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Corso di Fisica Subnucleare
Effetto Materia Se il neutrino attraversa un mezzo denso (sole, terra), l'interazione con la materia altera i risultati ottenuti nel vuoto (Wolfenstein 1978) Imperturbato, autostati : | v j > Interazione, autostati : | v a > π β βπ‘ |ξ>=ξ π» 0 ξ π» πΌ ξ|ξ> Gli autostati di H nella materia sono una combinazione di vj e va . Questo cambia i risultati precedenti Corso di Fisica Subnucleare Parte II β AA 06-07
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Il potenziale: VI = <na | HI | na >
Materia : p, n, e-, con densita' rp, rn, re Interazioni corrente neutra : ξπΈβ πΊ πΉ ξ π ξ π 2 ξ2A 2πΈ ξ ξ π,ξ,ξ π πΌ,ξ· ππΆ = πΊ ξ ξ π β ξ π ξξ1β4 sin 2 ξΎ π ξβ ξ π Z =β πΊ πΉ ξ π Lo stesso termine per ne, nm, nt π=ξπ,π,πξ π Interazioni corrente carica : π πΌ,π πΆπΆ = πΊ πΉ ξ π ξ π π β Solo ne W+ π πΌ,ξ,ξ πΆπΆ =0 ξ π π β Corso di Fisica Subnucleare Parte II β AA 06-07
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Potenziale corrente carica (1)
π» πππ ππ = πΊ πΉ π½ ξ· ξ π½ ξ = πΊ πΉ ξ΅ π ξΉ ξ· ξ1β ξΉ 5 ξ ξ΅ ξ ξ΅ ξ ξΉ ξ· ξ1β ξΉ 5 ξ ξ΅ π = πΊ πΉ ξ΅ π ξΉ ξ· ξ1β ξΉ 5 ξ ξ΅ π ξ΅ ξ ξΉ ξ· ξ1β ξΉ 5 ξ ξ΅ ξ = πΊ πΉ π½ ξ·,π π½ ξ ξ· (rotazione di Fierz ) π πΌ ππ =<πξ| π» πΌ πΆπΆ |πξ>= πΊ πΉ < e| π½ ξ·,π |e ><ξ| π½ ξ ξ· |ξ> < e| π½ 0,π |e >= ξ π Elettroni del mezzo a riposo : < e| π½ π ξ |e >=0 π πΌ ππ = πΊ πΉ ξ π <ξ| ξ ξ ξ ξΉ 0 ξ1β ξΉ 5 ξ ξ ξ |ξ>= πΊ πΉ ξ π 2 Corso di Fisica Subnucleare Parte II β AA 06-07
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Energia Potenziale in Base di Interazione (a)
π ππΆ ξ 2 πΊ πΉ ξ π π ππΆ π ππΆ ξ π ξ ξ ξ VI = VINC + VICC = 2 πΊ πΉ ξ π β πΊ πΉ ξ π 2 VI = Corso di Fisica Subnucleare Parte II β AA 06-07
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Corso di Fisica Subnucleare
Energia Cinetica In base di massa (j) : πΈ πΈ πΈ 3 = πΈξ π πΈ πΈξ π πΈ πΈξ π πΈ 1 2πΈ Γ π π π 3 2 EK(j) = = E 1 + EK(j) = E 1 + 1/(2E) M In base di interazione (a) : EK(a) = E 1 + 1/(2E) UMU+ Corso di Fisica Subnucleare Parte II β AA 06-07
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L'Oscillazione Nella Materia: E Totale
Energia totale in base a (interazione): H = VCC + VNC 1 + E 1 + 1/(2E) U M U + = Vcc + (VNC+E) /(2E) U M U + Nuovi autostati: diagonalizzo H Corso di Fisica Subnucleare Parte II β AA 06-07
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Un esempio in 2 dimensioni
So (a posteriori) che posso scomporre il problema in due oscillazioni ~ disaccoppiate Considero il caso a due dimensioni: π= π π 2 2 π= cosξΎ sinξΎ βsinξΎ cosξΎ Pura rotazione UMU ξ = π 2 Γ ξ ξ π 2 2 Γ βπππ 2ξΎ π ππ2ξΎ π ππ2ξΎ πππ 2ξΎ π 2 = π 1 2 ξ π , ξ π 2 = π 1 2 β π 2 2 Esercizio: ricavare questa relazione Corso di Fisica Subnucleare Parte II β AA 06-07
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L'Hamiltoniano 2D H = (VNC+E) 1 + Vcc + 1/(2E) U M U + = =ξπΈβ πΊ πΉ ξ π ξ ξ πΊ πΉ ξ π ξ π 2 2πΈ ξ ξ π 2 4πΈ βcos2ξΎ sin2ξΎ sin2ξΎ cos2ξΎ =ξπΈβ πΊ πΉ ξ π ξ π 2 2πΈ ξ ξ 1 4πΈ πΊ πΉ ξ π πΈβξ π 2 cos2ξΎ ξ π 2 sin2ξΎ ξ π 2 sin2ξΎ ξ π 2 cos2ξΎ =ξπΈβ πΊ πΉ ξ π ξ π 2 ξ2A 2πΈ ξ ξ 1 4πΈ π΄βξ π 2 cos2ξΎ ξ π 2 sin2ξΎ ξ π 2 sin2ξΎ ξ π 2 cos2ξΎβπ΄ π΄=2 2 πΊ π ξ π πΈ Corso di Fisica Subnucleare Parte II β AA 06-07
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L'Hamiltoniano 2D π»=ξπΈβ πΊ πΉ ξ π ξ π 2 ξ2A 2πΈ ξ ξ 1 4πΈ π΄βξ π 2 cos2ξΎ ξ π 2 sin2ξΎ ξ π 2 sin2ξΎ ξ π 2 cos2ξΎβπ΄ ξπΈβ πΊ πΉ ξ π ξ π 2 ξ2A 2πΈ ξ H = /(4E) S Per trovare autostati e autovalori e' sufficiente diagonalizzare S Corso di Fisica Subnucleare Parte II β AA 06-07
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Autostati e Autovalori
Casi particolari: A = 0 (re=0) ritrovo ovviamente gli autostati nel vuoto A = Dm2 cos2q Risonanza sin 2qm =1 massimo mescolamento anche per valori molto piccoli (ma non nulli) dei parametri fisici (PMSN) sin2 ξΎ π = sin2ξΎ sin 2 2ξΎξ ξ π΄ ξ π 2 βcos2ξΎξ 2 cos2 ξΎ π = cos2ξΎβ π΄ ξ π sin 2 2ξΎξ ξ π΄ ξ π 2 βcos2ξΎξ 2 sin 2 2ξΎξ ξ π΄ ξ π 2 βcos2ξΎξ 2 ξ π π 2 =ξ π 2 πΏ π = 4ξπΈ ξ π π 2 = sin 2 2 ξΎ π sin 2 2ξΎ πΏ 0 Corso di Fisica Subnucleare Parte II β AA 06-07
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Probabilita' di transizione
ξ± π ξ ξ π ξ ξ ξ ξ= sin 2 2 ξΎ π sin 2 ξξ πΏ πΏ π ξ materia ξ± 0 ξ ξ π ξ ξ ξ ξ= sin 2 2 ξΎ 0 sin 2 ξξ πΏ πΏ 0 ξ vuoto formalmente identiche ! tuttavia sin2 2qm puo' assumere grandi valori, fino a 1 , anche per valori piccoli di sin2 2q0 materia -> amplificazione e' quanto avviene nel caso dei neutrini solari Corso di Fisica Subnucleare Parte II β AA 06-07
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Condizioni per la risonanza
π΄=2 2 πΊ πΉ ξ π πΈ=ξ π 2 cos2ξΎξ ξ π = ξ π 2 cos2ξΎ πΊ πΉ πΈ tuttavia re = re(x) , dove x e' la distanza dal centro del sole quindi HI = HI(x) = HI(t) : hamiltoniano time dependent L'analisi e' complicata Si semplifica nell'ipotesi di adiabaticita' : cambiamento graduale di re(x), in modo che la zona di risonanza contenga svariate oscillazioni Corso di Fisica Subnucleare Parte II β AA 06-07
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Modello Ingenuo Nell'ipotesi di adiabaticita' , e nell'ipotesi che xN<xr<xS si trova che la probabilita' di oscillazione e' determinata dai valori di qm agli estremi : ξ±ξ ξ π ξ ξ π ξ= 1 2 ξ1ξcos2 ξΎ π ξ π₯ π ξcos2 ξΎ π ξ π₯ π ξξ ξ±ξ ξ π ξ ξ ξ ξ= 1 2 ξ1βcos2 ξΎ π ξ π₯ π ξcos2 ξΎ π ξ π₯ π ξξ Notiamo che: ξξ π₯ π ξβ«ξξ π₯ π ξξπ΄ξ π₯ π ξβ«π΄ξ π₯ π ξ=ξ π 2 cos2 ξΎ 0 Nucleo (produzione) 2 π₯ π e se sin 2q0 e' piccolo , allora : 2 π₯ π Risonanza cos2 ξΎ π ξ π₯ π ξββ1 (vedi espressione pag.10 ) ovvero: Superficie 2 π₯ π Corso di Fisica Subnucleare Parte II β AA 06-07
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Conclusioni ξ±ξ ξ π ξ ξ π ξ= 1 2 ξ1βcos2 ξΎ π ξ π₯ π ξξ= 1 2 ξ1βcos2 ξΎ 0 ξ Superficie solare assimilabile al vuoto ξ±ξ ξ π ξ ξ ξ ξ= 1 2 ξ1ξcos2 ξΎ π ξ π₯ π ξξβ 1 2 ξ1ξcos2 ξΎ 0 ξ Se sin 2q0 e' piccolo cos 2q0 ~ 1 --> massima oscillazione ! Situazione paradossale indotta dal fenomeno della risonanza Corso di Fisica Subnucleare Parte II β AA 06-07
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