Geometria Analitica: La Circonferenza

Presentazione sul tema: "Geometria Analitica: La Circonferenza"— Transcript della presentazione:

1 Geometria Analitica: La Circonferenza
LEZIONE DI MATEMATICA DI EMANUELE PAONE

2 Introduzione Continuiamo , dopo aver studiato la parabola, il nostro studio delle coniche, in questa lezione affronteremo la CIRCONFERENZA. Considerando un cono infinitamente grande, al variare dell’inclinazione del piano rispetto al cono si ottiene una circonferenza se l’angolo α formato dal piano secante con l’asse del cono è uguale a 90°.

3 Circonferenza come luogo geometrico
Come abbiamo visto per la parabola, le sezioni coniche possono essere studiate considerandole come luoghi geometrici, vediamo la circonferenza: La circonferenza è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto centro.

4 Circonferenza e la sua equazione
Trasferiamoci nel piano cartesiano e consideriamo una circonferenza generica, indichiamo con 𝛼 𝑒 𝛽 le coordinate del centro e con 𝑥 𝑒 𝑦 le coordinate di un qualunque punto appartenente ad essa. Ora scriviamo che la distanza di un punto dal centro è uguale al raggio: 𝑃𝐶 =𝑟 Facciamo le sostituzioni: 𝑥−𝛼 2 + 𝑦−𝛽 2 =𝑟 Eleviamo al quadrato primo e secondo membro per eliminare la radice: 𝑥−𝛼 2 + 𝑦−𝛽 2 = 𝑟 2 Formula da ricordare che ci potrà servire più avanti !!!

5 Svolgiamo i quadrati di binomio: 𝑥 2 + 𝛼 2 −2𝛼𝑥+ 𝑦 2 + 𝛽 2 −2𝛽𝑥= 𝑟 2 Riordiniamo: 𝑥 2 + 𝑦 2 −2𝛼𝑥−2𝛽𝑦+ 𝛼 2 + 𝛽 2 − 𝑟 2 =0 Poniamo 𝑎=−2𝛼 𝑏=−2𝛽 𝑐= 𝛼 2 + 𝛽 2 − 𝑟 2 Otteniamo: 𝑥 2 + 𝑦 2 +𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐=0 Coordinate del centro: 𝑎=−2𝛼 → 𝛼=− 𝑎 2 𝑏=−2𝛽 → 𝛽=− 𝑏 2 Formula del raggio: 𝑐= 𝛼 2 + 𝛽 2 − 𝑟 2 → 𝑟 2 = 𝛼 2 + 𝛽 2 −𝑐 → 𝑟= 𝛼 2 + 𝛽 2 −𝑐 da questa ne possiamo ricavare altre: 𝑟= 𝑎 𝑏 2 4 −𝑐 , 𝑟= 𝑎 2 + 𝑏 2 −4𝑐 4 , 𝑟= 𝑎 2 + 𝑏 2 −4𝑐 2 Equazione in forma normale o canonica di una circonferenza 𝑥 2 𝑒 𝑦 2 devono avere sempre lo stesso coefficiente Per esistere una circonferenza la radice del raggio deve essere maggiore di zero, se è uguale a zero si dice che la circonferenza è degenere

6 Casi particolari di circonferenza
Considerando l’equazione della circonferenza 𝑥 2 + 𝑦 2 +𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐=0 esaminiamo i casi particolari Se 𝑎=0 il centro appartiene all’asse y perché 𝛼=0 Se 𝑏=0 il centro appartiene all’asse x perché 𝛽=0 Se 𝑐=0 la circonferenza passa per l’origine Se 𝑎=𝑏=0 la circonferenza ha il centro nell’origine

7 Posizione di una retta rispetto ad una circonferenza
Una retta e una circonferenza possono essere secanti in due punti, essere tangenti in un punto oppure non intersecarsi in nessun punto. Consideriamo una retta 𝑦=𝑚𝑥+𝑞 e una circonferenza di equazione 𝑥 2 + 𝑦 2 +𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐=0 e mettiamoli a sistema. 𝑦=𝑚𝑥+𝑞 𝑥 2 + 𝑦 2 +𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐=0 Risolvendo col metodo di sostituzione otterremo l’equazione risolvente, In base al ∆ potremo stabilire la posizione: se è > 0 la retta interseca la parabola in due punti, se è =0 è tangente , se è <0 non interseca.

8 Rette tangenti ad una circonferenza
Dato un punto 𝑃(𝑥;𝑦) vogliamo condurre le tangenti ad una circonferenza, per poterlo fare ci serviamo di due metodi : PRIMO METODO: ∆=𝟎 Il primo metodo è quello classico valido per tutte le sezioni coniche ovvero quello di porre il delta uguale a zero: Scriviamo il fascio di rette passanti per P: 𝑦− 𝑦 𝑝 =𝑚(𝑥− 𝑥 𝑝 ) Mettiamolo a sistema con la circonferenza: 𝑦− 𝑦 𝑝 =𝑚(𝑥− 𝑥 𝑝 ) 𝑥 2 + 𝑦 2 +𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐=0 Risolviamolo e una volta ottenuta l’equazione risolvente con il parametro m poniamo il ∆=0. Se P è esterno otterremo due valori e le rette tangenti saranno due mentre se appartiene alla circonferenza un solo valore e una sola retta.

9 SECONDO METODO: DISTANZA RETTA-CENTRO UGUALE AL RAGGIO Da una proprietà studiata in geometria euclidea, sappiamo che le rette tangenti ad una circonferenza sono perpendicolari ai raggi ovvero formano angoli retti. Perciò se abbiamo un punto e l’equazione della circonferenza possiamo determinare le equazioni delle rette tangenti con questo metodo: Prima di tutto calcoliamo le coordinate del centro, la misura del raggio e scriviamo il fascio di rette passanti per P ma in forma implicita: 𝑦− 𝑦 𝑝 =𝑚 𝑥− 𝑥 𝑝 → 𝑚𝑥−𝑦+ 𝑦 𝑝 −𝑚 𝑥 𝑝 =0 Poi utilizziamo la formula della distanza di un punto da una retta per esprimere la distanza del centro C da una generica retta del fascio e poniamo tale distanza uguale al raggio. Risolviamo l’equazione in m e sostituiamo i valori nel fascio, abbiamo trovato le rette tangenti. Questo metodo rende i calcoli più semplici a differenza del primo!

10 Determinare l’equazione di una circonferenza
Nell’equazione della circonferenza 𝑥 2 + 𝑦 2 +𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐=0 , come si può vedere, sono presenti tre coefficienti 𝑎, 𝑏 𝑒 𝑐, quindi per poter determinare l’equazione della circonferenza occorrono tre informazioni dette condizioni. VEDIAMO ALCUNI CASI: NOTI IL CENTRO E PUNTO: Questo caso è molto semplice perché basta calcolarsi il raggio con la distanza tra due punti e applicare quella formula che abbiamo riscontrato durante la dimostrazione dell’equazione ovvero: 𝑥−𝛼 𝑦−𝛽 2 = 𝑟 2 Mentre se conosciamo solo il diametro ? Semplice, ci calcoliamo le coordinate del punto medio che sono proprio quelle del centro e ci calcoliamo il raggio sapendo che è la sua metà, fatto ciò riutilizziamo di nuovo la formula del precedente caso.

11 NOTI TRE PUNTI: Ad esempio conosciamo tre punti 𝐴 0;4 𝐵 2;0 𝐶(3;1), come per la parabola li sostituiamo nell’equazione della circonferenza ed otteniamo: 𝐴→16+4𝑏+𝑐= 𝐵→4+2𝑏+𝑐=0 𝐶→9+1+3𝑎+𝑏+𝑐=0 Fatto ciò li mettiamo a sistema e troveremo che 𝑎=−2 𝑏=−4 𝑐=0 quindi l’equazione sarà 𝑥 2 + 𝑦 2 −2𝑥−4𝑦=0 Mentre se abbiamo due punti e il centro appartiene ad una retta? Facciamo il passaggio per i due punti e poi sostituiamo le coordinate del centro (-a/2; -b/2) alla retta, otterremo le solite tre equazioni da mettere a sistema. NOTA UNA RETTA TANGENTE E IL CENTRO Per prima cosa scriviamo l’equazione della retta in forma implicita, calcoliamo la distanza dal centro alla retta e otteniamo il raggio, dopodiché applichiamo la formula: 𝑥−𝛼 𝑦−𝛽 2 = 𝑟 2

12 Posizione di due circonferenze
Due circonferenze possono avere le seguenti posizioni reciproche: secanti, tangenti, una interna all’altra, concentriche ed esterne. Per determinare gli eventuali punti d’intersezione o il punto di tangenza, occorre mettere a sistema le due equazioni e sottrarre membro a membro: ⊖ 𝑥 2 + 𝑦 2 +𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐=0 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑎 ′ 𝑥+ 𝑏 ′ 𝑦+ 𝑐 ′ =0 𝑎− 𝑎 ′ 𝑥+ 𝑏− 𝑏 ′ 𝑦+ 𝑐− 𝑐 ′ =0 L’equazione ottenuta da questa operazione è un’equazione lineare in x e y perciò rappresenta una retta che viene chiamata asse radicale delle due circonferenze. Una volta trovato l’asse radicale si mette a sistema con una delle due circonferenze e troviamo i punti d’intersezione delle due circonferenze.

13 Posizione reciproca di due circonferenze.
Intersezione di due circonferenze e l’asse radicale

14 La lezione è finita ci vediamo alla prossima volta con l’ellisse e l’iperbole !!! EMANUELE PAONE
E se sei appassionato ricorda di visitare il sito della mia docente: blog.libero.it/ruffini Dove trovi tantissime informazioni e gli altri miei lavori. Ciao!!