Matrici e determinanti

Presentazione sul tema: "Matrici e determinanti"— Transcript della presentazione:

1 Matrici e determinanti
Prof. Angela Fanti Liceo Scientifico Statale “Francesco d’Assisi”

2 Definizione di matrice
E’ detta matrice una tabella di numeri disposti in righe e in colonne in modo tale che ogni numero occupa il posto intersezione di una riga con una colonna Se una matrice ha m righe ed n colonne è detta matrice m x n

3 Le matrici del tipo m x 1 oppure 1 x n sono dette vettori
aij è l’elemento della matrice che occupa il      punto di intersezione della i-esima riga con la      jesima colonna Se m ≠ n la matrice è detta                                           rettangolare del tipo m x n Se m = n la matrice è detta                                           quadrata di ordine m Le matrici del tipo m x 1 oppure 1 x n sono dette vettori Due matrici sono uguali se hanno uguali gli elementi che occupano lo stesso posto

4 In una matrice quadrata, si chiamano elementi principali quelli del tipo aii, aventi cioè l’indice di riga uguale a quello di colonna. Gli elementi principali costituiscono quella che si chiama la diagonale principale della matrice diagonale secondaria

5 Una matrice è detta matrice nulla se tutti i suoi elementi sono 0
Si chiama matrice unità I (di ordine n) la matrice quadrata avente tutti 1 sulla diagonale principale e tutti gli altri elementi nulli A I = I A = A

6 Si chiama trasposta della matrice A, e si indica con il simbolo A
Si chiama trasposta della matrice A, e si indica con il simbolo A*, la matrice ottenuta da A scambiando le righe con le colonne: l’elemento di posto (i,j) in A* coincide quindi con l’elemento di posto (j,i) in A A* = A = Una matrice quadrata si dice simmetrica se coincide con la sua trasposta

7 Una matrice quadrata è triangolare superiore (inf
Una matrice quadrata è triangolare superiore (inf.) se sono nulli tutti gli elementi al di sotto (sopra) della diagonale principale Superiore Inferiore = se i ≠j aij ≠ se i = j

8 Determinanti Data la matrice quadrata
Ad essa resta associato un ben definito numero reale (se tale è la matrice) detto determinante della matrice e denotato con det(A)

9 Definiamo determinante di A il numero che si ottiene mediante un procedimento ricorsivo di calcolo detto dello sviluppo secondo gli elementi di una linea (riga o colonna) Premettiamo che dato aij  A si chiama suo complemento algebrico il determinante della matrice che si ottiene da A cancellandone la riga i-esima e la colonna j-esima di aij , moltiplicato per (-1)i+j

10 ESEMPIO Sia data la matrice:
Il complemento algebrico del suo elemento -3 (situato nella seconda riga e nella prima colonna) è Quello dell’elemento -3 (seconda riga, seconda colonna) è invece:

11 Il determinante di A è il numero reale somma dei prodotti degli elementi di una linea di A, arbitrariamente scelta, per i rispettivi complementi algebrici Si vede facilmente, che conviene sviluppare il determinante secondo la linea che contiene più zeri

12 Proprietà dei determinanti
A) il determinante di una matrice triangolare sup. o inf. (in particolare diagonale) è uguale al prodotto dei suoi elementi principali B) se una matrice (quadrata) ha una linea di zeri, il suo determinante è nullo C) moltiplicando per un fattore tutti gli elementi di una qualunque linea di una matrice, il determinante di questa resta moltiplicato per lo stesso fattore ovvero è possibile mettere in evidenza un fattore comune a tutti gli elementi di una linea di una matrice, portando tale fattore fuori del segno di determinante

13 Proprietà dei determinanti
D) scambiando tra loro due righe o due colonne di una matrice quadrata, il determinante cambia di segno E) se una matrice quadrata ha due righe o due colonne uguali, il suo determinante è zero F) se una matrice quadrata ha due righe o due colonne proporzionali, il suo determinante è zero G) il determinante di una matrice quadrata non cambia se ad una qualunque riga o colonna si aggiunge un’arbitraria combinazione lineare delle altre righe o colonne H)una matrice quadrata ha determinante nullo se e solo se le sue righe o colonne sono dipendenti (una almeno è combinazione lineare delle altre) Le matrici il cui determinante è nullo vengono dette singolari o degeneri

14 Rango di una matrice Definiamo rango di una matrice il numero massimo delle sue righe indipendenti Si chiama minore di A di ordine p il determinante di qualunque matrice che si può costruire a partire da A fissandone a piacere, p righe ed altrettante colonne e prendendo poi gli elementi che restano così individuati L’espressione ”la matrice ha rango r” vuol dire che sono verificati contemporaneamente i due fatti seguenti: I) la matrice A possiede un minore di ordine r diverso da zero II) tutti i minori di A di ordine maggiore di r sono nulli

15 Operazioni tra matrici
1) Prodotto di una matrice per un numero reale: Si effettua moltiplicando per il numero reale tutti gli elementi della matrice  A = ( aij) N.B. det( A) = n det(A)

16 Operazioni tra matrici
2) Somma tra matrici: È eseguibile solo tra matrici delle stesse dimensioni, e si effettua elemento per elemento Se A = (aij) e B = (bij) si ha A + B = ( aij + bij) L’operazione è commutativa associativa N.B. in generale det(A  B) ≠ det(A)  det(B)

17 Operazioni tra matrici
3) Prodotto righe per colonne: - Affinché si possa moltiplicare “righe per colonne” una matrice Am x s per Br x n deve risultare s=r ossia il numero s di colonne della prima matrice deve essere uguale a quello r delle righe della seconda. Se questa condizione è verificata, l’operazione può essere effettuata e dà per risultato una matrice Cm x n - E’ evidente l’importanza dell’ordine con cui si considerano le matrici da moltiplicare

18 Operazioni tra matrici prodotto r x c
Indicando con aij , bij, cij l’elemento generico di A, B, C Cm x n = Am x s Bs x n l’operazione risulterà definita dalla regola

19 ESEMPIO Siano le matrici:
Il prodotto AB è eseguibile (mentre non lo è BA) e dà per risultato una matrice 2 x 3.

20 Calcoliamone gli elementi:
La matrice C = A B è

21 Operazioni tra matrici prodotto r x c
Se le matrici da moltiplicare sono quadrate di ordine n, entrambi i prodotti AB e BA possono effettuarsi e danno per risultati ancora matrici quadrate dello stesso ordine. Tuttavia, in generale, è: AB ≠ BA Si ha però, per qualunque scelta di A e B det(AB) = det(A) det(B) E dunque , come conseguenza det(AB) = det(BA)

22 Matrice inversa A A-1 = A-1 A = I matrice identità
La matrice quadrata Am x m si dice singolare se il suo determinante è nullo. Esiste la matrice inversa della matrice quadrata Am x m se e solo se A non è singolare. In tale caso, la matrice inversa A-1 di A è unica L’inversa A-1m x m della matrice Am x m è la matrice quadrata tale che: A A-1 = A-1 A = I matrice identità

23 Determinazione della matrice inversa A-1
ESEMPIO: Data la matrice 1) Si calcola la trasposta A* 2) Si sostituiscono i complementi algebrici con il loro segno 3) Si divide ciascun complemento algebrico per detA