Parte XVI: Conduttori in Elettrostatica

Presentazione sul tema: "Parte XVI: Conduttori in Elettrostatica"— Transcript della presentazione:

1 Parte XVI: Conduttori in Elettrostatica
Corso di Fisica Generale Beniamino Ginatempo Dipartimento di Fisica – Università di Messina Parte XVI: Conduttori in Elettrostatica Distribuzione di carica statica in un conduttore Il Campo elettrico in prossimità di un conduttore 3) L’induzione elettrostatica 4) Lo schermo elettrostatico 5) Il problema di Dirichlet-Neumann 6) Capacità di una sfera 7) Condensatori 8) Densità di energia elettrica 9) Strumenti elettrostatici e Macchine elettrostatiche

2 Distribuzione di cariche statiche in un conduttore
Abbiamo già visto che, se elettrizziamo un conduttore, le cariche elettriche non possono restare localizzate ma si disperdono. Rimandiamo una analisi microscopica di questo fenomeno e per ora diciamo che le cariche elettriche sono grosso modo libere di muoversi in un conduttore e, di conseguenza, se ne accumuliamo in una porzione, queste si dovranno respingere e cercheranno di stare il più lontano possibile fra loro. Se non possono uscire dal conduttore, dovranno per forza sistemarsi sulla superficie Non equilibrio Equilibrio S Q S dQ=sdS

3 All’equilibrio, pertanto non ci potrà essere nessuna carica all’interno del conduttore, e
applicando la legge di Gauss ad una superficie chiusa qualunque purché interamente contenuta all’interno del conduttore si avrà S’ Di conseguenza in un qualunque punto interno al conduttore, (xc,yc,zc), dovrà essere Possiamo anzi usare quest’ultimo risultato come la definizione di conduttore in elettrostatica: Un conduttore occupa una porzione di spazio equipotenziale in tutte le situazioni di equilibrio

4 Il Campo elettrostatico in prossimità della superficie di un conduttore
Un conduttore carico genera però al suo esterno un campo elettrostatico. Infatti, applicando la legge di Gauss ad un cilindretto di base DS ed altezza piccolissima n DS Visto che il conduttore è equipotenziale lo è anche la sua superfici. Di conseguenza il campo è perpendicolare alla superficie stessa. Dovrà quindi essere: Notare che questo risultato è consistente con il campo di uno strato. Infatti a distanze dalla superficie piccole rispetto al raggio di curvatura della superficie, questa tenderà ad assomigliare ad un piano. Nel passaggio attraverso questo piano il campo dovrà quindi avere una discontinuità pari a s/e0. Il campo infatti all’interno è nullo.

5 L’induzione elettrostatica
Questo è un fenomeno particolarmente spettacolare in natura. Se avviciniamo un corpo carico ad un conduttore neutro vedremo che carica elettrica compare sulla superficie di quest’ultimo + - E=Ee+Ei=0 Siccome un conduttore deve essere equipotenziale all’equilibrio in tutte le situazioni, anche adesso all’interno del secondo conduttore il campo è nullo. Ciò dimostra due cose: In un conduttore esistono cariche libere di muoversi (gli elettroni) Questi spostandosi lasciano delle cariche positive che attirano le negative e il campo dovuto a queste cancella il campo dovuto alle cariche esterne

6 Lo schermo elettrostatico
Se tutte le linee di flusso uscenti da un conduttore vengono intercettate da un altro si dice che i conduttori sono in induzione completa S S S -Q +Q S

7 Se però tocco con un dito la superficie esterna del secondo conduttore, o come si dice,
lo metto a terra S S S -Q +Q S Tuttavia le cariche nette sulla superficie del primo e sulla superficie interna del secondo non sono cambiate!

8 Mettere a terra il secondo conduttore significa che abbiamo realizzato una connessione
conduttiva fra la “terra” ed il conduttore, cioè li abbiamo portati allo stesso potenziale. Questo convenzionalmente si pone uguale a zero Tuttavia non è cambiato nulla all’interno, pertanto la differenza di potenziale fra i due conduttori non può essere cambiata Di conseguenza la messa a terra ha modificato i potenziali di entrambi i conduttori ma non la differenza fra i loro potenziali Lo stesso sarebbe accaduto se, invece di azzerare il potenziale del secondo, l’avessimo innalzato di una quantità arbitraria (p.es. l’avesse colpito un fulmine, cioè milioni di volt) Questo è il fenomeno dello schermo elettrostatico, ed il sistema così costruito si chiama Gabbia di Faraday: una gabbia di Faraday è completamente isolata elettrostaticamente dall’esterno In ultima analisi questo fenomeno avviene per l’incredibile capacità degli elettroni di un metallo di schermare le cariche nucleari

9 Il problema di Dirichlet-Neumann
Abbiamo visto che su un conduttore immerso in un campo esterno appaiono cariche. Queste modificano il campo totale nel resto dello spazio. Pertanto il problema della elettrostatica, la determinazione del campo assegnata una distribuzione di carica diventa molto più complicato a causa della comparsa di queste nuove cariche. Visto che nella materia sono presenti cariche e la loro distribuzione cambia quando interagisce con un campo esterno siamo di fronte ad un problema insolubile: per conoscere il campo dobbiamo conoscere la distribuzione di cariche sui conduttori ma per conoscere la distribuzione di cariche dobbiamo conoscere il campo Questa è la difficoltà principale che si incontra nello studio dell’interazione dei campi con la materia. Il problema di Dirichlet-Neumann, sfruttando le proprietà dei conduttori in equilibrio elettrostatico, rappresenta un caso trattabile.

10 Supponiamo di avere nello spazio vuoto solo N conduttori di forma e posizioni assegnati
Q1 V1 V2 V3 Q2 Q3 (x,y,z) Le carica sull’i-esimo conduttore è Qi e tutto il volume che esso occupa si trova ad un potenziale Vi Se vogliamo calcolare il potenziale totale V nel generico punto (x,y,z) dobbiamo risolvere l’equazione

11 Bisogna stabilire le condizioni al contorno: il potenziale totale V deve ridursi al potenziale
Vi (=costante) se il punto (x,y,z) appartiene all’i-esimo conduttore Inoltre il potenziale deve essere la somma dei potenziali che i singoli conduttori genererebbero in (x,y,z) se fossero da soli. Deve pertanto essere: Dove le fi devono soddisfare le seguenti condizioni: Inoltre, sempre a causa dell’additività dei potenziali, deve essere dove le N equazioni di Laplace sono accoppiate dalle condizioni al contorno

12 La soluzione del sistema di equazioni può essere molto difficile, perché dipende da
forma, posizione e numero di conduttori, ma si tratta solo di geometria. Il problema è quindi formalmente risolto. La cosa interessante, però, è un’altra: possiamo trovare una relazione fra le cariche ed i potenziali dei conduttori, Qi e Vi. Usando la legge di Gauss: dove i coefficienti Cij dipendono solo dalla geometria e si chiamano coefficienti di capacità L’ultima equazione è in realtà un sistema di N equazioni lineari che sviluppato dà oppure Problema di Neumann Problema di Dirichlet

13 I due sistemi di equazioni trovati consentono di trovare le cariche dei conduttori una volta
che i potenziali siano assegnati (problema di Dirichlet) o di trovare i potenziali una volta che siano assegnate le cariche (problema di Neumann) Fra le matrici C ed a vale la seguente relazione: a=C-1. Tramite le proprietà delle soluzioni delle equazioni di Laplace si può anche dimostrare che esse sono anche matrici simmetriche I coefficienti aij si chiamano i coefficienti di induzione I coefficienti di capacità si misurano in Coulomb/Volt. Questa unità di misura si chiama Farad

14 Capacità di una sfera Possiamo chiederci: data una sfera, quale deve essere il suo raggio affinché possa avere una carica di 1 Coulomb ed il potenziale di 1 Volt? R Possiamo calcolare il potenziale notando che ogni elementino di superficie deve possedere la stessa carica (la densità superficiale è costante!). Inoltre il potenziale è costante in tutti i punti della sfera, quindi possiamo calcolarlo nel centro dS Pertanto, ponendo V=1Volt e Q=1C Ciò dimostra due cose: il Coulomb è una unità di misura troppo grande non si può creare una differenza di potenziale grande sulla terra senza usare qualche trucco

15 Condensatori Se prendiamo due conduttori in induzione completa, per esempio due lamine metalliche molto vicine, tali cioè che la loro separazione sia molto più piccola delle dimensioni trasversali, e carichiamo la prima, sulla secomda comparirà una carica uguale ed opposta. Se inoltre mettiamo a terra la seconda: +Q -Q d Sulle due lamine, a distanza d e di area S ci sarà una densità superficiale +s e –s. Abbiamo cioè costruito un doppio strato. La differenza di potenziale fra le lamine sarà dunque: La capacità di questo sistema, detto condensatore a facce piane parallele sarà dunque:

16 Consultare figure 18.3 e 18.4 del libro
Dato che S è grande e d piccola possiamo realizzare condensatori tali che con una piccola carica consentano di realizzare grandi differenze di potenziale. Esercizio consigliato: Calcolare la capacità di un condensatore sferico e di uno cilindrico di raggi che differiscono di una piccola quantità d. Soluzione: Consultare figure 18.3 e 18.4 del libro P.A Tipler, Corso di Fisica, Volume 2 ZANICHELLI Il campo all’interno di un condensatore è uniforme

17 Collegamenti di condensatori
È possibile collegare condensatori con differenti topologie per variare la capacità Collegamento in serie C1 C2 +Q -Q A B C In questo caso le cariche sulle armature devono essere le stesse. Non così le tensioni C +Q -Q Ceq A

18 Collegamento in parallelo
+Q2 -Q2 +Q1 -Q1 A B B +Q -Q Ceq A Condensatore equivalente Stavolta i due condensatori sono sottoposti alla stessa tensione, quindi le cariche saranno differenti. Si avrà

19 Consultare figure pag 824 e 828 del libro
L’uso di condensatori Consultare figure pag 824 e 828 del libro P.A Tipler, Corso di Fisica, Volume 2 ZANICHELLI

20 Densità di energia elettrica
Calcoliamo il lavoro necessario per caricare un condensatore. Possiamo immaginare che spostiamo una carica elementare dq da una armatura all’altra. Questo crea una tensione che si oppone ad un ulteriore trasferimento di carica. Si ha È evidente che questo lavoro è servito per creare un campo elettrostatico all’interno del condensatore.Quindi Possiamo quindi pensare che nel condensatore ci sia distribuita una energia elettrostatica con una densità di volume pari a Questo risultato è molto più generale del caso semplice in cui è stato ricavato: vale anche quando i campi non sono uniformi e anche nei casi dipendenti dal tempo

21 Consultare figura 3.31,3.32 e 3.33 del libro
Elettrometri Consultare figura 3.31,3.32 e 3.33 del libro E. Amaldi, R. Bizzarri, G. Pizzella "Fisica Generale", ZANICHELLI

22 Consultare figure 3.34 e 3.35 del libro
E. Amaldi, R. Bizzarri, G. Pizzella "Fisica Generale", ZANICHELLI Questi apparecchi dimostrano che in pratica possiamo misurare solo differenze di potenziale

23 Il potere disperdente delle punte
Il fenomeno a sinistra è la scarica che avviene tra due conduttori aguzzi in aria. Esso avviene Per due motivi: La presenza nell’aria di ioni carichi Il potere delle punte Consultare figure pag. 736 del libro P.A Tipler, Corso di Fisica, Volume 2 ZANICHELLI Nella figura successiva è evidenziato come il campo in prossimità di una punta, cioè di una zona di un conduttore a piccolo raggio di curvatura sia particolarmente intenso Consultare figura del libro P.A Tipler, Corso di Fisica, Volume 2 ZANICHELLI

24 Consideriamo un conduttore carico come in figura
Consideriamo un conduttore carico come in figura. Sono disegnate le superfici equipotenziali. La prima superficie equipotenziale è evidentemente la superficie del conduttore stesso. Le successive si arrotondano sempre più fino a diventare sfere a grande distanza dal conduttore Di conseguenza in prossimità della punta le superfici equipotenziali sono molto più fitte che non dalla parte sferica (destra della figura). Pertanto il campo elettrico, che è il gradiente del potenziale, è molto più intenso vicino alla punta. Se vi sono presenti ioni in vicinanza questi sono fortemente accelerati, dando così luogo alla scarica elettrica.

25 Consultare figure pag. 800 del libro
Ecco perché i fulmini, che si originano da enormi differenze di potenziale fra le nuvole e la terra, preferenzialmente colpiscono oggetti aguzzi sulla superficie terrestre (p.es. alberi o parafulmini) Consultare figure pag. 800 del libro P.A Tipler, Corso di Fisica, Volume 2 ZANICHELLI Siccome il campo è proporzionale alla densità superficiale di carica, le cariche elettriche si concentrano sulle zone di superficie a più piccolo raggio di curvatura

26 Macchine elettrostatiche
Una macchina elettrostatica consente di trasformare energia (di solito meccanica) in energia elettrostatica Queste sfruttano normalmente il potere disperdente delle punte e l’induzione elettrostatica Consultare figure 3.37 e 3.38 del libro E. Amaldi, R. Bizzarri, G. Pizzella "Fisica Generale", ZANICHELLI Punte

27 Il generatore di Van de Graaf
Una delle macchine più efficienti è il generatore di Van de Graaf. Una cinghia isolante passa attraverso una punta ed un piatto catturando gli ioni dell’aria che vengono spinti. Questi vengono trasportati fino ad un contenitore metallico sferico, dove un’altra punta si carica per induzione, mentre la cinghia si scarica. Il lavoro meccanico del motorino della cinghia viene così trasformato in energia elettrostatica Consultare figura 3.39 del libro E. Amaldi, R. Bizzarri, G. Pizzella "Fisica Generale", ZANICHELLI

28 Consultare figura 20.19 del libro
I generatori di Van de Graaf possono essere enormi e dare luogo a spettacolari effetti Consultare figura del libro P.A Tipler, Corso di Fisica, Volume 2 ZANICHELLI

29 Consultare figura 4.24 del libro
La fotocopiatrice Consultare figura 4.24 del libro P.M. Fishbane, S. Gasiorowicz and S.T. Thornton Fisica per Scienze ed Ingegneria, Volume Secondo EdiSES

30 Il microscopio ad effetto di campo
Consultare figure B1-1 B1-2 del libro P.M. Fishbane, S. Gasiorowicz and S.T. Thornton Fisica per Scienze ed Ingegneria, Volume Secondo EdiSES