Questa è la funzione esponenziale

Presentazione sul tema: "Questa è la funzione esponenziale"— Transcript della presentazione:

1 Questa è la funzione esponenziale

2 Questa è la funzione esponenziale
Consideriamo a = 2 f(x) = 2x

3 Se diamo alla x il valore X = 1, otteniamo per la funzione

4 f(1) =21 = 2 Se diamo alla x il valore
X = 1, otteniamo per la funzione f(1) =21 = 2 Mentre se diamo alla x il valore X = 10, otteniamo per la funzione f(10) =210 = 1024

5 Questa parte del grafico è inutilizzabile
Aumentando il valore della x di sole 10 volte il valore della funzione aumenta di più di 1000 volte Questo fatto può essere molto scomodo quando si devono eseguire calcoli ed utilizzare i grafici Questa parte del grafico è inutilizzabile e poiché le funzioni esponenziali, in modo più o meno complicato, sono usatissime in vari campi, questo capita molto spesso ?

6 Questa parte del grafico è inutilizzabile
La funzione esponenziale costituisce il modello matematico che, in modo più o meno complicato, permette di descrivere fenomeni e situazioni in svariati campi Questa parte del grafico è inutilizzabile Ma può essere molto scomoda da usare!!! ?

7 Per aggirare l’ostacolo dovuto della scomodità si ricorre ad un «trucco»:
Poiché, in una funzione esponenziale, la base è sempre la stessa, si possono utilizzare nei calcoli , inizialmente, i valori degli esponenti e solo successivamente il valore della funzione f(x) = ax

8 CONCENTRIAMOCI SULL’ESPONENTE X
X è il valore da dare all’esponente della base a per ottenere il valore della funzione

9 X è il valore da dare all’esponente della base a per ottenere il valore della funzione
Esempio 1: 6 è il valore dell’esponente della base a che ci permette di ottenere il valore della funzione

10 X è il valore dell’esponente della base a che ci permette di ottenere il valore della funzione
Esempio 2: 4 è il valore dell’esponente della base a = 3 che ci permette di ottenere il valore della funzione

11 X è il valore dell’esponente della base a che ci permette di ottenere il valore della funzione
Esempio 3: - 4 è il valore dell’esponente della base a = 5 che ci permette di ottenere il valore della funzione

12 Ee, poiché nel linguaggio delle funzioni
Si può anche scrivere

13 X è il valore dell’esponente della base a che ci permette di ottenere il valore della funzione y Invertiamo i ruoli tra l’esponente x e la funzione esponenziale y in modo da ottenere il valore dell’esponente dalla funzione

14 X è il valore dell’esponente della base a che ci permette di ottenere il valore della funzione
Invertiamo i ruoli tra l’esponente e la funzione esponenziale in modo da ottenere il valore dell’esponente dalla funzione X , il valore dell’esponente della base a che ci permette di ottenere il valore della funzione, si chiama LOGARITMO IN BASE a DI y x = loga(ax)

15 X è il valore dell’esponente della base a che ci permette di ottenere il valore della funzione Invertiamo i ruoli tra l’esponente e la funzione esponenziale in modo da ottenere il valore dell’esponente dalla funzione x = f -1(y) x = f -1(ax)

16 Questo simbolo indica la funzione inversa
Invertiamo i ruoli tra l’esponente e la funzione esponenziale in modo da ottenere il valore dell’esponente dalla funzione x = f -1(y) x = f -1(ax) Questo simbolo indica la funzione inversa

17 ha come funzione inversa
f(x) = ax ha come funzione inversa x = loga f(x) E’ una funzione come tutte le altre, quindi può essere definita indipendentemente dalla funzione esponenziale f(x) = loga x

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19 Che tipo di funzione è

20 E' una funzione biunivoca, perché ad ogni valore di f(x) corrisponde un solo valore di x

21 funzione invertibile f(x3) f(x2) f(x1) x1 x2 x3
E' una funzione biunivoca, perché ad ogni valore di f(x) corrisponde un solo valore di x f(x3) Di conseguenza è una funzione invertibile f(x2) f(x1) x1 x2 x3

22 x = f -1 (y) Funzione inversa
è una funzione invertibile, cioè esiste una funzione tale che x = f -1 (y) da y = ax si passa a x = f -1 (y) Funzione inversa

23 x = f -1 (y) Per ottenere la funzione inversa è sufficiente che l’asse delle x , dove sono riportati gli esponenti prenda il posto dell’asse delle y (VALORI DELLA FUNZIONE) e viceversa

24 esempio di funzioni non invertibili
f(x) = ax2+ bx + c f1(x) x1B x1A Ad ogni valore di f(x) corrispondono due valori di x

25 x = f -1 (y) Per ottenere la funzione inversa è sufficiente che l’asse delle x , dove sono riportati gli esponenti prenda il posto dell’asse delle y (VALORI DELLA FUNZIONE) e viceversa

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32 Gli esponenti sono correttamente sull’asse delle y ma l’asse orizzontale, pur riportando i valori della funzione, è diretto in senso opposto rispetto al normale Per ovviare a questo inconveniente l’asse orizzontale deve ruotare perpendicolarmente al piano del disegno, intorno all’asse verticale

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39 x 1

40 x Adesso rinominiamo gli assi mettendo x su quello orizzontale e y su quello verticale 1

41 x Adesso rinominiamo gli assi mettendo x su quello orizzontale e y su quello verticale 1

42 Questa è la funzione logaritmo
f(x) Questa è la funzione logaritmo f(x) = logax 1 x

43 Questa è la funzione logaritmo
f(x) f(x) = logax Questa è la funzione logaritmo f(x) = logax a > 1 1 x

44 Cerchiamo la funzione inversa della funzione esponenziale anche nel caso in cui
f(x) = ax < a < 1

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51 0 < a < 1

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53 f1(x) = loga x f2(x) = logb x

54 f1(x) = loga x 0 < a < 1 f2(x) = logb x b > 1

55 Sono simmetriche rispetto alla bisettrice del I e del III quadrante
Le due funzioni f(x) = loga x e f(x) = a x Sono simmetriche rispetto alla bisettrice del I e del III quadrante f(x) = loga x

56 x è il valore dell’esponente della base a che ci permette di ottenere il valore della funzione f(x)
Identica a: da cui : infine

57 PROPRIETA’ DEI LOGARITMI
IL LOGARITMO DI UN PRODOTTO E’ UGUALE ALLA SOMMA DEI LOGARITMI

58 IL LOGARITMO DI UN RAPPORTO E’ UGUALE ALLA DIFFERENZA DEI LOGARITMI
PROPRIETA’ 2 IL LOGARITMO DI UN RAPPORTO E’ UGUALE ALLA DIFFERENZA DEI LOGARITMI

59 IL LOGARITMO DI UNA POTENZA E’ UGUALE AL
PROPRIETA’ 3 IL LOGARITMO DI UNA POTENZA E’ UGUALE AL PRODOTTO DELL’ESPONENTE PER IL LOGARITMO DELLA BASE