Dualità a.a.2008-2009 12/01/2019.

Presentazione sul tema: "Dualità a.a.2008-2009 12/01/2019."— Transcript della presentazione:

1 Dualità a.a 12/01/2019

2 Lemma di Farkas Dim. 12/01/2019

3 Forme alternative al lemma di Farkas
da 12/01/2019

4 Interpretazione geometrica
y -y 12/01/2019

5 Condizioni KKT(Karush-Kuhn-Tucker) Caso di disuguaglianza:
Sia sol poss, condizioni nec e suff. per l’ottimalità 12/01/2019

6 Vincoli di disuguaglianza
Forma equivalente delle KKT Ammissibilità primale Ammissibilità duale Complementary slackness 12/01/2019

7 esempio min x1 + x2 4 x1 + 3x2  12 6 x1+ x2  6 x1  0 x2  0
12/01/2019

8 Condizioni KKT - vincoli di uguaglianza
[da ] essendo 12/01/2019

9 Ottimalità di una s.b.p. < La 1) è soddisfatta automaticamente.
La 2) diventa: Per soddisfare le 3) La 2) è soddisfatta ponendo 12/01/2019

10 Determinazione dei Moltiplicatori di Lagrange dalla tavola del simplesso
Il moltiplicatore di Lagrange corrisp. al vincolo Si ottiene alla riga (m+1) col. j della tavola del simplesso. Il vettore lagrangiano corrisp. ai vincoli La costruzione di u : dalle tavole del simplesso modificato. 12/01/2019

11 Dualità forma simmetrica ( o canonica)
Primale Duale 12/01/2019

12 esempio  x2 a1 min z=6 x1 + 8 x2 e1 1) 3 x1 + x2  4
c 1 2 x2 a1 min z=6 x x2 1) 3 x1 + x2  4 2) 5 x1+ 2 x2  7 primale x1  0 x2  0 max =4 1 +7  2 3   2  6  1+ 2  2  8 duale  1  0  2  0 e1 z a2 a1 e2 a2 2 1 b  x1 b 12/01/2019

13 Forma asimmetrica di dualità
Dato un p.p.l.  primale duale  12/01/2019

14 Scrivere il duale del seguente ppl e risolvere graficamente
1) 1) 2) 3) 3) 2) < < 12/01/2019

15 Da forma asimmetrica a forma simmetrica
] primale duale < 12/01/2019

16 primale duale forma simmetrica forma asimmetrica 12/01/2019

17 Esempi di problemi e loro duale forma simmetrica forma asimmetrica
Problema della dieta(casa farmaceutica vuole produrre in pillole i principi nutritivi). determinare i prezzi unitari positivi competitivi con i costi reali. Problema dei trasporti (opera di intermediazione) 12/01/2019

18 Duale del Duale =  (min e trasposto) Duale 
Lemma: il duale del duale è il primale 12/01/2019

19 Forme miste di dualità P D Si converte il P. in forma simmetrica,
si sostituisce con , Si considera 12/01/2019

20 Tavole di conversione P. di massimo P.di minimo vincoli variabili
12/01/2019

21 min max esempio duale primale 12/01/2019

22 Relazioni primale-duale
Lemma 1:Proprietà di dualità debole. Siano x e  sol.poss.per Esempio: P= min 6 x x2: 3 x1 + x2  4, 5 x1+ 2 x2  7, x1, x2  0 D= max 4 1 +7  2:3   2  6,  1+ 2  2  8,  1,  2  0  x0 =(7/5,0) 0 =(2,0) z0=  0=8  8   *, z* 8.4 12/01/2019

23 Corollario1: Se x* e * sono soluzioni possibili per il primale e duale e se  x* e * sono soluzioni ottime per i rispettivi problemi Corollario2: L’illimitatezza per un problema implica l’impossibilità per il suo duale (non nec. vale il viceversa) Dim. Se P non limitato, sia 0 una sol poss. di D. Deve essere M arbitrariamente grande  duale impossibile. 12/01/2019

24 Esempio di primale illimitato e duale impossibile
-1 1 impossibile illimitata 12/01/2019

25 non vale necessariamente il viceversa
Esempio: Primale impossibile  Duale impossibile 12/01/2019

26 Dualità e condizioni KKT
dalle 3) massimizza simmetricamente minimizza 12/01/2019

27 Dualità e condizioni di ottimalità
Lemma 2: proprietà di dualità forte: se P (o D) ha soluzione  anche D(o P) ha sol ottima ottima finita finita e i valori delle f.o coincidono Da Corollario 1 e Lemma 2 condizione nec e suff perché x e  siano sol ottime per primale e duale è che cTx= Tb 12/01/2019

28 da Alg. del simplesso  problema duale
Nella (m+1)- esima riga: i multipli  m delle m righe Ax-xs=b sottratti dalla f.o. per x cT- TA per xs T per il termine noto - Tb L’ammissibilità duale richiede: T  per le var xs TA  cT per le var x Se P ha ottimo finito  i moltiplicatori del simplesso T=cBT B-1 soddisfano le condizioni di ammissibilità duale se x sol ott per P  (con - Tb termine noto riga m+1) dalla proprietà di dualità debole  max Tb t.c. {TA  cT , 0} PROBLEMA di PL DUALE 12/01/2019

29 Da proprietà di Dualità Forte
 Importante proprietà: Dato P: {Min cTx: Ax  b, x  0} e D:{Max Tb: TA  cT, T  0} Sia HD forma omogenea del duale. HD: { Max Tb: TA  0 , T  0} Sia P’: { Min 0Tx: Ax  b, x  0} il duale di HD P’ ha la stessa regione ammissibile di P Se HD è illimitato  P è impossibile se P è impossibile  HD deve essere illimitato (= 0 è sol poss di HD, non può avere ottimo finito, per dualità forte, anche P avrebbe ottimo finito) 12/01/2019

30 Corollario 3 Il problema primale è impossibile se e solo se la forma omogenea del problema duale è illimitata (e viceversa). P: impossibile HD: illimitata 12/01/2019

31 Teorema 1: Teorema Fondamentale di Dualità
Per PPL primale e duale, una e una sola delle seguenti proprietà è vera. 1. Entrambi i problemi ammettono soluzione ottima e con 2. Se uno dei problemi (primale o duale) ha soluzione ottima illimitata, allora l’altro problema (duale o primale) è impossibile. 3. Entrambi i problemi sono impossibili. 12/01/2019

32 la dualità non è completamente simmetrica
P ottimo finito  D ottimo finito P/D illimitato  D/P impossibile P/D impossibile  D/P illimitato o impossibile P/D impossibile  D/P illimitato in HD 12/01/2019

33 principio di supervisione ( per P e D in forma simmetrica)
sol. ott. sse Con condizioni KKT: condizione equivalente al principio di supervisione  Teor.2 12/01/2019

34 Teorema2 Complementarietà delle variabili di slack
P e D in forma simmetrica sol.pos., sono ottime sse Var  in un problema vincolo di = nel problema duale Slack in base(vincolo non di=) var =0 nel problema duale Slack duale nulla Slack duale in base, Var primale nulla Slack primale nulla Slack primale in base, Var duale nulla 12/01/2019

35 Esempio di soluzione di un ppl attraverso il duale
12/01/2019

36 Sintesi lemma di Farkas  condizioni KKT Con vincoli di uguaglianza
Con vincoli di disuguaglianza  Problema duale min max 12/01/2019