La circonferenza Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

Presentazione sul tema: "La circonferenza Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S."— Transcript della presentazione:

1 La circonferenza Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

2 LA CIRCONFERENZA NEL PIANO CARTESIANO
La circonferenza è il luogo dei punti del piano che hanno la stessa distanza da un punto fisso chiamato centro. Tale distanza si chiama raggio. Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

3 LA CIRCONFERENZA NEL PIANO CARTESIANO
L’equazione di una circonferenza con centro e raggio r è: Equazione in funzione del centro e del raggio. oppure, svolgendo i calcoli Equazione generale della circonferenza. Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

4 LA CIRCONFERENZA NEL PIANO CARTESIANO
ESEMPIO Scriviamo l’equazione della circonferenza che ha centro in C (2, -3) e raggio 4. Scriviamo l’equazione in funzione del centro di coordinate (p, q) e del raggio r Poiché nel nostro caso p = 2 ; q = -3 e r = 4, otteniamo Da cui, svolgendo i calcoli Si riesce a segnare il centro nella figura? Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

5 LA CIRCONFERENZA NEL PIANO CARTESIANO
Viceversa: un'equazione di secondo grado in x e y della forma Rappresenta una circonferenza se e solo se In queste ipotesi, il centro della circonferenza ed il raggio sono dati dalle relazioni Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

6 LA CIRCONFERENZA NEL PIANO CARTESIANO
ESEMPI L’equazione non rappresenta una circonferenza perché L’equazione è una circonferenza di centro e raggio Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

7 LA CIRCONFERENZA NEL PIANO CARTESIANO
ESEMPIO L’equazione rappresenta una circonferenza? Scriviamola nella forma ottenuta dividendo entrambi i membri per 4. Tale equazione rappresenta una circonferenza, perché Essa ha centro in e raggio r = 2 Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

8 LA CIRCONFERENZA NEL PIANO CARTESIANO
Le caratteristiche L’equazione di una circonferenza data nella forma è di secondo grado in x e y contiene sempre i termini x2 e y2 con coefficiente uguale a 1 non esiste il termine xy i coefficienti a e b dei termini di primo grado servono ad individuare la posizione del centro sono le seguenti: Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

9 LA CIRCONFERENZA NEL PIANO CARTESIANO
I casi particolari Al variare dei valori assunti dai parametri a, b, c dell’equazione abbiamo situazioni diverse: se a = 0, l’ascissa del centro vale 0 e quindi il centro della circonferenza appartiene all’asse delle ordinate se b = 0, l’ordinata del centro vale 0 e quindi il centro della circonferenza appartiene all’asse delle ascisse se c = 0, la circonferenza passa per l’origine Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

10 LA CIRCONFERENZA NEL PIANO CARTESIANO
se a = 0 ∧ c = 0, la circonferenza ha il centro sull’asse y e passa per l’origine degli assi, in questo caso il raggio è l’ordinata del centro Se b = 0 ∧ c = 0, la circonferenza ha il centro sull’asse x e passa per l’origine degli assi, in questo caso il raggio è l’ascissa del centro Se a = 0 ∧ b = 0, ritroviamo l’equazione della circonferenza che ha origine nel centro degli assi Se poi anche c = 0, l’equazione assume la forma x2 + y2 = 0 che rappresenta una circonferenza con centro nell’origine e raggio nullo; in questo caso la circonferenza si riduce ad un punto, il suo centro. Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

11 LA CIRCONFERENZA NEL PIANO CARTESIANO
è una circonferenza che ha centro sull’asse delle ascisse perché manca il termine in y ESEMPI È una circonferenza che ha centro nell’origine perché mancano i termini di primo grado. C È una circonferenza che ha centro sull’asse delle ordinate perché manca il termine in x e passa per l’origine perché manca il termine noto. C Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

12 COME DETERMINARE L’EQUAZIONE DI UNA CIRCONFEREZA
Per trovare l’equazione di una circonferenza sono necessarie e sufficienti tre informazioni indipendenti; in particolare: Se si conoscono le coordinate (p, q) del centro e la misura r del raggio, la sua equazione è Se si conoscono le coordinate di tre punti, basta sostituire tali coordinate nell’equazione generale della circonferenza e risolvere il sistema ottenuto. Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

13 COME DETERMINARE L’EQUAZIONE DI UNA CIRCONFEREZA
ESEMPIO Determiniamo l’equazione della circonferenza di centro C (1, 2) passante per A (0, 4) Possiamo risolvere il problema in due modi: 1° METODO (Geometrico) Calcoliamo il raggio della circonferenza corrispondente al segmento CA: A C L’equazione della circonferenza è allora: Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

14 COME DETERMINARE L’EQUAZIONE DI UNA CIRCONFEREZA
2° METODO (Algebrico) Scriviamo il sistema: L’ascissa del centro vale 1 L’ordinata del centro vale 2 La circonferenza passa per A Il sistema risolto dà: L’equazione è dunque Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

15 COME DETERMINARE L’EQUAZIONE DI UNA CIRCONFEREZA
ESEMPIO Scriviamo l’equazione della circonferenza che passa per i punti: A (-4, 0), B (-1, -1), C (0, 2) Per tre punti non allineati passa una sola circonferenza. Possiamo verificare il non allineamento dei punti mediante la rappresentazione dei punti nel piano cartesiano. A C B Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

16 COME DETERMINARE L’EQUAZIONE DI UNA CIRCONFEREZA
Scriviamo il sistema sfruttando la condizione di appartenenza di un punto a una circonferenza: Passaggio per A Passaggio per B Passaggio per C Risolvendo il sistema abbiamo: A C B La circonferenza ha dunque equazione Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.

17 POSIZIONI RECIPROCHE DI UNA CIRCONFERENZA E UNA RETTA
Una retta rispetto ad una circonferenza si dice: secante se le due curve hanno due punti di intersezione distinti; tangente se le due curve hanno un solo punto in comune; esterna se le due curve non si intersecano. Esercitazioni Dott.ssa Badiglio S.