Richiami di Algebra Matriciale

Presentazione sul tema: "Richiami di Algebra Matriciale"— Transcript della presentazione:

1 Richiami di Algebra Matriciale
Statistica per l’economia e l’impresa Richiami di Algebra Matriciale

2 RICHIAMI ELEMENTARI DI ALGEBRA MATRICIALE
MATRICE → INSIEME ORDINATO DI NUMERI DISPOSTI IN RIGHE E COLONNE ELEMENTO GENERICO i = 1, 2, …, M (righe); j = 1,2, …, N (colonne). MATRICE RETTANGOLARE DI DIMENSIONE M*N SCALARE VETTORE COLONNA VETTORE RIGA

3 SE M=N È UNA MATRICE QUADRATA:
LA TRACCIA DI UNA MATRICE QUADRATA È DATA DALLA SOMMA DEGLI ELEMENTI DIAGONALI. LA MATRICE DIAGONALE È UNA MATRICE QUADRATA FORMATA DA TUTTI ZERI AD ECCEZIONE DEI VALORI SULLA DIAGONALE PRINCIPALE:

4 LA MATRICE IDENTITÀ È UNA MATRICE DIAGONALE CON ELEMENTI DIAGONALI UNITARI:
OPERAZIONI CON LE MATRICI UGUAGLIANZA SE SOMMA È DEFINITA SE A, B SONO DELLO STESSO ORDINE E =

5 = ESEMPIO PRODOTTO SCALARE SE K È UNO SCALARE, ALLORA =

6 PRODOTTO TRA MATRICI CON ELEMENTO ESEMPIO: ESEMPIO NUMERICO:
ATTENZIONE (3*2) (2*2) (3*2) (2*3) (3*2) (2*2)

7 TRASPOSIZIONE LA TRASPOSTA DELLA MATRICE È ESEMPIO TEOREMI (AB)’=B’A’

8 MATRICE SIMMETRICA SE È UNA MATRICE QUADRATA ED ALLORA È UNA MATRICE SIMMETRICA. FORME QUADRATICHE SE È UNA MATRICE QUADRATA DI ORDINE M*M, È UN VETTORE DI ORDINE M*1, IL PRODOTTO PRENDE IL NOME DI FORMA QUADRATICA. ESEMPIO:

9 Se per ogni X diverso da 0 → È DEFINITA POSITIVA → È SEMIDEFINITA POSITIVA Scambiando il segno delle disuguaglianze si ottiene A DEFINITA NEGATIVA e A SEMIDEFINITA NEGATIVA DETERMINANTE AD OGNI MATRICE QUADRATA SI ASSOCIA UNO SCALARE DETTO DETERMINANTE, INDICATO GENERICAMENTE SE LA MATRICE È SINGOLARE SE LA MATRICE È NON SINGOLARE CALCOLO DEL DETERMINANTE IN UNA MATRICE QUADRATA SI DEFINISCE MINORE IL DETERMINANTE DELLA MATRICE DA CUI È STATA TOLTA LA i-esima RIGA E LA j-esima COLONNA. SE SI MOLTIPLICA PER SI DEFINISCE IL COFATTORE

10 IL DETERMINANTE DI SI OTTIENE COME SEGUE:
SE È 2*2, CIOÈ: SE LA MATRICE È 3*3, CIOÈ: MA

11 TEOREMI SE DUE RIGHE/COLONNE DI SONO UGUALI ALLORA ; SE SI SCAMBIANO DUE RIGHE/COLONNE IN CAMBIA IL SEGNO DEL ; SE OGNI ELEMENTO IN UNA RIGA/COLONNA DI È MOLTIPLICATO PER UNO SCALARE, È ANCH’ESSO MOLTIPLICATO PER TALE SCALARE; SE OGNI ELEMENTO DI È MOLTIPLICATO PER UNO SCALARE, È MOLTIPLICATO PER TALE SCALARE ELEVATO ALL’ORDINE DI ;

12 ' INVERSIONE DI UNA MATRICE
L’INVERSA DI UNA MATRICE QUADRATA È UNA MATRICE CHE PRE O POST MOLTIPLICATA PER PRODUCE LA MATRICE IDENTITÀ, CIOÈ: IN ALTRI TERMINI, È L’INVERSA DI SE E SOLO SE: E CONDIZIONE NECESSARIA E SUFFICIENTE PERCHÈ POSSEGGA L’INVERSA È CHE ,CIOÈ SE È NON SINGOLARE. PER OTTENERE BISOGNA DEFINIRE LA MATRICE AGGIUNTA DI (INDICATA CON ) CHE È LA TRASPOSTA DELLA MATRICE DEI COFATTORI, CIOÈ: '

13 L’INVERSA DI SI OTTIENE DA:
ESEMPIO: QUINDI: '

14 ESEMPIO NUMERICO DERIVAZIONE IN FORMA MATRICIALE SE È UNO SCALARE ED È UN VETTORE COLONNA LA DERIVATA PRIMA DI y RISPETTO AD OGNI ELEMENTO DI È DEFINITA DA:

15 VALGONO POI LE SEGUENTI REGOLE DI DERIVAZIONE
-SE È UN VETTORE COLONNA DI M COMPONENTI COSTANTI -SE È UNA MATRICE SIMMETRICA DI ORDINE M*M CON ELEMENTO TIPICO COSTANTE

16 - SE E SONO MATRICI SIMMETRICHE DI ORDINE M
- SE E SONO MATRICI SIMMETRICHE DI ORDINE M*M CON ELEMENTI GENERICI COSTANTI

17 Prodotto di Kronecker Sia A una matrice Rettangolare di ordine m x n e sia B una matrice di ordine QUALSIASI p x q. Il prodotto di Kronecker di è dato dalla matrice di ordine m p x n q