Decadimento a.

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1 Decadimento a

2 Decadimento a Nei nuclei più pesanti del Fe e Ni, l’energia di legame per nucleone B diminuisce al crescere del numero di massa A Un nuclide guadagna energia se si separa in due nuclei più leggeri

3 Decadimento a Nei nuclei più pesanti del Fe e Ni, l’energia di legame per nucleone B diminuisce al crescere del numero di massa A Nuclei instabili con alte masse decadono in 2 o più nuclei più leggeri: fissione spontanea Caso più frequente: decadimento a 2 corpi in cui uno dei nuclei prodotti è un nucleo di elio Decadimento a:

4 Caratteristiche dei decadimenti a
La maggior parte degli isotopi creati artificialmente con numero di massa maggiore del Piombo sono emettitori a. Non vi sono emettitori a con A<146 (146Sm, con Z=62) Dovuto all’andamento dell’energia di legame per nucleone (B/A) in funzione di A Emettendo una particella a, un sistema nucleare guadagna energia solo se si trova a valori di A maggiori del massimo della curva B/A

5 Caratteristiche dei decadimenti a
Perché il decadimento avvenga, deve essere Energia cinetica della particella a Dalla conservazione dell’ impulso-energia, se il nucleo decade a riposo:

6 Caratteristiche dei decadimenti a
L’energia delle particelle a emesse varia tra 4 e 9 MeV I tempi di dimezzamento dei nuclei che le emettono variano invece tra 1010 anni e 10-7 secondi. In altri termini, i rate di transizione w variano di 24 ordini di grandezza pur trattandosi dello stesso processo fondamentale Geiger e Nuttal osservarono fin dal 1911 una correlazione tra l’energia cinetica della particella a e il tempo di dimezzamento Ad energie minori corrispondono tempi di dimezzamento maggiori e viceversa Legge empirica di Geiger-Nuttal: La relazione fu originariamente formulata usando il tempo di dimezzamento e il range in aria (a 15°C e 1 atm) delle particelle a Le due formulazioni sono equivalenti se si considera che il range RaTa3/2 e quindi log(Ra )  log(Ta)

7 Legge empirica Geiger-Nuttal (1)

8 Legge empirica Geiger-Nuttal (2)
Se si fa un plot del tempo di dimezzamento per tutti gli emettitori a, si osserva una considerevole dispersione dei punti misurati rispetto alla curva della legge di Geiger-Nuttal Gli andamenti risultamo più definiti e smooth se si considerano solo emettitori a con la stessa Z (= stesso elemento) In particolare, il trend è netto per nuclei pari-pari. Nuclei pari-dispari, dispari-pari e dispari-dispari seguono il trend generale, ma con maggiori fluttuazioni

9 Legge empirica Geiger-Nuttal (3)
A parità di Q-valore (o energia cinetica Ta), la vita media aumenta con il numero atomico Z

10 Teoria del decadimento a
Teoria elementare sviluppata da Gamow e indipendentemente da Condon e Gurney nel 1929 Energia potenziale U(r) per una particella a in funzione della distanza tra la particella a stessa e il centro del nucleo rimanente NOTA: Z e’ il numero di protoni nel nucleo figlio, Z=Zparent-2 Per r<R (R=raggio del nucleo) Prevalgono le forze nucleari Particella a in una buca di potenziale costante a simmetria sferica Per r> R Le forze nucleari sono inefficaci Prevale il campo coulombiano

11 Teoria del decadimento a
Due casi per l’emissione di una particella a con energa Ta: Ta > U(R): la particella a è libera di lasciare il nucleo e lo farà quasi istantaneamente Istantaneamente = in un tempo comparabile con quello che impega la particella a ad attraversare il nucleo: t = R/va = R*√(ma/2Ta) ≈ s Ta < U(R): la particella a classicamente è confinata nel nucleo. Quantisticamente può penetrare la barriera di potenziale per effetto tunnel ed emergere con energia cinetica = 0 a distanza r=b e poi muoversi a grande r dove avrà energia cinetica Ta b Free a-particle

12 Tunneling della barriera coulombiana (1)
Si può pensare la barriera coulombiana discretizzandola in una serie di barriere di spessore Dr e altezza costante Per ogni elemento discreto della barriera si può scrivere l’equazione di Schroedinger per la componente radiale: Dr

13 Tunneling della barriera coulombiana (2)
La soluzione nelle tre regioni risulta: si è posto =1 il coefficiente dell’onda incidente sulla barriera si è considerata nella regione 3 solo l’onda uscente particella a che si sposta verso r crescente allontanandosi dal nucleo Le costanti B, a, b e a si determinano imponendo la continuità della funzione d’onda e della sua derivata nei punti di discontinuità del potenziale La probabilità di trasmissione attraverso la barriera è:

14 Tunneling della barriera coulombiana (3)
Sommando i contributi degli elementi Dr e passando al continuo: Dove si è introdotto il fattore di Gamow:

15 Tunneling della barriera coulombiana (4)
Sommando i contributi degli elementi Dr e passando al continuo: Dove si è introdotto il fattore di Gamow: Per eseguire l’integrale si usa la sostituzione r=bcos2

16 Fattore di Gamow (1) Nell’espressione del fattore di Gamow, appare il rapporto R/b tra il raggio del nucleo e la distanza b a cui l’energua cinetica della particella a equivale al potenziale coulombiano U(r) Se U(R) >> Ta (cosa vera per tutti gli emettitori a noti) si ha R<<b e quindi si può approssimare sviluppando in serie di McLaurin l’arccos e la radice :

17 Fattore di Gamow (2) Il raggio a cui la particella a esce dalla barriera è: Sostituendo: Costante di struttura fine:

18 Fattore di Gamow stime numeriche
Caso di un nucleo pesante (Th) Z=90, R=7.5 fm, Ta=6 MeV Raggio a cui la particella a ″esce″ dalla barriera: Fattore di Gamow Probabilità di attraversare la barriera

19 Fattore di Gamow stime numeriche
Dipendenza da Ta e Z

20 Rate di transizione La probabilità PT è la probabilità di penetrazione della barriera coulombiana per una particella a che si avvicina alla barriera Per avere il rate di transizione, si deve moltiplicare questa probabilità per la frequenza degli urti della particella a con la barriera (cioe’ per il numero di “tentativi” fatti dalla particella a di penetrare la barriera) Dove vaNucleus è la velocità della particella a nel nucleo

21 Legge di Geiger-Nuttal (1)
Prendendo i logaritmi si ottiene:

22 Legge di Geiger-Nuttal (2)
Quindi: Con: Dove g è una costante, mentre C dipende da vaNucleus e da R e quindi varia leggermente per i diversi emettitori a Non è esattamente la legge empirica di Geiger e Nuttal perché c’è 1/√Ta invece del logaritmo, ma per valori di Ta compresi tra 4 e 7 MeV la differenza è minore del 3%

23 Considerazioni La dipendenza trovata con il modello
elementare (che è chiaramente molto semplificato) consente comunque di: Riprodurre la dipendenza osservata della vita media dall’energia della particella a rendendo conto della variazione su più di 20 ordini di grandezza Spiegare come mai l’intervallo di variazione del rate di tranzione w è molto maggiore di quello dell’energia cinetica Ta Una variazione del 10% in Ta cambia il rate w di un fattore 1000 Spiegare l’osservazione sperimentale per cui a energia cinetica Ta costante la vita media aumenta col peso atomico. All'aumentare di A, aumenta sia la carica elettrica che il raggio del nucleo e quindi aumenta il fattore di Gamow che dipende dall’altezza e dalla larghezza della barriera di potenziale Spiegare come mai c’è un limite inferiore per l’energia cinetica della particella a Per Ta < 4 MeV la vita media risulterebbe talmente lunga (>1018 s) da rendere questi decadimenti difficilmente ossevabili Questo spiega anche come mai non ci sono nuclei emettitori a con Z<62 dove il Q valore risulta minore di 2 MeV

24 linee a Q costante nel piano Z-A
Soglia di instabilità A questo punto possiamo calcolare in modo più quantitativo i valori di A e Z per cui il decadimento a è possibile usando: Il Q valore calcolato dalla formula di Weizsacker per la massa del nucleo La considerazione che per Q≈Ta<4 MeV i decadimenti a sono estremamente improbabili linee a Q costante nel piano Z-A

25 Approssimazioni (1) Va notato che il fattore di Gamow G è grande (≈30-50) quindi una piccola indetermiazione sui parametri comporta una grande variazione sul rate w (e-G) Si è assunto che il nucleo figlio abbia massa >> della particella a. Questa approssimazione è facilmente correggibile usando la massa ridotta del sistema nucleo+a [ m=maMDauNucl/(ma+MDauNucl) ] e l’energia cinetica totale (cioe’ Q) invece di Ta. Si è assunto R/b<<1, mentre si poteva usare l’espressione completa di G Il trattamento delle particelle a all’interno del nucleo è semplicistico: la particella a non esiste stabilmente all’interno del nucleo Un trattamento corretto richiederebbe di usare la funzione d’onda di tutti i nucleoni nel nucleo “genitore” e calcolare l’ampiezza di probabilità di trovare una particella a e il nucleo “figlio”. Non è possibile fare questo trattamento in modo rigoroso

26 Approssimazioni (2) La probabilità di trovare una particella a nel nucleo è diversa tra nuclei pari-pari, pari-dispari e dispari-dispari A parità di altre condizioni, i rate di transizione osservati in nuclei pari-pari sono più alti che negli altri tipi di nuclei I dettagli della struttura nucleare influiscono sul rate di transizione w attraverso l’energia di legame per nucleone Ad esempio, nel modello a shell si ha la “chiusura” di una shell nucleare quando N = 126 (numero magico) Un nucleo genitore con N=128 avrà un Q-valore per il decadimento a molto più alto (di molti MeV) di un nucleo con lo stesso Z ma con N=126 La forma del potenziale assunto è chiaramente idealizzata Il fatto che w sia estremamente sensibile a piccole variazioni di Ta suggerisce che questo sia un effetto importante Si è assunto che il potenziale nucleare abbia simmetria sferica Tuttavia si sa che molti dei nuclei più pesanti del Pb sono deformati e questo può influire sul rate di transizione

27 Barriera di potenziale centrifugo
Quando il nucleo “genitore” e il nucleo “figlio” hanno spin diverso Lo spin di un nucleo è dato dalla somma vettoriale dei momenti di spin e momenti angolari dei nucleoni che lo costituiscono Sono catatteriazzati da numeri quantici jP jD che sono entrambi numeri interi per nuclei con A pari e semi-interi per nuclei con A dispari Siccome la particella a ha spin 0, e il momento angolare deve essere conservato, la particella a deve essere emessa con un momento angolare orbitale non nullo relativamente al nucleo “figlio” che rincula Il momento angolare orbitale della particella a è caratteriazzato da un numero quantico l che deve essere un numero intero 0. Conservazione del momento angolare:

28 Momento angolare Nel caso in cui la particella a venga emessa con l 0, l’equazione di Schrodinger è: Separando le variabili si scrive: La parte angolare ha come soluzione le funzioni armoniche sferiche Ylm(cos,) L’equazione di Schrodinger per la componente radiale diventa:

29 Barriera di momento angolare
Nel caso in cui la particella a venga emessa con l 0, la barriera di potenziale a distanza r risulta: ed è maggiore di quella coulombiana di un termine l(l +1)ħ2/2mar2 detto barriera centrifuga La barriera centrifuga dovuta al momento angolare Rende la barriera più difficile da superare per effetto tunnel Riduce i rate di transizione e quindi aumenta le vite medie

30 Barriera centrifuga Considerazioni quantitative sulla barriera centrifuga L’effetto di variazione del potenziale è piccolo Esempio per l =2, Z=90 a distanza r=15 fm il termine coulombiano vale MeV, mentre quello centrifugo vale 0.14 MeV (meno dell’1%) Tuttavia, un aumento dell’1% del fattore di Gamow porta ad una diminuzione di un fattore 2-3 del rate di transizione e a un aumento di un fattore 2-3 della vita media Esempio: Valori numerici calcolati da Blatt e Weisskopf nel 1952 per il caso di un decadimento a con Z=86, Ta=4.88 MeV, R=9.87 fm l 1 2 3 4 5 6 wl /w0 1.0 0.7 0.37 0.137 0.037 0.0071 0.0011

31 Barriera centrifuga e decadimenti
Consideriamo il decadimento a: che può avvenire sullo stato fondamentale del 238U o in uno dei tre stati eccitati Il modo dominante è quello nello stato fondamentale con spin 0 I decadimenti sugli stati eccitati sono meno probabili per il minor Q e perché il valore di l aumenta Dalla teoria elementare con sola barriera coulombiana ci si aspetta: Il valore misurato è 2.010-5, quindi l’effetto della barriera centrifuga è un fattore 2/540=0.0037, simile a quanto previsto da Blatt e Weisskopf

32 Fissione spontanea

33 Fissione spontanea di nuclei
Fissione spontanea = un nucleo pesante decade in due (o più) nuclei più leggeri e (spesso) dei neutroni liberi Nel caso del decadimento a, è la grande energia di legame della particella a (B/A=7.08 MeV) che rende possibile il decadimento La barriera di potenziale da superare per avere fissione spontanea è così alta che queste reazioni di fissione sono in generale estremamente improbabili Il nucleo più leggero in cui si osserva fissione spontanea è il 226Ra I nuclidi più leggeri per i quali la probabilità di fissione spontanea è paragonabile a quella di decadimento a sono certi isotopi dell’uranio. Caso del 238U: la probabilità di decadimento a per unità di tempo è wa=5·10-18 s-1, mentre quella per fissione spontanea è wfiss=3·10-24 s-1, con un rapporto wfiss/wa di circa 6·10-7. All’aumentare del numero di massa A aumenta il branching ratio per fissione spontanea e la fissione spontanea diventa dominante per A > 260.

34 Fissione spontanea di nuclei
Fissione spontanea = un nucleo pesante decade in due (o più) nuclei più leggeri e (spesso) dei neutroni liberi Nel caso del decadimento a, è la grande energia di legame della particella a (B/A=7.08 MeV) che rende possibile il decadimento I nucleoni nel 12C sono più legati (B/A=7.6 MeV) che nella particella a e quindi il decadimento in 12C è energeticamente possibile nei nuclei pesanti Il rate di fissione spontanea e’ significativamente alto in nuclei più pesanti del Torio e soprattutto nei transuranici

35 Fissione spontanea Caratteristiche:
I prodotti di fissione sono normalmente lontani dalla curva di stabilità dei nuclei (per eccesso di neutroni) e per raggiungere la stabilità avvengono poi diversi decadimenti b- La produzione di frammenti con uguale (o quasi uguale) numero di massa è poco probabile, l’esito più comune è una fissione asimmetrica Il valore più probabile di differenza di numero dimassa tra i prodotti di fissione è circa 45

36 Modello per la fissione spontanea
Dal modello a goccia: Variazione di energia di legame se il nucleo si deforma da sfera a ellissoide, mantenendo il volume costante (piccola deformazione) La superficie del nucleo aumenta e aumenta anche la distanza media tra nucleoni: Effetto sul termine Coulombiano e sul termine di superficie Variazione dell’energia di legame a b

37 Modello per la fissione spontanea
Basato sul modello a goccia: Potenziale in funzione della distanza tra i due frammenti all’interno del nucleo genitore determinato da due forze antagoniste: tensione superficiale e repulsione coulombiana A piccole separazioni domina la tensione superficiale e l’energia di legame diminuisce (-> aumenta la massa del nucleo) se il nucleo si deforma da sferico a prolato Quando la deformazione aumenta si può raggiungere un punto in cui il nucleo si spezza in due parti Break-up Separation deformation E’ un problema di penetrazione di una barriera di potenziale L’altezza della barriera si chiama energia di attivazione e vale 6-8 MeV per A=238 e diminuisce al crescere di Z2/A Per Z2/A>49 fissione immediata Per il Fermio (Z=100) Z2/A~39-40

38 Appendice: calcolo della probabilità di tunnelling della barriera

39 Tunneling della barriera coulombiana (1)
La soluzione risulta: si è posto =1 il coefficiente dell’onda incidente sulla barriera si è considerata nella regione 3 solo l’onda uscente particella a che si sposta verso r crescente allontanandosi dal nucleo Le costanti B, a, b e a si determinano imponendo la continuità della funzione d’onda e della sua derivata nei punti di discontinuità del potenziale

40 Tunneling della barriera coulombiana (2)
Per comodità definiamo due variabili ausiliarie: Continuità in r=R1=Dr (Dr = spessore barriera) Continuità in r=R=0

41 Tunneling della barriera coulombiana (3)
Dobbiamo eliminare le due costanti a e b, per trovare infine la relazione tra l’ ampiezza delle onde incidente (1), riflessa (B) e trasmessa (a) Sappiamo che K∙Dr<<1 (piccola trasparenza della barriera) Possiamo semplificare le formule: si può trascurare a rispetto a b Dalle equazioni di continuità a r=0 si ottiene: Sommando le equazioni: Sostituendo l’espressione di b dalle condizioni a r=Dr:

42 Tunneling della barriera coulombiana (4)
Dobbiamo eliminare le due costanti a e b, per trovare infine la relazione tra l’ ampiezza delle onde incidente (1), riflessa (B) e trasmessa (a) Sappiamo che K∙Dr<<1 (piccola trasparenza della barriera) Ricavando a2: Trascurando il fattore 16k2K2/(k2+K2)2 che è dell’ordine dell’unità