e cos(- b) = cosb y b - b x cos(a + b) = sena[- senb] + cosacosb = - senasenb + cosacosb quindi

29 Seno della somma tra due angoli
sen(a + b)

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33 Seno della differenza tra due angoli
sen(a - b)

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36 FORMULE DI DUPLICAZIONE
sen2a = ? cos2a = ? tg2a = ? cotg2a = ?

37 FORMULE DI DUPLICAZIONE sen2a = sen(a + a) = cosa sena + sena cosa

38 FORMULE DI DUPLICAZIONE cos2a = cos(a + a) = cosa cosa - sena sena

39 FORMULE DI DUPLICAZIONE
Esercizio Utilizzando sen2a = 2sena cosa cos2a = cos2a - sen2a Ricavare le formule di duplicazione per: tg2a e cotg2a

40 sen(a-b) = senacosb - senbcosa cos(a-b) = senasenb + cosbcosa
FORMULE DI SOTTRAZIONE ESEMPIO DI APPLICAZIONE sen(a-b) = senacosb - senbcosa cos(a-b) = senasenb + cosbcosa

41 sen(a-b) = senacosb - senbcosa cos(a-b) = senasenb + cosbcosa
FORMULE DI SOTTRAZIONE ESEMPIO DI APPLICAZIONE sen(a-b) = senacosb - senbcosa cos(a-b) = senasenb + cosbcosa

42 sen(a+b) = senacosb + senbcosa cos(a+b) = senasenb - cosbcosa
FORMULE DI ADDIZIONE ESEMPIO DI APPLICAZIONE sen(a+b) = senacosb + senbcosa cos(a+b) = senasenb - cosbcosa

43 sen(a+b) = senacosb + senbcosa cos(a+b) = cosbcosa - senasenb
FORMULE DI SOTTRAZIONE ESEMPIO DI APPLICAZIONE sen(a+b) = senacosb + senbcosa cos(a+b) = cosbcosa - senasenb