Mario Scarpino - Francesco Sgaramella

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PROBABILITA’ La probabilità Eventi elementari, eventi composti La dipendenza e l’indipendenza stocastica Probabilità e frequenza 01/01/2019 Mario Scarpino - Francesco Sgaramella

GLI OBIETTIVI Distinguere tra modelli deterministici e modelli non deterministici Definire la probabilità di un evento Calcolare la probabilità di eventi composti Distinguere tra eventi dipendenti ed eventi indipendenti Definire la probabilità condizionata Stabilire il legame tra probabilità e frequenza 01/01/2019 Mario Scarpino - Francesco Sgaramella Mario Scarpino – Francesco Sgaramella

Modelli deterministici
Per modelli deterministici si intendono quei modelli nei quali, essendo noti i valori iniziali (dati) di una serie di variabili, è possibile determinare con certezza i valori finali assunti da una o più variabili (risultati) 01/01/2019 Mario Scarpino - Francesco Sgaramella

Modelli non deterministici
I modelli non deterministici sono quei modelli in cui il valore delle variabili non è determinabile a priori con certezza 01/01/2019 Mario Scarpino - Francesco Sgaramella

Eventi elementari, eventi composti
Un modo di caratterizzare gli eventi è quello di utilizzare la logica delle proposizioni e di considerare gli eventi elementari come proposizioni elementari e gli eventi composti come proposizioni composte, mediante la negazione non, la disgiunzione o, la congiunzione e. 01/01/2019 Mario Scarpino - Francesco Sgaramella Mario Scarpino – Francesco Sgaramella

La definizione di probabilità di un evento
01/01/2019 Mario Scarpino - Francesco Sgaramella

La probabilità di un evento E, sottoinsieme di un insieme U di casi possibili, finito ed equiprobabile, è il rapporto tra il numero dei casi favorevoli a E e il numero dei casi possibili 01/01/2019 Mario Scarpino - Francesco Sgaramella

Esempio Calcolare la probabilità che lanciando due dadi, la somma dei punteggi sia 6: i casi possibili sono U = 36 I casi favorevoli sono E = 5 : E= P(E)= 01/01/2019 Mario Scarpino - Francesco Sgaramella

PROBABILITA’ DELL’EVENTO COMPLEMENTARE P(nonE)=1-P(E) non E è l’evento complementare di E E E U 01/01/2019 Mario Scarpino - Francesco Sgaramella

Esempio calcolare la probabilità che nel lancio di un dado: a) risulti un numero maggiore di 4 (evento E); b) non risulti un numero maggiore di 4 (evento non E) U={1,2,3,4,5,6} #U=6 E= {5,6} #E=2 01/01/2019 Mario Scarpino - Francesco Sgaramella

PROBABILITA’ DELLA CONGIUNZIONE: P(AeB)

Esempio Nel lancio di un dado si considerino i due eventi: A:  si ha un numero pari B:  si ha un numero maggiore di tre , il sottoinsieme AB rappresenta l’evento A e B:  si ha un numero pari e maggiore di tre  01/01/2019 Mario Scarpino - Francesco Sgaramella

Nell’esempio precedente A  B = {4,6} e quindi P(A e B)=1/3 01/01/2019 Mario Scarpino - Francesco Sgaramella

EVENTI INCOMPATIBILI se due eventi non possono verificarsi simultaneamente si dicono incompatibili es. Nel lancio di un dado A= “risulta un numero pari” {2,4,6} B=“risulta un numero dispari” {1,3,5} in tali situazioni si ha: AB= P(AeB)=0 01/01/2019 Mario Scarpino - Francesco Sgaramella

PROBABILITA’ DELLA DISGIUNZIONE: P(AoB) P(AoB)=P(A)+P(B)-P(AeB) U A B Es. nel lancio di un dado A=“risulta un numero pari” B=“risulta un numero maggiore di 4” AoB=“risulta un numero pari o maggiore di 4 01/01/2019 Mario Scarpino - Francesco Sgaramella

A={2,4,6} P(A)=1/2 B={5,6} P(B)=1/3 i casi in cui risulta vera la proposizione AoB sono quelli appartenenti al sottoinsieme AB={2,4,5,6} e perciò: P(AoB)=4/6=2/3 tale valore può essere calcolato: P(AoB)=1/2+1/3-1/6 ove 1/2=P(A) 1/3=P(B) 1/6=P(AeB) 01/01/2019 Mario Scarpino - Francesco Sgaramella

DIPENDENZA E INDIPENDENZA STOCASTICA
Due eventi sono indipendenti se il verificarsi dell’uno non modifica la probabilità del verificarsi dell’altro es.: estrazioni con reimmissione. Un’urna contiene 12 palline di cui 8 bianche (B) e nere(N) (ogni volta che si estrae una pallina se ne registra il colore e la si rimette nell’urna) 01/01/2019 Mario Scarpino - Francesco Sgaramella

Modello dell’urna: estrazione con reimmissione B N 8/12 4/12 Calcoliamo la probabilità di ottenere, in due estrazioni con reimmissione, i seguenti eventi: a) P(BeB); b) P(NeN); P( (BeN) o (NeB) ). 01/01/2019 Mario Scarpino - Francesco Sgaramella

P(E1eE2)=P(E1)·P(E2) E1ed E2 sono indipendenti B N 8/12 4/12 01/01/2019 Mario Scarpino - Francesco Sgaramella

L’estrazione con reimmissione costituisce il modello per lo studio di eventi tra loro stocasticamente indipendenti 01/01/2019 Mario Scarpino - Francesco Sgaramella

Eventi stocasticamente dipendenti
Due eventi sono stocasticamente dipendenti se il verificarsi dell’uno modifica la probabilità del verificarsi dell’altro 01/01/2019 Mario Scarpino - Francesco Sgaramella

Modello dell’urna: estrazione senza reimmissione
L’albero è il seguente B N 8/12 4/12 7/11 4/11 8/11 3/11 01/01/2019 Mario Scarpino - Francesco Sgaramella

L’estrazione senza reimmissione costituisce il modello per lo studio di eventi tra loro stocasticamente dipendenti 01/01/2019 Mario Scarpino - Francesco Sgaramella

Prova a calcolare P(NeB)=……………………….. P(NeN)=……………………….. P((BeN)o(NeB))=……………… Calcola nel caso di estrazione con reimmisione e senza reimmisione 01/01/2019 Mario Scarpino - Francesco Sgaramella

PROBABILITA’ CONDIZIONATA
Probabilità condizionata di B rispetto ad A: P(B|A) Si dice probabilità condizionata di un evento B rispetto ad un evento A, e si scrive P(B|A), la probabilità di B, nell’ipotesi che si sappia che l’evento A si è già verificato. 01/01/2019 Mario Scarpino - Francesco Sgaramella

B U Sapere che l’evento A si è già verificato fa restringere l’insieme dei casi possibili al solo sottoinsieme corrispondente ad A. Perciò P(B|A) si ricava come rapporto tra il numero degli elementi di A  B e il numero degli elementi di A: 01/01/2019 Mario Scarpino - Francesco Sgaramella Mario Scarpino – Francesco Sgaramella

Possiamo perciò scrivere: Se due eventi sono indipendenti il verificarsi dell’uno non modifica la probabilità del secondo. Perciò in tale caso P(B|A)=P(B) Se due eventi sono dipendenti la notizia del verificarsi del primo evento modifica la probabilità del secondo e P(B|A)P(B) 01/01/2019 Mario Scarpino - Francesco Sgaramella

In ogni caso , dalla formula che definisce la probabilità condizionata si ricava un modo di calcolare la probabilità di un evento congiunto: P(AeB)=P(A)·P(B|A) Questa formula è proprio quella che si utilizza quando si risolvono problemi di probabilità utilizzando alberi: A nonA B nonB • 01/01/2019 Mario Scarpino - Francesco Sgaramella

Esempio Si hanno tre urne: A1 contiene 2 palline bianche e due palline nere A2 contiene 3 palline bianche e 1 nera A3 contiene 4 palline bianche e 2 nere Si sceglie a caso un’urna e quindi si estrae una pallina bianca. Definiamo l’evento B=“risulta estratta una pallina bianca” Disegna un albero e calcola P(B) 01/01/2019 Mario Scarpino - Francesco Sgaramella

Gli eventi A1, A2, A3 sono tra loro incompatibili e P(B)=P(BeA1)+P(BeA2)+P(BeA3)= P(A1)·P(B|A1)+P(A2)·P(B|A2)+P(A3)·P(B|A3)= 1/2 B A1 1/3 N 1/2 3/4 B A2 1/3 1/4 N 1/3 B A3 2/3 01/01/2019 Mario Scarpino - Francesco Sgaramella 1/3 N

P(B)=P(A1)·P(B| A1)+………P(An)·P(B|An) Se un evento B si verifica insieme a n eventi tra loro incompatibili, A1………An si applicano insieme la formula della probabilità totale e la definizione di probabilità condizionata 01/01/2019 Mario Scarpino - Francesco Sgaramella

ESEMPIO In una fabbrica sono utilizzati tre macchinari per produrre maglioni: la macchina A1 produce 1/5 dei maglioni e con probabilità del 90%, produce maglioni senza difetti; la macchina A2 produce i 2/5 dei maglioni e con probabilità del 80%, produce maglioni senza difetti; la macchina A3 produce 2/5 dei maglioni e con probabilità Qual è la probabilità totale di produrre maglioni senza difetti? 01/01/2019 Mario Scarpino - Francesco Sgaramella

Se indichiamo con B l’evento “produzione di maglioni senza difetto”, si ha: C’è da aspettarsi che, mediamente, ogni 100 maglioni prodotti 14 abbiano difetti 01/01/2019 Mario Scarpino - Francesco Sgaramella

Probabilità e frequenza
Variabili aleatorie 01/01/2019 Mario Scarpino - Francesco Sgaramella

Definizione Una variabile si dice variabile aleatoria se ad ogni particolare valore numerico che essa può assumere è associata la probabilità che esso si verifichi 01/01/2019 Mario Scarpino - Francesco Sgaramella

Esaminiamo il seguente esempio: si lanciano due dadi e si registrano i punteggi come coppia ordinata. Supponiamo di essere interessati al punteggio complessivo (somma del punteggio dei due dadi). Si può costruire la seguente tabella: #casi con tale punteggio Insieme dei casi possibili Punteggio compl. (1,1) (1,2),(2,1) (1,3),(2,2),(3,1) (1,4),(2,3),(3,2),(4,1) (1,5),……………….,(5,1) 6 5 (1,6),……………… (5,2),(6,1) (2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2) 8 5 (3,6),(4,5),(5,4),(6,3) (4,6),(5,5),(6,4) (5,6),(6,5) (6,6) 01/01/2019 Mario Scarpino - Francesco Sgaramella

Nella tabella precedente sono evidenziati : l’insieme U dei casi possibili (36); i valori che assume la variabile punteggio complessivo e il numero dei casi possibili in cui si ottiene lo stesso punteggio. La probabilità che si ottenga il punteggio x , P(x) non è la stessa per ogni x , per esempio, P(3)=2/36, P(4)=3/36,…... 01/01/2019 Mario Scarpino - Francesco Sgaramella

Distribuzione di probabilità di una variabile aleatoria:
La tabella rappresenta le probabilità di ognuno dei valori che la variabile può assumere 01/01/2019 Mario Scarpino - Francesco Sgaramella

Frequenza relativa di un evento
Si dice frequenza relativa di un evento A il rapporto tra il numero k delle volte in cui si è verificato l’evento e il numero n delle prove effettuate: 01/01/2019 Mario Scarpino - Francesco Sgaramella

Esempio Lanciamo una moneta 200 volte ed otteniamo questi risultati: testa (T): 190 volte croce (C): 10 volte La frequenza relativa dell’evento T “è uscita testa” è uguale La frequenza relativa dell’evento C “è uscita croce”è uguale 01/01/2019 Mario Scarpino - Francesco Sgaramella

La probabilità è calcolata a “priori”; la frequenza è calcolata a “posteriori” 01/01/2019 Mario Scarpino - Francesco Sgaramella

Qual è il legame tra probabilità calcolata teoricamente e frequenza?

Probabilità e frequenza
In un numero molto grande di prove, effettuate tutte nelle medesime condizioni, la frequenza con la quale si presenta un certo evento assume valori molto prossimi alla probabilità e tale approssimazione è, generalmente, tanto maggiore quanto più alto è il numero delle prove 01/01/2019 Mario Scarpino - Francesco Sgaramella

Legge dei grandi numeri
Per un evento A, aumentando il numero n di esperimenti indipendenti, aumenta la probabilità che lo scarto |P(A)-fr(A)| si avvicini sempre più a 0 01/01/2019 Mario Scarpino - Francesco Sgaramella

Definizione frequentista di probabilità
La probabilità di un evento è la frequenza relativa in un numero sufficientemente elevato di prove Eseguiamo n volte un esperimento e supponiamo di avere h successi (h è la frequenza assoluta); il rapporto tra h e il numero n delle prove, viene denominato frequenza relativa f=h/n 01/01/2019 Mario Scarpino - Francesco Sgaramella Mario Scarpino – Francesco Sgaramella

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