MOD 1 Modelli elasto-plastici avanzati Y1 Y2 Y3 compressione (p’, s’,  ’) taglio (q, t,  Legame costitutivo del terreno: a superfici di snervamento.

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1 MOD 1 Modelli elasto-plastici avanzati Y1 Y2 Y3 compressione (p’, s’,  ’) taglio (q, t,  Legame costitutivo del terreno: a superfici di snervamento multiple ed incrudimento cinematico (MKH) (Mroz, 1967; Jardine, 1985, 1992; Hight & Higgins, 1995) Y1 = limite del comportamento quasi-elastico lineare Y2 = limite del comportamento non lineare stabile (isteretico) Y3 = Superficie di Stato corrente

2 MOD 2 Campi di deformazione e modelli di comportamento ciclico Piccole deformazioni  <  l Medie deformazioni  l <  <  v Grandi deformazioni  >  v Modelli visco-elastici lineariModelli a parametri variabiliModelli elasto-plastici Tensioni totaliTensioni efficaci Analisi lineareAnalisi lineare equivalenteAnalisi non lineare

3 MOD 3 Modellazione del legame tensio-deformativo in campo non lineare Per la rappresentazione analitica delle curve di decadimento del modulo di taglio sono stati proposti numerosi modelli: - quello iperbolico di Duncan e Chang (1970), pur avendo il pregio di utilizzare parametri di chiaro significato fisico, in genere sovrastima la rigidezza in campo non lineare; - altri più complessi, come quello di Ramberg e Osgood (1943), seguono più attendibilmente gli andamenti delle curve di attenuazione (G/G 0,  ). I modelli sopra citati non hanno la pretesa di definire un legame costitutivo del comportamento in campo non lineare, ma possono consentire una rappresentazione analitica di risultati sperimentali di laboratorio e di individuare quindi dei parametri atti a descrivere sinteticamente l’evoluzione del comportamento non lineare.

4 MOD 4 Il modello iperbolico Il modello iperbolico si basa sull’assunzione che una qualsiasi curva tensione-deformazione sia limitata da due rette che sono le tangenti rispettivamente alla parte iniziale della curva e al tratto finale relativo alle grandi deformazioni. La tangente al tratto iniziale rappresenta il valore del modulo di taglio iniziale, mentre l’asintoto orizzontale, relativo alle grandi deformazioni, individua il valore della resistenza a rottura del terreno. La pendenza della curva, ovvero la rigidezza tangente, è espressa dalla relazione:  r =  f /G 0 e varia tra il suo valore massimo, G 0, attinto per  =0, fino al valore nullo, attinto in corrispondenza della  di resistenza a rottura (  f ). L’espressione della curva tensione-deformazione è: In essa appare la deformazione di riferimento  r, definita come la deformazione corrispondente alla resistenza a rottura del terreno nell’ipotesi di comportamento elastico lineare.

5 MOD 5 L’espressione del modulo di taglio secante è la seguente: Il valore del modulo iniziale si dimezza in corrispondenza della deformazione di riferimento,  r. Il modello iperbolico

6 MOD 6 Il modello di R&O è l’esempio più significativo di formulazione inversa del legame tensio- deformativo: in cui C e R condizionano la forma della curva di decadimento normalizzata ma non hanno alcun particolare significato fisico. in cui la funzione H(  ) rappresenta lo scostamento dalla tangente iniziale  Nel modello di R&O tale formulazione si esprime attraverso la relazione: Il modello di Ramberg & Osgood

7 MOD 7 Il modello di Ramberg & Osgood Se si assume come soglia di deformazione lineare quella in corrispondenza della quale il modulo decade del 5% e come soglia di riferimento quella corrispondente ad un decadimento del 50%, è possibile esprimere in funzione di tali soglie i parametri C e R. G/G 0

8 MOD 8 I criteri di Masing per la modellazione del comportamento ciclico Il modello visco-elestico ha il vizio concettuale di interpretare anche i fenomeni dissipativi di natura attritiva con parametri viscosi. L’osservazione sperimentale mostra che gli effetti dissipativi sono anche di natura isteretica: cicli di isteresi con estremità appuntite e deformazioni permanenti allo scarico. Per modellare tale comportamento è possibile definire la curva di primo carico attraverso una formulazione alla R&O, e individuare un “criterio di associazione” atto a descrivere i rami di scarico e ricarico dei cicli di isteresi.

9 MOD 9 Il legame di associazione è tradizionalmente espresso attraverso i criteri di Masing, formulati in origine nel modo seguente: I. il modulo tangente in corrispondenza di ogni inversione di carico assume lo stesso valore di quello iniziale (G 0 ) relativo alla curva di primo carico; II. la forma delle curve di scarico e ricarico è la medesima della curva di primo carico, a meno di un'amplificazione della scala di τ e di  per un fattore n=2. Ne consegue la possibilità di esprimere il legame τ:  in maniera generalizzata:  ci e  ci indicano i valori in corrispondenza della più recente inversione di carico; n ci vale 1 per il carico iniziale e 2 per gli scarichi e ricarichi successivi, J è una funzione che descrive la dorsale di primo carico (quantificando il suo discostamento dalla tangente all’origine). I criteri di Masing per la modellazione del comportamento ciclico

10 MOD 10 Postulare la validità dei criteri di Masing significa stabilire un legame tra i parametri G e D. Applicando i criteri di Masing, infatti, la dipendenza di D da  si può esprimere come: Questa si ottiene direttamente dalla  (  ), ma ha alcuni vincoli analitici: - fornisce D 0 nulli per valori piccoli della deformazione (il che spesso non si verifica sperimentalmente) - dà luogo a valori asintotici (D∞) a deformazioni infinitamente grandi; in particolare, i modelli iperbolici forniscono sistematicamente D∞=2/π Un'alternativa ai criteri di Masing è la scelta di una D(  ) indipendente dalla  ma riconducibile ai modelli citati mediante un artificio analitico: applicare i criteri di Masing ad una "curva dorsale fittizia", contraddistinta dallo stesso tipo di parametri (D'∞, C', R') di quella effettiva. In caso di smorzamento indipendente, i parametri si determinano per via iterativa mediante regressioni da effettuare sui punti sperimentali D(  ). I criteri di Masing per la modellazione del comportamento ciclico

11 MOD 11 A titolo d’esempio, se la dorsale  :  è stata descritta utilizzando il modello iperbolico si ottiene, applicando i criteri di Masing, l’espressione del fattore di smorzamento: Lo smorzamento tenderà asintoticamente ad un valore limite per grandi deformazioni, pari a 2/ . Talvolta risulta difficile descrivere correttamente gli andamenti strain-dependent del modulo di taglio e del fattore di smorzamento adottando il modello iperbolico, dal momento che esso si basa unicamente su due parametri. In particolare, una volta determinato il valore sperimentale del modulo di taglio iniziale e della deformazione di riferimento, l’andamento dello smorzamento in funzione del livello di deformazione è univocamente determinato, e non è possibile agire su alcun altro parametro per adattare il modello all’andamento dei dati sperimentali. I criteri di Masing per la modellazione del comportamento ciclico

12 MOD 12 Qualunque sia la relazione analitica D(  ) adottata (associata o indipendente), il fattore di smorzamento fornito alle basse deformazioni sarà comunque infinitesimo, mentre la sperimentazione fa rilevare valori non necessariamente trascurabili (ad esempio quando gli effetti della viscosità sono rilevanti). Perciò, le funzioni D(  ) considerate sono suscettibili di ulteriore generalizzazione, aggiungendovi un valore iniziale D 0 : in cui a è associata un’espressione analitica come quelle proposte, e D 0 diventa il parametro con ruolo complementare a G 0 alle basse deformazioni. I criteri di Masing per la modellazione del comportamento ciclico

13 MOD 13 Criteri di Masing modificati Curva D(  ) ottenuta applicando un criterio di Masing modificato previa rappresentazione del legame G(  ) con il modello di Ramberg – Osgood.  = 0.4, valore ottimizzato interpolando numerose curve sperimentali relative allo stesso materiale.