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Sistemi Elementari Prof. Laura Giarré

2 Rappresentazioni di una funzione di trasferimento
Una funzione di trasferimento espressa in forma polinomiale può essere riscritta in forma fattorizzata come I termini del secondo ordine rappresentano le coppie di zeri/poli complessi coniugati e sono caratterizzati dai parametri pulsazioni naturali coefficienti di smorzamento costante di trasferimento CA Prof. Laura Giarré

3 Rappresentazioni di una funzione di trasferimento
Parametrizzazione ‘polare’ di poli/zeri con Valgono pertanto le seguenti relazioni CA Prof. Laura Giarré

4 Rappresentazioni di una funzione di trasferimento
Una forma fattorizzata (forma di Bode) alternativa è quella che mette in evidenza le ‘costanti di tempo’ dove sono le costanti di tempo associate agli zeri e ai poli guadagno CA Prof. Laura Giarré

5 Sistemi elementari Come evidenziato discutendo l’antitrasformazione di una generica funzione risposta forzata di un sistema dinamico con fdt arbitrariamente complessa può essere ottenuta sommando le risposte di sistemi elementari del primo e secondo ordine. Ha quindi senso analizzare l’andamento temporale di sistemi elementari a fronte di ingressi tipici (gradino) e identificare la relazione esistente tra i parametri della fdt e l’andamento temporale della risposta. Sistemi del primo ordine Sistemi del secondo ordine Effetto degli zeri Luoghi a sovraelongazione e tempo di assestamento costante CA Prof. Laura Giarré

6 Sistemi elementari Risposta a gradino: U(s) Y(s)
Viene usato come segnale d’ingresso u(t) un gradino unitario Se il gradino non fosse unitario ma di ampiezza K, la risposta sarebbe la stessa moltiplicata per K (linearità): t 1 u(t) U(s) Y(s) CA Prof. Laura Giarré

7 Sistemi elementari – Primo ordine
Un sistema elementare del primo ordine è caratterizzato da una funzione di trasferimento che, a meno di un fattore costante, si può porre nella forma in cui la costante di tempo  costituisce il parametro che caratterizza il comportamento dinamico. La risposta al gradino unitario è data da 1 2 3 4 5 6 0.2 0.4 0.6 0.8 Tempo (t/tau) y(t) CA Prof. Laura Giarré

8 Sistemi elementari – Primo ordine
Sistema elementare del primo ordine Per la risposta a gradino, si ha: Cioè il valore iniziale è nullo e la pendenza (tangente) vale 1/: per t =  la tangente assume il valore di regime 1 2 3 4 5 6 0.2 0.4 0.6 0.8 Tempo (t/tau) y(t) CA Prof. Laura Giarré

9 Sistemi elementari – Primo ordine
Risposta di un sistema del primo ordine 2 4 6 8 10 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Tempo (t/tau) y(t) 0.95 0.865 0.63  2 3 per t =  la risposta assume un valore pari al 63,2 % del valore finale di regime, per t = 2  il valore è pari all'86,5% del valore di regime, per t = 3 si raggiunge il 95,0% del valore di regime. CA Prof. Laura Giarré

10 Sistemi elementari – Primo ordine
Tempo di assestamento tempo occorrente perché l'uscita rimanga entro il 5% del valore finale. 2 4 6 8 10 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Tempo (t/tau) y(t) 0.95 Per t = 5  si raggiunge il 99,3% del valore di regime. Per t = 7 si raggiunge il 99,91 % del valore di regime, cioè l'assestamento residuo rimane inferiore all'un per mille. CA Prof. Laura Giarré

11 Sistemi elementari – Primo ordine
Al variare di  varia la velocità di risposta del sistema Se  Ta polo del sistema in 1 j  0.9 0.8 x x x x x x 0.7  t = 1 -1 -1/10 t = 10 0.6 [1, 10] Î 0.5 t y(t) Poli più a “sinistra” ( piccoli) corrispondono a risposte “più veloci”. 0.4 0.3 0.2 0.1 5 10 15 20 Tempo (sec) CA Prof. Laura Giarré

12 Sistemi elementari – Primo ordine con zero
Se oltre al polo vi è anche uno zero (sistema proprio) La risposta a gradino è data da Essendo  = T/ il rapporto tra le costanti di tempo dello zero e del polo (p =  z) 1 2 3 4 5 6 -1 -0.5 0.5 1.5 Tempo (t/ t )  = 1.5  = 0.5 j   = -1 o x o   < 1  > 1 Valore iniziale =  Pendenza iniziale = (1-)/  = 1 CA Prof. Laura Giarré

13 Sistemi elementari – Secondo ordine
Per le specifiche riguardanti la risposta al gradino (segnale tipico più frequentemente impiegato) si fa riferimento ad un andamento della risposta analogo a quello di un sistema del secondo ordine con poli complessi, cioè di tipo oscillatorio smorzato. CA Prof. Laura Giarré

14 Sistemi elementari – Secondo ordine
I parametri più importanti, sui quali si può basare una misura della qualità del transitorio di un sistema del secondo ordine sono: Massima sovraelongazione (o massimo sorpasso) S: differenza fra il valore massimo raggiunto dall'uscita e il valore finale; normalmente si esprime in % del valore finale. Tempo di ritardo Tr: tempo per raggiungere il 50% del valore finale. Tempo di salita Ts: tempo occorrente perchè l'uscita passi dal 10 al 90% del valore finale. Tempo di assestamento Ta: tempo occorrente perché l'uscita rimanga entro il ± 5% del valore finale. Istante di massima sovraelongazione Tm: istante al quale si presenta la massima sovraelongazione. S Tm Ta Ts Tr CA Prof. Laura Giarré

15 Sistemi elementari – Secondo ordine
Per il tipico sistema del secondo ordine, la cui funzione di trasferimento, a meno di un fattore costante, si può porre nella forma I parametri definiti in precedenza dipendono dalla posizione dei poli nel piano complesso, legata a sua volta ai valori: del coefficiente di smorzamento  della pulsazione naturale n.  = 0.1  = 2 CA Prof. Laura Giarré

16 Sistemi elementari – Secondo ordine
La risposta al gradino unitario è data dalla relazione dove: CA Prof. Laura Giarré

17 Sistemi elementari – Secondo ordine
Posizione dei poli della f.d.t. al variare di  = cos() Re(s) Im(s) p1 p2 n  Re(s) Im(s) P1 = P2 n x Re(s) Im(s) P1 x P2 Re(s) Im(s) p1 p2 n Poli instabili! CA Prof. Laura Giarré

18 Sistemi elementari – Secondo ordine
Caratteristiche della risposta  poli della f.d.t. 5 10 15 20 25 0.5 1 1.5 Risposte al gradino Re(s) Im(s) p1 p2 <1 -n n >1 n =1 n transitorio veloce lento instabile CA Prof. Laura Giarré

19 Sistemi elementari – Secondo ordine
Può interessare la relazione esatta fra il valore del coefficiente di smorzamento e quello della massima sovraelongazione. Per ricavarla, si deriva rispetto al tempo la Si ottiene Ponendo la derivata uguale a zero, si ha da cui CA Prof. Laura Giarré

20 Sistemi elementari – Secondo ordine
Si ricavano infine i valori dell'uscita in corrispondenza dei vari massimi e minimi 5 10 15 20 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 y(t) CA Prof. Laura Giarré

21 Sistemi elementari – Secondo ordine
Anche il valore della massima sovraelongazione S in % si ricava facilmente: In un sistema del secondo ordine la massima sovraelongazione è funzione unicamente del coefficiente di smorzamento ed è uguale al 100 % quando tale coefficiente è nullo. 0.2 0.4 0.6 0.8 1 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 d S % CA Prof. Laura Giarré

22 Sistemi elementari – Secondo ordine
Controlli Automatici LA - A.A. 2003/2004 SistElem Sistemi elementari – Secondo ordine Il coefficiente di smorzamento  dipende dalla posizione dei poli complessi coniugati. Se il valore della massima sovraelongazione non deve superare un certo massimo assegnato, i poli del sistema devono essere compresi in settore delimitato dalle rette b e b’. CA Prof. Laura Giarré Claudio Melchiorri

23 Sistemi elementari – Secondo ordine
Spesso si specifica anche il valore massimo del tempo di assestamento Ta. Un limite superiore per Ta si può ricavare da da cui Perché il tempo di assestamento sia non superiore al valore assegnato dovrà essere Il prodotto  n è uguale in modulo, con segno opposto, alla parte reale  dei poli del sistema: questo vincolo equivale a limitare la posizione dei poli a sinistra di una retta verticale. CA Prof. Laura Giarré

24 Sistemi elementari – Secondo ordine
Al variare di n si hanno andamenti (risposta al gradino) di questo tipo: NB: il coefficiente di smorzamento è costante ( = 0.5) e quindi il sorpasso percentuale non cambia. CA Prof. Laura Giarré

25 Sistemi elementari – Secondo ordine
Se i poli complessi coniugati variano come in figura: CA Prof. Laura Giarré

26 Sistemi elementari – Secondo ordine
Se infine si considerano poli come in figura: CA Prof. Laura Giarré

27 Sistemi elementari – Secondo ordine
Sistemi del secondo ordine con  >1 Poli reali: Coincidenti per  = 1 Distinti per  > 1 Im(s) x x x P1 P2 Re(s) - n CA Prof. Laura Giarré

28 Sistemi elementari – Secondo ordine
L'equazione fornisce la risposta per 0 <  < 1 (il sistema presenta poli complessi coniugati). Per  = 1 (poli reali coincidenti) si ha: e quindi (dalle tabelle) la risposta al gradino è data dalla relazione Per  = 1 non si ha alcuna sovraelongazione: y(t) tende asintoticamente al valore finale senza mai superarlo. 5 10 15 20 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Tempo (w n * t) y(t) CA Prof. Laura Giarré

29 Sistemi elementari – Secondo ordine
Per  > 1 (poli reali distinti) si ha e quindi (dalle tabelle) la risposta al gradino è data dalla funzione con 5 10 15 20 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Tempo (w n * t) y(t) CA Prof. Laura Giarré

30 Sistemi elementari – Secondo ordine
Per  > 1 (poli reali distinti) la risposta in funzione delle costanti di tempo e risulta ovvero In molti casi di interesse pratico i due poli hanno costanti di tempo molto diverse o Il termine associato al polo con costante di tempo maggiore è caratterizzato da un residuo molto più grande e da un esponenziale molto più lento che tende ad estinguersi La risposta del sistema tende a quella di un sistema del primo ordine governato dal polo dominante CA Prof. Laura Giarré

31 Sistemi elementari – Secondo ordine con zero
Sia data la funzione Si può scrivere: Da cui CA Prof. Laura Giarré

32 Sistemi elementari – Secondo ordine con zero
Impulse Response 3 T = 1 2.5 T = 0.2 2 1.5 Amplitude 1 0.5 T = 0 T = - 0.5 -0.5 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Time (sec) CA Prof. Laura Giarré

33 Sistemi elementari – Secondo ordine con zero
Nel caso di un sistema con 2 poli reali + zero reale da cui antitrasformando si ottiene Proprietà della risposta per L’analisi della risposta temporale, e in particolare il valore dei residui associati ai poli, dipende fortemente dalla posizione dello zero. CA Prof. Laura Giarré

34 Sistemi elementari – Secondo ordine con zero
Caso sistemi a fase non minima: Essendo Si ha che la risposta parte con una sottoelongazione CA Prof. Laura Giarré

35 Sistemi elementari – Secondo ordine con zero
Caso sistemi a fase minima: Termine >0 che tende a zero ‘lentamente’ Termine <0 che tende a zero ‘velocemente’ Inoltre: Derivata nel caso non ci sia lo zero CA Prof. Laura Giarré

36 Sistemi elementari – Secondo ordine con zero
Caso sistemi a fase minima: La risposta presenta una sovraelongazione tanto più marcata quanto più lo zero tende verso l’origine Risposta non oscillatoria Risposta molto più “brusca” dell’equivalente sistema privo di zero CA Prof. Laura Giarré

37 Sistemi elementari – Secondo ordine con zero
Caso sistemi a fase minima con quasi cancellazione: Termine <0 che tende a zero ‘velocemente’ Il residuo associato è molto piccolo e >0 se <0 se Inoltre l’esponenziale tende a zero ‘lentamente’ L’esponenziale “lento” genera un contributo piccolo che non è evidente nei primi istanti del transitorio (in quanto “sovrastato” dal contributo dell’esponenziale “veloce”) ma che appare asintoticamente. CA Prof. Laura Giarré

38 Sistemi elementari – Secondo ordine con zero
Controlli Automatici LA - A.A. 2003/2004 SistElem Sistemi elementari – Secondo ordine con zero Caso sistemi a fase minima con quasi cancellazione: L’andamento di è inizialmente analogo a quello di un sistema del primo ordine (governato dal polo “veloce” con costante di tempo t2 ) . Al passare del tempo emerge un contributo “subdolo” che si esaurisce lentamente con una velocità che dipende dalla costante di tempo associata allo zero ) Tipica risposta con due dinamiche temporali. Coda di assestamento dovuta alla quasi cancellazione polo/zero. CA Prof. Laura Giarré Claudio Melchiorri

39 Sistemi di ordine superiore al secondo
Nel caso di un sistema con due poli reali e uno zero, si è visto che se la costante di tempo dello zero è simile a quella di uno dei due poli, la risposta è assimilabile a quella di un sistema del primo ordine (ottenuto eliminando le due singolarità prossime tra loro) Nel caso di sistemi di ordine superiore è possibile ottenere un modello approssimato di ordine ridotto (con una risposta al gradino simile al sistema di partenza) cancellando coppie di poli/zeri vicini tra loro nel piano complesso e con parte reale negativa. CA Prof. Laura Giarré

40 Sistemi di ordine superiore al secondo
Una volta cancellati coppie di poli e zeri prossimi tra loro vengono chiamati poli dominanti i poli, reali o complessi, nettamente più vicini rispetto agli altri poli La risposta al gradino di un sistema con poli dominanti può essere approssimata con quella di un sistema la cui funzione di trasferimento possiede soltanto questi poli e un guadagno pari a quello del sistema di partenza. j  x x x  x x CA Prof. Laura Giarré

41 Sistemi di ordine superiore al secondo
Risposta al gradino della funzione e della sua approssimante CA Prof. Laura Giarré

42 Sistemi di ordine superiore al secondo
Risposta al gradino della funzione e della sua approssimante CA Prof. Laura Giarré

43 Sistemi di ordine superiore al secondo
Risposta al gradino della funzione e della sua approssimante CA Prof. Laura Giarré

44 Sistemi di ordine superiore al secondo
Esercizio: determinare i poli dominanti e il guadagno statico del sistema la cui risposta al gradino unitario è riportata in figura CA Prof. Laura Giarré

45 Sistemi di ordine superiore al secondo
Esercizio: determinare i poli dominanti (sapendo che sono 3 con la stessa parte reale) e il guadagno statico del sistema la cui risposta al gradino unitario è riportata in figura CA Prof. Laura Giarré

46 Visualizzazione della risposta con MATLAB
Dopo aver definito una funzione di trasferimento è possibile ottenere il plot della risposta al gradino con il comando MATLAB fornisce anche la risposta all’impulso con il comando >> s = tf(‘s’) >> G = 12*(s+20)/((s+0.1)*(s^2 + 10*s + 425)) Transfer function: 12 s + 240 s^ s^ s >> step(G) >> impulse(G) CA Prof. Laura Giarré