POLIGONI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI

Presentazione sul tema: "POLIGONI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI"— Transcript della presentazione:

1 POLIGONI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI

2 Definizioni e proprietà generali
POLIGONO INSCRITTO: un poligono si dice inscritto in una circonferenza quando i suoi vertici stanno sulla circonferenza; la circonferenza a sua volta si dice circoscritta al poligono. POLIGONO CIRCOSCRITTO: un poligono si dice circoscritto a una circonferenza, quando i suoi lati sono tangenti alla circonferenza, che a sua volta si dice inscritta nel poligono.

3 Teorema 1 Poligono inscritto nella circonferenza..
Quando un poligono è inscritto in una circonferenza, gli assi dei lati si incontrano in un punto, che è il centro della circonferenza Infatti, i lati di un poligono inscritto sono corde della circonferenza e gli assi delle corde passano per il centro c.v.d

4 Teorema 2 Poligono circoscritto a una circonferenza
Quando un poligono è circoscritto a una circonferenza, le bisettrici degli angoli si incontrano in un punto, che è il centro della circonferenza. Infatti, due qualsiasi lati consecutivi del poligono sono le tangenti alla circonferenza condotte dal loro punto di intersezione e le bisettrici degli angoli delle tangenti passano per il centro della circonferenza c.v.d

5 TRIANGOLI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI
A ogni triangolo si può sempre circoscrivere una circonferenza il cui centro è il punto di intersezione degli assi dei lati. È cosi giustificato il nome di circocentro, attribuito al punto di incontro degli assi di un triangolo. In ogni triangolo si può sempre inscrivere una circonferenza,il punto d’incontro è detto incentro.

6 QUADRILATERI INSCRITTI E CIRCOSCRITTI
A un poligono qualunque con più di tre lati, in generale non si può né circoscrivere e né inscrivere una circonferenza: quando ciò avviene il poligono si dice rispettivamente inscrittibile o circoscrittibile.

7 TEOREMA 3 QUADRILATERO INSCRITTO IN UNA CIRCONFERENZA
In un quadrilatero inscritto in una circonferenza gli angoli opposti sono supplementari. Consideriamo un quadrilatero ABCD inscritto nella circonferenza di centro O. L’angolo B è la metà dell’angolo concavo AOC e l’angolo D è la metà dell’angolo convesso AOC, esplementare del precedente. Quindi la somma degli angoli B e D è la metà della somma degli angoli al centro corrispondenti: quest’ultima somma è un angolo giro, quindi B+D è un angolo piatto. La dimostrazione è analoga per gli altri due angoli opposti A e C.

8 TEOREMA 4 (TEOREMA INVERSO DEL TEOREMA 3)
Ogni quadrilatero con gli angoli opposti supplementari è inscrittibile in una circonferenza. Quindi i rettangoli, i quadrati, i trapezi isosceli sono tutti inscrittibili in una circonferenza

9 TEOREMA 5 Se un quadrilatero è circoscritto a una circonferenza, la somma di due lati opposti è congruente alla somma degli altri due.

10 GLI OGGETTI POSSIBILI DI PENROSE
La «tassellatura non periodica» più famosa è quella studiata da Roger Penrose, matematico, fisico, cosmologo, e filosofo britannico, noto per il suo lavoro nel campo della fisica matematica dell’Università di Oxford. Viene da una famiglia di scienziati e artisti; figlio del genista, psichiatra e matematico Lionel Penrose. Roger è un grande esperto in giochi matematici e ritiene giustamente che la matematica sia il gioco più divertente. I suoi risultati eccezionali nel campo della cosmologia non sono così popolari come i suoi oggetti impossibili, e le tassellature non periodiche, che ritroviamo anche nel suo libro più noto : «La mente nuova dell’imperatore», uscito nel 1989, definito come «un libro meraviglioso per profani intelligenti».

11 LE TASSELLATURE NON PERIODICHE
Esistono molti insiemi di tasselli che portano a tassellature non periodiche. Il primo, scoperto nel 1966, era enorme, formata da tessere. Successivamente diversi matematici scoprirono insiemi di tessere sempre più piccoli, fino alle più semplici coppie di tessere di Penrose. La coppia più famosa è quella formata dalla «punta» e dall’ «aquilone», due tessere che si ottengono da un rombo avente gli angoli rispettivamente di 72° e 108°. Se si riporta sulla diagonale maggiore la misura del lato del rombo, come indicato in figura, si ottengono due parti, chiamate, come abbiamo detto, punta e aquilone, con le quali è possibile costruire una tassellatura non periodica. Ma si deve fare attenzione a non ricostruire il rombo, altrimenti si ricade su una tassellatura regolare. Per evitare questo si possono segnare le due tessere con linee di colore diverso, oppure dotarle di rientranze e sporgenze. Si osservi che il rapporto tra i lati è il numero d’oro. La lunghezza di un lato è 1,618… volte quella dell’altro lato. E curiosamente il numero di «aquiloni», in qualsiasi schema che ricopra il piano, è esattamente 1,618…. Volte quello delle punte.

12 Esistono tanti modi per tassellare un piano senza lasciare intervalli o buchi. Non esiste simmetria traslazionale: così le tassellature sono aperiodiche e lo schema è sempre diverso. Ad esempio, utilizzando le tre tessere di figura, dette «polimini», scoperti da Penrose, che possono ricoprire il piano in modo non periodico. In questo caso, la composizione varia in modo imprevedibile, costruendo un arabesco affascinante. È un esempio di quelli che vengono definiti «universi giocattolo». È possibile dimostrare che questa copertura del piano è realizzabile e il computer non è in grado di simulare questo universo cioè, non esiste un programma che consenta al computer di stabilire quando un insieme di tessere di questo tipo possa ricoprire il piano.

13 Come ultimo esempio di un problema di matematica, consideriamo il problema di coprire il piano euclideo con forme poligonali: disponendo di un numero finito di tali forme diverse, ci chiediamo se sia possibile ricoprire completamente il piano, senza vuoti e senza sovrapposizione, usando solo queste forme e non altre. Tale disposizione è detta tassellatura del piano. Sappiamo bene che tali tassellature sono possibili usando solo quadrati, o solo triangoli equilateri no solo esagoni regolari, ma non usando pentagoni regolari. Per tassellare il piano si possono usare molte altre forme singole, come ciascuno dei pentagoni irregolari. Usando un paio di forme la tassellatura può diventare più complessa.

14 POLIGONI REGOLARI DEFINIZIONE: Un poligono si dice regolare quando ai lati e gli angoli congruenti, cioè quando è equilatero e equiangolo. LATI POLIGONO ANGOLO 3 triangolo 60° 4 quadrato 90° 5 pentagono 108° 6 esagono 120° 8 ottagono 135° 9 ennagono 140° 10 decagono 144° 12 dodecagono 150°

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16 LE PROPRIETA' DEI POLIGONI REGOLARI
Ogni poligono regolare può essere inscritto in una circonferenza e circoscritto a un'altra con lo stesso centro. Consideriamo un esagono. Conduciamo le bisettrici di due angoli consecutivi. La somma della metà di A E B è minore di un angolo piatto e le bisettrici si incontrano in un punto O. Le rette che congiungono il punto O con i vertici sono tutte bisettrici degli angoli del poligono. La circonferenza passante per uno dei vertici passa anche per tutti gli altri e questa è detta circonferenza circoscritta al poligono. E il poligono risulta circoscritto a questa seconda circonferenza. Il centro della circonferenza si dice centro del poligono. Il raggio della circonferenza inscritta si dice apotema del poligono e quello della circonferenza circoscritta si dice raggio del poligono. Poiché corde congruenti di una stessa circonferenza sottendono archi congruenti, i vertici di un poligono regolare dividono la circonferenza circoscritta in archi congruenti. Se una circonferenza è divisa in n archi congruenti, il poligono inscritto ottenuto congiungendo successivamente i punti di suddivisione è regolare anche il poligono circoscritto i cui lati sono tangenti alla circonferenza in quei punti. Per circoscrivere alla circonferenza il poligono regolare che ha lo stesso numero di lati del poligono inscritto,bisogna condurre nei punti di divisione le tangenti alla circonferenza stessa.

17 MODI PER ISCRIVERE UN POLIGONO IN UNA CIRCONFERENZA
Per inscrivere in una circonferenza un quadrato, ossia dividere una circonferenza in quattro parti congruenti, bisogna tracciare due diametri perpendicolari che dividono la circonferenza in quattro archi uguali e così si ottiene il quadrato. Per inscrivere in una circonferenza un esagono regolare,bisogna tracciare una corda congruente al raggio,l'arco che sottende la corda è uguale alla sesta parte della circonferenza. Partendo da un estremo della corda tracciamo cinque corde congruenti al raggio, la circonferenza è divisa in sei parti uguali. Il lato dell'esagono regolare è congruente al suo raggio perché se congiungiamo i punti di suddivisione in modo alternato,le corde che si ottengono sono congruenti, perché sottese da archi congruenti quindi si ottiene un triangolo equilatero.

18 DIVISIONE DELLA CIRCONFERENZA IN N ARCHI CONGRUENTI
La possibilità di dividere una circonferenza in parti congruenti con gli strumenti elementari, cioè con riga e compasso. Grazie soprattutto al matematico tedesco Gauss, lo studio di tale questione ha condotto al seguente risultato definitivo. La divisione di una circonferenza in n archi congruenti, con riga e compasso;

19 è possibile solo nei due casi seguenti:
Quando n è un numero primo, esso deve essere della forma (2) elevato alla 2h +1,con h numero naturale; Quando n non è un numero primo, esso deve risultare il prodotto di una potenza di 2 per un certo numero di fattori primi distinti, ciascuno della forma (2) elevato alla 2h +1.

20 Per esempio, è possibile dividere in modo elementare una circonferenza nel seguente numero di parti congruenti 2²+1= 5 Invece non è possibile dividerla in modo elementare, per esempio, in 7, 11, 13… parti congruenti perché questi numeri primi non sono della forma indicata nella prima delle condizioni precedenti.

21 MISURA DELLA LUNGHEZZA DI UNA CIRCONFERENZA
Ricordiamo che il valore del pi greco=C/d. È un numero irrazionale (numero decimale illimitato non periodico e che quindi non può essere scritto sotto forma di frazione). È anche un numero trascendente. Una conseguenza della trascendenza è che risulta impossibile, utilizzando riga e compasso, la rettificazione della circonferenza (cioè tracciare un segmento lungo quanto una circonferenza) e la quadratura del cerchio (cioè il disegnare un quadrato equivalente a un cerchio). Si ricorda che vi sono irrazionali non trascendenti come la radice quadrata di 2 (disegnando un triangolo rettangolo i cui cateti misurano entrambi 1, l’ipotenusa è la radice quadrata di 2). Il valore del pi greco può essere calcolato in modo approssimativo: 3, …. Con molti metodi.

22 Possiamo ad esempio applicare il metodo di esaustione di Archimede (ovviamente egli utilizzò nei calcoli le frazioni e non i numeri decimali) che inscrisse e circoscrisse poligoni regolari di 6, 12, 24, 48, 96 lati ottenendo il valore: 3+10/71<pi-greco<3+10/70. Noi possiamo raddoppiare ulteriormente il numero di lati per migliorare l’approssimazione. Archimede determinò per ogni coppia (poligono inscritto e circoscritto) il rapporto tra perimetro e diametro ed osservando che la lunghezza della circonferenza è compresa tra i due perimetri, calcolò pi-greco per difetto e per eccesso. Raddoppiando ogni volta il numero dei lati la «forbice» si riduce perché i due poligoni si avvicinano sempre più alla circonferenza.

23 Il procedimento si effettua ricordando che tutti i cerchi sono simili e quindi, poiché il valore del pi-greco non dipende dalla loro grandezza, per semplificare i calcoli conviene considerare il raggio. OSSERVAZIONE Considerando il raggio=1 e il diametro=2 si ha: Perimetro esagono (inscritto) Apotema esagono (inscritto)=6*1; X=perimetro esagono (circoscritto) Apotema esagono (inscritto)=0,866 circa (applicando il teorema di Pitagora) Apotema esagono (circoscritto)=1 Quindi: 6 : X = 0,866 : 1 X=(6*1)/0,866)=6,928… da cui : 6<2 pi-greco*1<6,928 3< pi-greco <3,464

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25 Fine… Realizzato da : Di Palma Valeria Nato Luciana Paradiso Antonio Ritucci Arianna Scrocca Iris Classe IIB