2. I TRIANGOLI A cura di Mimmo CORRADO.

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1 2. I TRIANGOLI A cura di Mimmo CORRADO

2 IL TRIANGOLO Definizione Il triangolo è l’insieme dei punti interni ad una spezzata chiusa costituita da tre segmenti e dai punti appartenenti ai tre segmenti. Vertice A B C Angolo γ Lato a Lato b Angolo β Angolo α Lato c

3 CLASSIFICAZIONE DEI TRIANGOLI IN BASE AI LATI
Triangolo Isoscele Triangolo Scaleno Triangolo Equilatero Lati diversi l’uno dall’altro Due lati congruenti Tre lati congruenti

4 CLASSIFICAZIONE DEI TRIANGOLI IN BASE AGLI ANGOLI
Triangolo Acutangolo Triangolo Ottusangolo Triangolo Rettangolo Cateto 2 ipotenusa 90° Cateto 1 Tre angoli acuti Un angolo ottuso Un angolo retto

5 RETTE PERPENDICOLARI Definizione
Due rette si dicono perpendicolari quando, intersecandosi, formano quattro angoli congruenti, ciascuno dei quali è detto angolo retto.

6 RETTA PERPENDICOLARE Teorema
Per un qualunque punto P del piano è possibile tracciare una e una sola retta perpendicolare ad una retta assegnata. P r H

7 ASSE Definizione L’asse di un segmento AB è la retta perpendicolare al segmento AB passante per il suo punto medio. A B M

8 CIRCOCENTRO Definizione
Il circocentro di un triangolo è il punto di incontro dei tre assi. Il circocentro è il centro della circonferenza circoscritta al triangolo (circonferenza passante per i tre vertici). A B C M K N I

9 ALTEZZA Definizione L’altezza relativa ad un lato di un triangolo è il segmento di perpendicolare al lato condotto dal vertice opposto. A B C H

10 ALTEZZA Definizione L’ortocentro di un triangolo è il punto di incontro delle tre altezze. A B C H K N O

11 ALTEZZA Definizione La mediana relativa a un lato di un triangolo è il segmento che ha per estremi un vertice e il punto medio del lato opposto. A B C M

12 ALTEZZA Definizione Il baricentro di un triangolo è il punto di incontro delle tre mediane. A B C M K N I

13 ALTEZZA Definizione L’incentro di un triangolo è il punto di incontro delle tre bisettrici L’incentro è il centro di una circonferenza inscritta alla circonferenza. A B C M K N I

14 In simboli si scrive: F  FI.
ISOMETRIA Definizione Due figure F e FI si dicono congruenti o isometriche se esiste un movimento rigido che porta la figura F a coincidere punto per punto con la figura FI. F F FI In simboli si scrive: F  FI.

15 ISOMETRIA Definizione
Due triangoli T e TI si dicono congruenti o isometrici se esiste una isometria che associa ordinatamente ai vertici del primo triangolo i vertici del secondo e di conseguenza, ai lati del primo triangolo i lati del secondo e agli angoli del primo triangolo gli angoli del secondo. Pertanto due triangoli T e TI sono congruenti se hanno i tre angoli e i tre lati corrispondenti congruenti. B A C A’ B’ C’

16 III CRITERIO DI CONGRUENZA DEI TRIANGOLI
Due triangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti due lati e l’angolo compreso. 1. AB  A’B’ 2. AC  A’C’ 3. A  A’ ABC  A’B’C’ Dimostrazione Per l’ipotesi 3: A  A’ , è possibile trasportare, con un movimento rigido, l’angolo A sull’angolo A’, in modo che la semiretta AC si sovrapponga alla semiretta A’C’ e la semiretta AB si sovrapponga alla semiretta A’B’. Per l’ipotesi 1: AB  A’B’ , B andrà a sovrapporsi a B’. Per l’ipotesi 2: AC  A’C’ , C andrà a sovrapporsi a C’. I tre vertici dei due triangoli si sovrappongono, pertanto si può concludere che i triangoli sono congruenti. B A C C A’ B’ C’ B A

17 III CRITERIO DI CONGRUENZA DEI TRIANGOLI
Due triangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti un lato e i due angoli a esso adiacenti. 1. AB  A’B’ 2. A  A’ 3. B  B’ ABC  A’B’C’ Dimostrazione per assurdo Supponiamo, per assurdo, che i due triangoli non siano congruenti: allora si avrà che: AC > A’C’ o AC < A’C’. Consideriamo, pertanto, il caso AC > A’C’ (si ragiona analogamente per l’altro caso). Ciò vuol dire che esiste un punto P, interno al lato AC, tale che AP  A’C’. I due triangoli ABP e A’B’C’, per il 1° C.C.T., sono congruenti. Segue che gli angoli ABP  B’. Ma per ipotesi gli angoli B  B’. Quindi per la p. transitiva si ha che gli angoli ABP  B. Ma ciò è un ASSURDO perché, essendo P interno ad AC, l’angolo ABP < B. B A C Si conclude pertanto che AC  A’C’. Pertanto, per il 1° C.C.T., i due triangoli sono congruenti. A’ B’ C’ P

18 TRIANGOLO ISOSCELE Teorema Se un triangolo ha due lati congruenti
Il triangolo ha due angoli congruenti Dimostrazione C Per ipotesi si ha AC  BC Tracciando la bisettrice dell’angolo C si ha: Per il I° criterio di congruenza, i due triangoli e sono congruenti. Pertanto si ha la tesi, cioè: A B H

19 TRIANGOLO ISOSCELE Teorema
La bisettrice dell’angolo compreso fra i due lati congruenti passa per il punto medio del lato opposto Se un triangolo è isoscele Dimostrazione C Per ipotesi si ha AC  BC Tracciando la bisettrice dell’angolo C si ha: Per il I° criterio di congruenza, i due triangoli e sono congruenti. Pertanto si ha la tesi, cioè: AH  BH . A B H

20 TRIANGOLO ISOSCELE Teorema
La bisettrice dell’angolo compreso fra i due lati congruenti cade perpendicolarmente al lato opposto Se un triangolo è isoscele Dimostrazione C Per ipotesi si ha AC  BC Tracciando la bisettrice dell’angolo C si ha: Per il I° criterio di congruenza, i due triangoli e sono congruenti. Pertanto si ha: A B H Ma essendo: Si ha:

21 III CRITERIO DI CONGRUENZA DEI TRIANGOLI
Due triangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti i tre lati. 1. AB  A’B’ 2. BC  B’C’ 3. AC  A’C’ ABC  A’B’C’ Dimostrazione Trasportiamo il triangolo ABC nel semipiano limitato dalla retta A’B’ e non contenente C’, facendo coincidere AB con A’B’. Congiungiamo il punto C con C’’. CC’’ interseca A’B’ nel punto D. C B Si possono presentare tre casi: A’ B’ C’ I CASO - Il punto D è interno a A’B’ Il triangolo A’C’C’’ è isoscele perché A’C’  AC  A’C’’ . Pertanto gli angoli A’C’C’’  A’C’’C’ . Il triangolo B’C’C’’ è isoscele perché B’C’  BC  B’C’’ . A A   B Pertanto gli angoli B’C’C’’  B’C’’C’ . D Quindi gli angoli A’C’B’  A’C’’B’ perché somma di angoli congruenti. Per la p. transitiva gli angoli A’C’B’  ACB. Per il 1° C.C.T., i due triangoli ABC  A’B’C’ . C’’

22 III CRITERIO DI CONGRUENZA DEI TRIANGOLI
Due triangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti i tre lati. 1. AB  A’B’ 2. BC  B’C’ 3. AC  A’C’ ABC  A’B’C’ Dimostrazione Trasportiamo il triangolo ABC nel semipiano limitato dalla retta A’B’ e non contenente C’, facendo coincidere AB con A’B’. Congiungiamo il punto C con C’’. CC’’ interseca A’B’ nel punto D. C A A’ B’ C’ II CASO - Il punto D è esterno a A’B’ Il triangolo B’C’C’’ è isoscele perché B’C’  BC  B’C’’ . Pertanto gli angoli B’C’C’’  B’C’’C’. Il triangolo A’C’C’’ è isoscele perché A’C’  AC  A’C’’ . B  B D Pertanto gli angoli A’C’C’’  A’C’’C’ . A  Quindi gli angoli A’C’B’  A’C’’B’ perché differenza di angoli congruenti. Per la p. transitiva gli angoli A’C’B’  ACB. Per il 1° C.C.T., i due triangoli ABC  A’B’C’ . C’’

23 III CRITERIO DI CONGRUENZA DEI TRIANGOLI
Due triangoli sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti i tre lati. 1. AB  A’B’ 2. BC  B’C’ 3. AC  A’C’ ABC  A’B’C’ Dimostrazione Trasportiamo il triangolo ABC nel semipiano limitato dalla retta A’B’ e non contenente C’, facendo coincidere AB con A’B’. CC’’ interseca A’B’ nel punto D. A A’ B’ C’ III CASO - Il punto D  A’ Il triangolo B’C’C’’ è isoscele perché B’C’  BC  B’C’’ . C Pertanto gli angoli A’C’B’  A’C’’B’ . Per la p. transitiva gli angoli A’C’B’  ACB. B D  B A  Per il 1° C.C.T., i due triangoli ABC  A’B’C’ . C’’

24 DISUGUAGLIANZE GEOMETRICHE
Teorema Se in un triangolo due lati non sono congruenti, anche gli angoli opposti non sono congruenti, e l’angolo opposto al lato maggiore è maggiore dell’angolo opposto al lato minore. C A B

25 DISUGUAGLIANZE GEOMETRICHE
Teorema Se in un triangolo due angoli non sono congruenti, anche i lati opposti a essi non sono congruenti, e il lato opposto all’angolo maggiore è maggiore del lato opposto all’angolo minore. C A B

26 DISUGUAGLIANZE GEOMETRICHE
Teorema In ogni triangolo ogni lato è minore della somma degli altri due. A B C AB < BC + AC BC < AB + AC AC < AB + BC C 5 cm 4 cm A B 10 cm

27 DISUGUAGLIANZE GEOMETRICHE
Teorema In ogni triangolo ogni lato è maggiore della differenza degli altri due. A B C AB > BC - AC BC > AB - AC AC > AB - BC C 5 cm 4 cm A B 10 cm