Geometria Descrittiva Dinamica

Presentazione sul tema: "Geometria Descrittiva Dinamica"— Transcript della presentazione:

1 Geometria Descrittiva Dinamica
Al sommario Indagine insiemistica sulla doppia proiezione ortogonale di Monge LA RAPPRESENTAZIONE GEOMETRICO-DESCRITTIVA E RELATIVA TIPOLOGIA DEGLI ELEMENTI PRIMITIVI (Oggetto, mezzo, luogo) Il disegno di copertina è stato eseguito nell’a.s /02 da Luca Pelusi della classe 3°B dell’Istituto Statale d’Arte “M. Dei Fiori” di Penne per la materia : “Disegno geometrico ed architettonico” La revisione delle formalizzazioni è stata curata dal dott. Gabriella Mostacci IL materiale può essere riprodotto citando la fonte Autore Prof. Elio Fragassi

2 Geometria descrittiva dinamica
Introduzione Presentazione Indagine insiemistica sulla doppia proiezione ortogonale di Monge Questo learning object presenta ed esplicita gli elementi fondamentali necessari per sviluppare una comunicazione grafica di “Geometria descrittiva dinamica” Essi sono: L’oggetto Il mezzo Il luogo Considerando “la proiezione” come “un trasferimento”; esso può avvenire solo in presenza di questi tre componenti ponendo, così, le basi per la rappresentazione descrittiva degli elementi geometrici sia nella loro singolarità (punto, retta, piano) sia nella loro complessità (figure piane e forme solide), in relazione al messaggio grafico da veicolare, anche in relazione alle singole e diverse abilità degli studenti.

3 Titolo dell’argomento
Sommario Copertina Sfogliare Titolo dell’argomento Rappresentazione geometrico-descrittiva e tipologia degli elementi primitivi L’oggetto della proiezione Il mezzo della proiezione Il luogo della proiezione: il diedro Caratterizzazione topologica dei diedri Caratterizzazione grafica dei diedri Caratterizzazione complessiva dei diedri Caratterizzazione topologica e grafica del primo diedro (ID) Caratterizzazione topologica e grafica del secondo diedro (IID) Caratterizzazione topologica e grafica del terzo diedro (IIID) Caratterizzazione topologica e grafica del quarto diedro (IVD) Quadro sinottico dei caratteri dei diedri Vai a Vai a Vai a Vai a Vai a Vai a Vai a Vai a Vai a Vai a Vai a Vai a

4 Introduzione generale (1)
RAPPRESENTAZIONE GEOMETRICO-DESCRITTIVA E TIPOLOGIA DEGLI ELEMENTI PRIMITIVI Sommario Introduzione generale (1) Per rappresentare un oggetto qualunque, un solido, un progetto architettonico, un oggetto di uso comune, un mobile, ecc. si usa eseguire una "proiezione" dell'oggetto stesso. E’ bene, pertanto, chiarire anzitutto cosa vuole intendersi per "proiezione”, riguardandola come operazione grafica di tipo geometrico con caratteristiche descrittive. Il vocabolario Zingarelli esplicita il termine “proiezione” come “...atto, effetto del proiettare...” oppure come “...trasmissione di un’immagine su uno schermo...”, oppure ancora come “...Rappresentazione di una figura spaziale su un piano usando sistemi diversi...”. Lo stesso vocabolario esplicita, poi, il verbo “proiettare” come “...gettare, scagliare fuori o avanti...” oppure come operazione per “...Riprodurre su uno schermo una diapositiva o un fotogramma a mezzo di proiettore”. In sintesi, "proiettare" equivale a "trasferire" cioè “eseguire una proiezione" equivale ad "effettuare un trasferimento"; o meglio, sviluppare una serie di operazioni razionalmente coordinate mediante le quali riuscire a "trasferire”, “qualcosa" da un "luogo" ad un altro "luogo".

5 Introduzione generale (2)
Poiché l’operazione di trasferimento implica un aspetto dinamico, tale sarà anche l’operazione della proiezione, conseguentemente, poiché la geometria descrittiva si fonda sulle proiezioni ne discende il carattere dinamico, per cui trattasi di “Geometria descrittiva dinamica”. Per poter eseguire questa operazione di "trasferimento" abbiamo bisogno, fondamentalmente, dei tre elementi specificati di seguito. L’”oggetto” della proiezione o del trasferimento Il “mezzo” per eseguire la proiezione o il trasferimento Il “luogo” ove effettuare la proiezione o il trasferimento

6 L’oggetto della proiezione (1)
Sommario L'oggetto può essere costituito da "qualcosa" sia concreto che astratto; può quindi essere un solido o un gruppo di solidi, un organismo architettonico esistente e/o di progetto, un’idea progettuale, il rilievo e la restituzione grafica di un manufatto, di un immobile, di un mobile, o più in generale, un "oggetto” reale e/o virtuale da definirsi di volta in volta in relazione al momento ed alle esigenze rappresentative Nello specifico di questi appunti di "Geometria descrittiva dinamica", l'oggetto della trattazione è costituito dagli elementi primitivi della geometria come definiti in altro fascicolo che, in particolare, si sintetizzano come di seguito. Il Punto P inteso come "Ente geometrico adimensionale" La retta r riguardata nel suo aspetto dinamico-insiemistico come generata da un punto in movimento definito ed orientato secondo la seguente sintetica espressione insiemistica e descrittiva Il piano p riguardato nel suo aspetto dinamico-insiemistico come elemento generato da una retta in movimento definito ed orientato nello spazio secondo la seguente sintetica espressione insiemistica e descrittiva

7 L’oggetto della proiezione (2)
Questi tre elementi, composti ed articolati nello spazio, determinano la configurazione di forme e figurazioni piane e/o solide di varia natura e complessità; comunque sempre suscettibili di essere ricondotte ad un abaco di forme principali ove rintracciare, sempre, le forme fondamentali di prima specie, di seconda o terza specie che si ricorda essere le seguenti Forme geometriche fondamentali Forme di 1a specie Forme di 2a specie Forme di 3a specie Retta punteggiata Piano punteggiato Spazio punteggiato Fascio di rette Piano rigato Spazio rigato Fascio di piani Stella di rette Spazio di piani Stella di piani

8 Il mezzo della proiezione
Sommario Nello specifico, il “mezzo” grafico, per l'esecuzione delle rappresentazioni, è costituito dalle leggi della proiezione cilindrica ortogonale (Fig. 01). Ricordiamo, sinteticamente, che le proiezioni si distinguono in: “proiezioni coniche” o “proiezioni centrali” e “proiezioni cilindriche” o “proiezioni parallele”; queste ultime a loro volta si differenziano in proiezioni ortogonali ed oblique. Nello sviluppo di questi appunti di "Geometria descrittiva dinamica" si fa riferimento esclusivamente alla "Proiezione cilindrica ortogonale" le cui caratteristiche geometrico-descrittive sono sintetizzate dalla seguente espressione [S¥ Þ A’= A] per r ^ a ed A’  Mentre la proiezione conica può essere sintetizzata dalla seguente espressione [S Þ A’ A] per r a ed A’  S¥ = Sorgente proiettiva impropria. S = Sorgente proiettiva reale. A’ = Proiezione o immagine dell’oggetto in corso di elaborazione descrittiva. A = Oggetto (reale e/o virtuale) della rappresentazione. r = Raggio proiettivo. ^ = Perpendicolare o ortogonale.  = Obliquo o comunque inclinato  = Appartiene a = Luogo della proiezione. (Supporto del disegno e/o della rappresentazione grafica descrittiva)

9 Il luogo della proiezione: il diedro
Sommario Di norma, nel campo della geometria descrittiva gli "oggetti” della proiezione si immaginano collocati nello spazio fisico denominato "diedro"(Fig.02) Il diedro, come angolo solido, è costituito dallo spazio racchiuso tra due semipiani p1/2 e p2/2 (Fig.03) in rapporto ortogonale tra di loro così come definito nel "Metodo delle doppie proiezioni ortogonali o metodo di Monge“ cui questi appunti fanno completo riferimento I due piani (Fig. 02) p1 e p2, comunque collocati nello spazio, e, fermo restando il reciproco rapporto di ortogonalità, intersecandosi definiscono quattro porzioni di spazio solido che prendono il nome di diedri; quindi ciascuna delle quattro parti dello spazio solido (Fig. 03), delimitata da due semipiani aventi in comune la retta di origine, determina un “luogo” della possibile collocazione dell’oggetto della proiezione e/o della rappresentazione. I due piani p1 e p2, intersecandosi l'uno con l'altro danno origine ad una retta reale che rappresenta l'origine dei semipiani e quindi dei diedri da essi costituiti. Per questa sua caratteristica particolare (origine dei semipiani) la retta, nello specifico, assume il nome di "linea di terra". Essa, sia negli appunti seguenti che nelle didascalie dei disegni, sarà indicata con le lettere iniziali del nome "lt" minuscole perché trattasi di linea retta.

10 Caratterizzazione topologica dei diedri (1)
Sommario Se la retta "lt” rappresenta l'origine dei semipiani p1/2 e p2/2, muovendosi, su ciascuno di essi, ci sia allontanerà da detta origine spostandosi sia su p1 che su p2 Allora, per poter definire, in modo univoco, il semipiano in cui ci si muove attribuiamo ad esso delle caratteristiche topologiche, proprio in riferimento all'origine cioè alla “lt” (Fig.04). Pertanto, se dalla lt ci si allontana verso destra diremo che i valori della distanza sono crescenti positivamente ed allora indicheremo il semipiano come "semipiano anteriore positivo" che in forma sintetica diventa p1+; se ci si allontana verso sinistra diremo che i valori delle distanze sono crescenti negativamente e allora definiremo il semipiano come “semipiano posteriore negativo" che in forma sintetica diventa p1- Muovendosi, poi, su p2 accade che per allontanarsi dalla linea di terra bisogna muoversi verso l'alto; in questo caso i valori della distanza dall'origine sono crescenti positivamente, allora indichiamo il semipiano in oggetto come “semipiano superiore positivo" che in forma sintetica diventa p2+; se invece ci si allontana verso il basso, allontanandosi dalla "lt" i valori crescono negativamente per questo si definisce tale semipiano come “semipiano inferiore negativo” che in forma sintetica diventa p2-. E’ possibile, quindi, caratterizzare e definire dal punto di vista topologico i diversi diedri, con riferimento ai semipiani costituenti gli stessi, come nella tabella che segue

11 Caratterizzazione topologica dei diedri (2)
Ragionando sulla “caratterizzazione topologica” possiamo fare le seguenti considerazioni generali Indicazione sintetica Carattere topologico Numero diedro Sintesi didascalica Nome semipiano Anteriore Positivo p 1 + Primo Diedro I D Superiore Positivo p 2 + Il primo diedro è un diedro positivo Posteriore Negativo p 1 - Secondo Diedro II D Superiore Positivo p 2 + Posteriore Negativo p 1 - III D Il secondo diedro è un diedro misto Terzo Diedro Inferiore Negativo p 2 - Anteriore Positivo p 1 + Quarto Diedro IVD Inferiore Negativo p 2 - Il terzo diedro è un diedro negativo Per una maggiore sintesi possiamo esprimere con la tabella sinottica che segue la “ definizione topologica” dei quattro diedri Il quarto diedro è un diedro misto Tabella sinottica dei caratteri topologici dei quattro diedri Inoltre il primo diedro è opposto al terzo “dal punto di vista topologico" e, al contempo, il secondo è, sempre “ dal punto di vista topologico”, opposto al quarto Primo Diedro Secondo Diedro Terzo Diedro Quarto Diedro p 1 + p 1 - p 1 - p 1 + I D II D III D IVD p 2 + p 2 + p 2 - p 2 -

12 Caratterizzazione grafica dei diedri (1)
Sommario Dovendo, il “luogo”, rappresentare il supporto ove definire la proiezione intesa come trasferimento, è necessario che, oltre la “definizione topologica”, sia determinata una “caratterizzazione grafica" dei singoli diedri. Poiché, in generale, il "luogo grafico” della proiezione corrisponde ad un "luogo geometrico piano", è necessario definire le operazioni mediante le quali è possibile passare da una determinazione tridimensionale dell’ ”oggetto” alla sua trasposizione grafica e descrittiva su un “luogo geometrico piano”(Fig. 05). In sintonia con quanto definito dal "Metodo delle doppie proiezioni ortogonali o metodo di Monge", il passaggio dalla definizione tridimensionale alla rappresentazione bidimensionale del “luogo” della proiezione avviene immaginando di far ruotare il piano p1 attorno alla linea di terra in senso orario fino a quando si otterrà la coincidenza tra i due piani; fino a quando cioè risulterà p1 ºp2 Con questa operazione di rotazione accade che i semipiani come “topologicamente definiti” andranno a coincidere

13 Caratterizzazione grafica dei diedri (2)
La rotazione in oggetto, assunta come processo omologico di ribaltamento di cui la “lt” ne rappresenta l’asse, determinerà la seguente corrispondenza tra i semipiani che definiscono i diedri e quindi i luoghi della rappresentazione p 1- º p 2+ semipiani coincidenti collocati, graficamente, nella parte superiore alla lt p 1 + º p 2- semipiani coincidenti collocati, graficamente, nella parte inferiormente alla lt Mediante questa operazione di ribaltamento il “luogo” tridimensionale della proiezione si trasforma in “luogo geometrico piano” ove l’unico elemento di riferimento diventa la linea di terra nella sua qualità di origine dei diedri essendo la retta di intersezione tra i due piani p1 e p2 Quindi ogni superficie piana su cui si disegna una retta, a cui si attribuisce la funzione di linea di terra, può essere riguardata come trasformata di un diedro di cui la linea di terra ne rappresenta l'origine (Fig.06). Ciascuna superficie di quelle rappresentate, pertanto, può essere riguardata come trasformata piana di un diedro

14 Caratterizzazione complessiva dei singoli diedri
Sommario Come è stato evidenziato nelle pagine precedenti, ad ogni diedro possiamo attribuire caratteri topologici specifici che rendono il diedro stesso identificabile in modo preciso Oltre l’attribuzione dei caratteri topologici, abbiamo definito le caratterizzazioni grafiche che unite alle prime individuano in modo univoco l’ambito spaziale entro cui elaborare la rappresentazione ed il relativo luogo geometrico piano della trasposizione grafica e descrittiva . Nelle pagine successive si definisce la caratterizzazione complessiva di ogni diedro sia nell’aspetto topologico che in quello grafico Analizziamo, ora, singolarmente i quattro diedri ed i relativi elementi costituenti

15 Caratterizzazione topologica e grafica del primo diedro (ID)
Sommario Il primo diedro (Fig.07) è costituito dai semipiani p1+ e p2+; aventi per origine la linea di terra. Questa viene assunta come asse di rotazione per concatenare il semipiano p1+ al semipiano p2+ A rotazione completata i due semipiani si dispongono in modo distinto uno nella parte inferiore della “lt” e l’altro nella parte superiore della stessa come mostrato dalla sequenza grafica della fig. 07 Pertanto alla definizione topologica del I Diedro possiamo aggiungere la descrizione grafica, completando l’analisi e la descrizione del diedro come di seguito. I luoghi grafici del I Diedro si articolano in modo distinto l’uno sotto e l’altro sopra la linea di terra (Fig.08).

16 Caratterizzazione topologica e grafica del secondo diedro (IID)
Sommario Il secondo diedro è definito dai semipiani p1- e p2+ aventi come origine la linea di terra “lt” (Fig.09). Questa viene assunta come asse di rotazione per ribaltare p1- su p2+. A rotazione completata i due semipiani, che definiscono il diedro, si disporranno sovrapposti l’uno sull’altro, tanto da poter dire che p1- º p2+ come mostrato dalla sequenza grafica della fig.09 Alla definizione topologica del II Diedro possiamo aggiungere, infine, la raffigurazione grafica attinente completando l’analisi e la descrizione del diedro come in fig.10. I luoghi grafico-rappresentativi del diedro si definiscono coincidenti e disposti entrambi nella parte superiore alla linea di terra

17 Caratterizzazione topologica e grafica del terzo diedro (IIID)
Sommario Il terzo diedro è definito dai semipiani p1- e p2- aventi come origine la linea di terra e disposti come di seguito (Fig.11) Si ricorda che il ribaltamento è un processo omologico di cui la linea di terra (asse omologico) costituisce l’asse della rotazione necessario per poter effettuare il ribaltamento che trasforma il diedro nel luogo geometrico piano della rappresentazione descrittiva A rotazione completata i due semipiani si disporranno in maniera distinta l’uno sopra, l’altro sotto la linea di terra come mostrato dalla sequenza grafica di fig.11. Quindi, in aggiunta alla definizione topologica, si può esplicitare anche la corrispondente caratterizzazione grafica, completando l’analisi e la descrizione del diedro come di seguito (Fig.12) I luoghi grafico-rappresentativi del diedro si presentano distinti e disposti ai due lati della linea di terra, normalmente l’uno sopra, l’altro sotto la “lt”. Nel rapporto con il primo diedro, questo si caratterizza essere opposto a quello sia nell’aspetto topologico che nelle caratteristiche grafiche, infatti, p1- si colloca nella parte superiore alla “lt”, mentre p2- si dispone nelle parte inferiore alla “lt” secondo due posizioni esattamente opposte ai semipiani del primo diedro.

18 Caratterizzazione topologica e grafica del quarto diedro (IVD)
Sommario Il quarto diedro è delimitato dai semipiani p1+ e p2- aventi , come di consueto, la linea di terra come origine comune ai due semipiani. Essa viene assunta come asse di rotazione (asse omologico) per poter effettuare il ribaltamento di p1+ su p2- e passare così dalla forma tridimensionale alla figurazione bidimensionale del luogo descrittivo A rotazione completata i due semipiani, che definiscono il diedro si disporranno in maniera sovrapposta l’uno sull’altro, tanto da poter dire che p1+ º p2- come esplicitato dalla sequenza grafica della fig. 13 Pertanto, alla definizione topologica del IV diedro possiamo aggiungere anche la caratterizzazione grafica, completando l’analisi e la descrizione del diedro come di seguito (Fig.14) In questo caso i luoghi grafico-rappresentativi del diedro si presentano coincidenti e disposti entrambi nella parte inferiore alla linea di terra Nel raffronto con il secondo diedro, questo si caratterizza essere opposto a quello sia nell’aspetto topologico che nella caratterizzazione grafica Con riferimento agli aspetti grafici, il secondo e il quarto diedro si definiscono misti perché le proiezioni o immagini su di essi non sono distinte ma sovrapposte l’una sull’altra a seguito della coincidenza dei luoghi della rappresentazione

19 Quadro sinottico dei caratteri dei diedri
Sommario Diedri e relativi caratteri Aspetto topologico Diedro Semipiani Didascalia Caratterizzazione grafica 1 + 1+ 2+ lt ID 1+ 2 + 2+ 1 - 1- IID 1- 2+ lt 2 + 2+ 1 - 1- 1- lt IIID 2- 2 - 2- 1 + 1+ 1+ 2- lt IVD 2 - 2-

20 Per maggiore completezza ed approfondimento degli argomenti si può consultare il seguente sito