La Geometria Tra Euclide e Pitagora

Presentazione sul tema: "La Geometria Tra Euclide e Pitagora"— Transcript della presentazione:

1 La Geometria Tra Euclide e Pitagora

2 La vita di Euclide Biografia
Euclide nasce presumibilmente nel 323 avanti Cristo. Le notizie sulla sua vita sono molto poche, e c'è addirittura chi mette in dubbio che egli sia realmente esistito. È abbastanza certo, comunque, che egli abbia vissuto ad Alessandria d'Egitto esercitando la professione di matematico: a volte è indicato come Euclide d'Alessandria. Padre degli Elementi Euclide è considerato il padre degli "Elementi", tredici libri destinati a diventare il punto di partenza di tutti gli studi successivi in campo aritmetico e geometrico (ma anche in tutti quegli ambiti in cui i Greci proveranno ad applicare la matematica). 

3 La geometria formulata da Euclide consiste nell’assunzione di cinque concetti, detti assiomi o postulati, e nella derivazione di altri teoremi che non abbiano alcuna contraddizione con essi. LA GEOMETRIA EUCLIDEA

4 Questa organizzazio ne della geometria permise l’introduzion e della retta, del piano, della lunghezza e dell’area. Sebbene molte delle conclusioni di Euclide fossero già conosciute dai matematici, egli mostrò come queste potessero essere organizzate in una maniera deduttiva e con un sistema logico.

5 per poi passare alla geometria solida in tre dimensioni.
Gli Elementi di Euclide iniziano con un’analisi della geometria piana, utilizzata come primo approccio alle dimostrazioni matematiche, per poi passare alla geometria solida in tre dimensioni.

6 Teoremi di Euclide Tra i teoremi più importanti della Geometria Euclidea, un ruolo speciale assumono i due teoremi di Euclide. Tali teoremi permettono di stabilire alcune importanti relazioni tra alcuni segmenti notevoli di un triangolo rettangolo. Il primo teorema, inoltre, fornisce un metodo rapido per dimostrare il teorema di Pitagora.

7 Primo Teorema di Euclide
TEOREMA (Primo teorema di Euclide): In un triangolo rettangolo, il quadrato costruito su uno dei due cateti è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni la proiezione del cateto sull’ipotenusa e l’ipotenusa stessa.

8 Facendo riferimento alla figura precedente, abbiamo quindi che
a x a = d x c o anche CB x CB = AB x HB Una formulazione analoga del teorema può essere data utilizzando il linguaggio delle proporzioni: ovvero, ogni cateto di un triangolo rettangolo è medio proporzionale tra l’ipotenusa e la proiezione del cateto stesso sull’ipotenusa. Con una formula, questa affermazione si scrive c : a = a : d o anche AB : CB = CB : HB

9 APPLICAZIONE PRIMO TEOREMA
Un triangolo rettangolo ha un cateto lungo cm 15 e la sua proiezione sull'ipotenusa pari a cm 9. Determinare l’ipotenusa. Conoscendo la misura di un cateto e la misura della sua proiezione sull'ipotenusa possiamo applicare il primo teorema di Euclide e calcolare la misura dell'ipotenusa (a). Cioè: a = b2/ pb a = 152/ 9 = 225/ 9 = 25 cm.

10 I libri Nel primo libro degli "Elementi", Euclide introduce gli oggetti geometrici fondamentali (e cioè il piano, la retta, il punto e l'angolo); dopodiché, egli tratta le proprietà fondamentali dei cerchi e dei poligoni, enunciando anche il teorema di Pitagora.

11 Pitagora: la biografia
Pitagora nacque a Samo, verso il 572 a. C; abbandonò, all'età di 46 anni, la sua patria e si stabilì a Crotone. A Pitagora si deve la ripartizione della matematica nei quattro rami: aritmetica, musica, geometria e astronomia; ripartizione che rimase nel programma di tutte le scuole, fino al medioevo, col nome di quadrivio. Alla Scuola pitagorica si devono importantissime conquiste in ordine a tali quattro rami; caratterizzate da una logica sicura e fortemente coordinata, tale da rendere la detta scuola indiscutibile fonte delle più salde radici della matematica.

12 La scuola pitagorica Pitagora, verso i 40 anni si stabilì a Crotone, nella Magna Grecia, dove fondò una scuola, frequentata dagli aristocratici. Essa era una specie di società segreta, con base matematica e filosofica,in cui venivano studiate la musica, l’aritmetica, l’astronomia e la geometria. La scuola pitagorica aveva dei regolamenti molto rigidi: gli allievi erano selezionati dopo un lungo tirocinio e divisi in due categorie, gli ascoltatori e i matematici, i quali venivano a conoscenza degli insegnamenti più elevati e dei segreti più profondi di questa scuola.

13 La scuola aveva un carattere mistico, ma era fondata sulla matematica, soprattutto sul numero, come rispecchiato dal suo motto ‘tutto è numero’. Il numero veniva concepito come l’essenza delle cose e si riteneva addirittura che fosse dotato di potere magico. Per questo ai numeri fu dedicato uno studio particolare; li si divideva in diverse categorie associandoli a figure geometriche. Si avevano così i numeri triangolari, quadrati, pentagonali e così via.

14 Numeri triangolari, dati dalla successione delle seguenti somme: …+n Numeri quadrati, dati dalla successione delle seguenti somme: … Numeri pentagonali, dati dalla successione delle seguenti somme: …

15 Il numero triangolare 10, per i pitagorici aveva un grande potere mistico e sul suo simbolo essi usavano giurare. La scuola pitagorica studiò anche la teoria delle proporzioni e, in geometria, le rette parallele, le proprietà della somma degli angoli di un triangolo, le aree dei poligoni, i solidi regolari. Questi ultimi erano chiamati figure cosmiche.

16 Una proprietà del triangolo rettangolo,che vedremo dopo, si pensa fosse già nota ai popoli orientali ed egiziani molto prima dell’epoca in cui visse Pitagora. Ad esempio in un papiro scoperto a Kahum (e che risale a quasi 2000 a. C.) si trova detta relazione per il caso particolare di una stella raffigurata. Il segno di riconoscimento era costituito dal pentagono stellato inciso su un pezzo di legno.

17 Il teorema di Pitagora Il teorema di Pitagora è certamente il più noto di tutti i teoremi della matematica, e probabilmente è anche il più antico. Gli antichi Egizi avevano scoperto che utilizzando tre asticciole, di lunghezza 3,4,5 di qualsiasi unità di misura, potevano ottenere un triangolo rettangolo. Non sapevano però che in ogni triangolo rettangolo la misura del lato maggiore è uguale alla radice quadrata della somma dei quadrati delle misure degli altri due. La dimostrazione più classica è dovuta a Euclide.

18 La dimostrazione di Euclide
La dimostrazione del teorema di Pitagora più immediata e più diffusa nei libri scolastici consiste nel riempire uno stesso quadrato di lato uguale alla somma dei cateti prima con quattro copie del triangolo rettangolo più il quadrato costruito sull'ipotenusa e poi con quattro copie del triangolo rettangolo più i quadrati costruiti sui cateti, come in figura.

19 Enunciato In ogni triangolo rettangolo l'area del quadrato costruito
sull'ipotenusa è uguale alla somma delle aree dei quadrati costruiti sui cateti.

20 Applicazione del Teorema di Pitagora
In un triangolo rettangolo l’ipotenusa misura 15 cm, mentre l’altro cateto misura 9 cm. Calcola la misura dell’altro cateto. 15x15 – 9x9 = – 81 = = 12cm

21 LE TERNE PITAGORICHE Definizione
Se tre numeri interi a, b e c verificano la relazione a2 + b2 = c2, si dice che formano una terna pitagorica. Ad esempio (3, 4, 5) e (5, 12, 13) sono due notissime terne pitagoriche, mentre non lo è (1, 1, 2) perché l'ultimo numero non è intero. Anche (6, 8, 10) è una terna pitagorica, ottenuta raddoppiando i termini della (3, 4, 5).

22 TERNE PRIMITIVE E DERIVATE
Le terne come la (3, 4, 5) sono dette terne primitive e quelle come la (6, 8, 10) sono dette derivate. Infatti, se (a, b, c) è una terna pitagorica, lo è anche (ka, kb, kc), con k numero intero positivo. Come si distinguono le terne primitive da quelle derivate? Se a e b sono primi fra loro allora la terna è primitiva, altrimenti è derivata.

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24 Nel libro di Elisha Scott pubblicato nel 1940, troviamo 370 diverse dimostrazioni del teorema di Pitagora. Nessun altro teorema ha mai ricevuto tanta attenzione. Gli egiziani hanno usato questo teorema per costruire un angolo retto I greci l’hanno utilizzato per costruire una vasta rete di idee matematiche E’ stato utilizzato per costruire alcune branche della matematica moderna Un Teorema Famoso

25 Secondo teorema di Euclide
In un triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull’altezza relativa all’ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa.

26 APPLICAZIONE DEL SECONDO TEOREMA DI EUCLIDE
In un triangolo rettangolo le proiezioni dei due cateti sull'ipotenusa misurano rispettivamente cm 12,6 e cm 22,4. Determinare l'area del triangolo.

27 Conoscendo la misura di pb e pc, dobbiamo trovare l‘area del triangolo
Conoscendo la misura di pb e pc, dobbiamo trovare l‘area del triangolo. Per trovare l'area abbiamo bisogno di sapere la misura della base e dell'altezza del triangolo. La base sarà data da: a = 12,6 + 22,4 = cm 35. Per trovare l'altezza è sufficiente applicare il secondo teorema di Euclide, ovvero: h x h= Pb x Pc h= 16,8cm

28 Grazie per l’Attenzione!
Classe 2^B A.S. 2016/2017 Grazie per l’Attenzione! Di Tommaso Stefania Florio Elisa Massarelli Francesco Morgante Marianna Zeffiro Michele