LE SUCCESSIONI Si consideri la seguente sequenza di numeri:

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1 LE SUCCESSIONI Si consideri la seguente sequenza di numeri:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233,… detti di Fibonacci. Essa rappresenta il numero di coppie di conigli presenti nei primi 12 mesi in un allevamento! Si consideri la sequenza ottenuta dividendo ogni elemento per il precedente: ovvero: 1, 2, 1.5, 1., 1.6, 1.625,... I valori ottenuti si avvicinano alla sezione aurea:

2 LE SUCCESSIONI Le successioni (introdotte prima delle funzioni) sono particolari funzioni aventi come dominio l’insieme N dei numeri naturali e come codominio un sottoinsieme B proprio dell’insieme dei numeri reali. Le successioni vengono indicate : Ovvero come : Il grafico di una successione si trova nel primo o nel quarto quadrante.

3 LE SUCCESSIONI Esempio 1. Si consideri la successione:
al crescere di n la frazione, che assume valori positivi, si avvicina sempre di più al numero 0. Esempio 2 Al crescere di n la potenza assume valori sempre più grandi Esempio 3 Si consideri la successione : Al variare di n i valori sono alternativamente +1 e –1.

4 LE SUCCESSIONI I tre esempi precedenti esibiscono i tre diversi comportamenti di una successione: Convergente, divergente ed oscillante. Studiare una successione equivale ad individuarne il comportamento al crescere di n verso ovvero a calcolare il :

5 LE SUCCESSIONI Si consideri un investimento che alla fine di ogni unità di tempo (scelta) garantisce un premio costante pari ad una percentuale fissa (i= tasso di interesse) della somma inizialmente investita (C0 ). Il capitale dopo n periodi è espresso da: Se invece il premio è calcolato sul capitale disponibile all’inizio di ogni unità di tempo allora il capitale dopo n periodi è dato dal termine n-esimo della successione:

6 LE SUCCESSIONI Proprietà dei limiti: A) B) C) D)

7 LE SUCCESSIONI Si consideri la successione il cui termine generico è rappresentato da un polinomio di grado h in n: Esempio: Raccogliendo la potenza di grado più elevato in n si ha: In generale si ha:

8 LE SUCCESSIONI Un successione nella quale il termine generico è dato dal rapporto di due polinomi assume l’espressione: A) h>k B) h=k C) h<k

9 LE SUCCESSIONI In tutti e tre i casi si raccoglie sia a numeratore sia a denominatore la potenza di grado più elevato: Nel caso A) si ha Il numeratore diverge a e quindi la successione diverge a mentre il denominatore converge a –1 quindi la successione diverge a

10 LE SUCCESSIONI Nel secondo caso procedendo nello stesso modo si ottiene: Per cui e quindi la successione è convergente a - 1.

11 LE SUCCESSIONI Nel caso C) si ha:
Il numeratore tende ad un numero finito mentre il denominatore tende all’infinito (per la precisione a ), quindi si ottiene: =0 La successione è convergente.

12 LE SUCCESSIONI Concludendo: A) se h>k la successione è divergente a
B) se h=k la successione è convergente a C) se h<k la successione è convergente a 0.

13 LE SUCCESSIONI Per quanto riguarda la successione il cui termine generico ha la forma: si presenta una situazione difficile solo se la la base della potenza tende ad 1(l’esponente tende all’ ), perché si genera la forma indeterminata

14 LE SUCCESSIONI Si consideri la successione :
Essa da luogo alla forma indeterminata ma si può dimostrare che tale successione è convergente al numero di Eulero e=2,718… che è la base dei logaritmi neperiani (non naturali!) lnx.

15 LE SUCCESSIONI Si consideri ora la successione:
Dove le due successioni e sono divergenti. Il calcolo del limite della successione porta alla forma indeterminata In questo caso si opera così:

16 LE SUCCESSIONI Calcolando il limite si ottiene:

17 LE SUCCESSIONI Esempio. Si consideri la successione
Il calcolo del limite porta a:

18 LE SUCCESSIONI La successione geometrica:
Se la successione è oscillante e non esiste. Se la successione è convergente e Se la successione è divergente e

19 LE SUCCESSIONI Esempio.

20 LE SUCCESSIONI