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Geometria Analitica: L’Ellisse e l’Iperbole
LEZIONE DI MATEMATICA DI EMANUELE PAONE
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Introduzione Concludiamo il nostro viaggio alla scoperta delle coniche con lo studio dell’ellisse e l’iperbole. Consideriamo il nostro cono infinitamente grande, al variare dell’inclinazione del piano rispetto al cono si ottiene un’ellisse se l’angolo a formato dal piano secante con l’asse del cono è maggiore della semiapertura ϑ mentre si ottiene un’iperbole se l’angolo a formato dal piano secante con l’asse del cono è minore della semiapertura ϑ. L’Ellisse L’Iperbole
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Ellisse come luogo geometrico
L’ellisse è il luogo geometrico dei punti del piano per i quali è costante la somma delle distanza da due punti fissi detti fuochi Per poter comprendere al meglio la definizione di ellisse facciamo questo esempio: immaginiamo un giardiniere che vuole costruire un aiuola a forma di ellisse, per poterlo fare si inseriscono due pioli in corrispondenza dei fuochi e ad essi si lega una corda, con un punteruolo si tende la corda e lo si fa scorrere sul terreno, la figura tracciata è proprio un’ ellisse infatti facendo scorrere il punteruolo si nota che la somma delle distanze dai fuochi è costante. Questa costruzione è detta ‘’costruzione del giardiniere’’, per poter vedere la gif a destra mettersi in modalità presentazione
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Ellisse e la sua equazione
Trasferiamoci ora nel piano cartesiano, consideriamo una generica ellisse e indichiamo con 𝐹 1 𝑒 𝐹 2 i fuochi, con 𝐴 1, 𝐴 2 , 𝐵 1 𝑒 𝐵 2 le intersezioni dell’ellisse con gli assi cartesiani e con P un punto dell’ellisse. Ora si può notare che se il punto P lo spostiamo in modo da sovrapporlo ad A2 , la somma delle distanze è uguale all’asse maggiore e quindi misura 2𝑎; quindi possiamo scrivere 𝑃 𝐹 1 + 𝑃𝐹 2 =2𝑎
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Sostituiamo PF1 e PF2 con le relative formule: 𝑥+𝑐 2 + 𝑦 2 + 𝑥−𝑐 2 + 𝑦 2 =2𝑎 Trasportiamo una radice al secondo membro ,eleviamo al quadrato primo e secondo membro e svolgiamo i calcoli: 𝑥+𝑐 2 + 𝑦 2 2 = 2𝑎− 𝑥−𝑐 2 + 𝑦 2 2 𝑥+𝑐 2 + 𝑦 2 =4 𝑎 2 + 𝑥−𝑐 2 + 𝑦 2 −4𝑎 𝑥−𝑐 2 + 𝑦 2 𝑥 2 + 𝑐 2 +2𝑥𝑐=4 𝑎 2 + 𝑥 2 + 𝑐 2 −2𝑥𝑐−4𝑎 𝑥−𝑐 2 + 𝑦 2 Portiamo la radice al primo membro e il resto al secondo: 4𝑎 𝑥−𝑐 2 + 𝑦 2 =4 𝑎 2 −4𝑥𝑐 Dividiamo per 4: 𝑎 𝑥−𝑐 2 + 𝑦 2 = 𝑎 2 −𝑥𝑐 Eleviamo al quadrato primo e secondo membro e svolgiamo i calcoli: 𝑎 2 ∙ 𝑥−𝑐 2 + 𝑦 2 = 𝑎 4 + 𝑥 2 𝑐 2 −2 𝑎 2 𝑥𝑐 𝑎 2 ∙ 𝑥 2 + 𝑐 2 −2𝑥𝑐+ 𝑦 2 = 𝑎 4 + 𝑥 2 𝑐 2 −2 𝑎 2 𝑥𝑐 𝑎 2 𝑥 2 + 𝑎 2 𝑐 2 −2 𝑎 2 𝑥𝑐+ 𝑎 2 𝑦 2 = 𝑎 4 + 𝑥 2 𝑐 2 −2 𝑎 2 𝑥𝑐
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Equazione in forma normale o canonica di un’ellisse
Facciamo il raccoglimento al primo e secondo membro: 𝑎 2 − 𝑐 2 𝑥 2 + 𝑎 2 𝑦 2 = 𝑎 2 ∙( 𝑎 2 − 𝑐 2 ) Ora se il punto P lo spostiamo in corrispondenza di B1 le distanze dai fuochi saranno uguali quindi misureranno 𝑎 . Consideriamo il triangolo POF2, per il teorema di Pitagora avremo: 𝑎 2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 Facendo la formula inversa troveremo che 𝑎 2 − 𝑐 2 = 𝑏 2 , andiamolo a sostituire, otteniamo: 𝑏 2 𝑥 2 + 𝑎 2 𝑦 2 = 𝑎 2 𝑏 2 Dividiamo per 𝑎 2 𝑏 2 : 𝑥 2 𝑎 2 + 𝑦 2 𝑏 2 =1 L’equazione deve aver sempre tutti i segni + altrimenti non è un ellisse, inoltre, se a>b l’ellisse avrà i fuochi sull’asse x mentre se a<b avrà i fuochi sull’asse y Equazione in forma normale o canonica di un’ellisse
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Le coordinate dei fuochi saranno: 𝐹 1 − 𝑎 2 − 𝑏 2 ;0 𝑒 𝐹 2 𝑎 2 − 𝑏 2 ;0 𝑠𝑒 𝑠𝑡𝑎𝑛𝑛𝑜 𝑠𝑢𝑙 𝑙 ′ 𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑥 𝑚𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝐹 1 0;− 𝑏 2 − 𝑎 2 𝑒 𝐹 2 0; 𝑏 2 − 𝑎 2 𝑠𝑒 𝑠𝑡𝑎𝑛𝑛𝑜 𝑠𝑢𝑙 𝑙 ′ 𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑦 In un’ ellisse il rapporto fra la distanza focale e la lunghezza dell’asse maggiore è detto eccentricità e indica lo schiacciamento dell’ellisse, esso si indica con la lettere 𝑒: 𝑒= 𝑐 𝑎 = 𝑎 2 − 𝑏 2 𝑎 𝑠𝑒 𝑖 𝑓𝑢𝑜𝑐ℎ𝑖 𝑠𝑜𝑛𝑜 𝑠𝑢𝑙 𝑙 ′ 𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑥 𝑒= 𝑐 𝑏 = 𝑏 2 − 𝑎 2 𝑏 𝑠𝑒 𝑖 𝑓𝑢𝑜𝑐ℎ𝑖 𝑠𝑜𝑛𝑜 𝑠𝑢𝑙 𝑙 ′ 𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑦 L’eccentricità assume sempre un valore compreso tra 0 e 1: 0<𝑒<1 Se 𝑒=0 l’ellisse diventa una circonferenza mentre se è uguale a 1 l’ellisse degenera in un segmento.
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Posizione di una retta rispetto ad un ellisse
Una retta e un’ellisse, come per la parabola e la circonferenza, possono essere secanti in due punti, tangenti in un punto oppure non intersecarsi in nessun punto. Consideriamo una retta 𝑦=𝑚𝑥+𝑞 e un ellisse di equazione 𝑥 2 𝑎 2 + 𝑦 2 𝑏 2 =1; mettiamoli a sistema e otteniamo l’equazione risolvente, In base al ∆ potremo stabilire la posizione: se è > 0 la retta interseca l’ ellisse in due punti, se è =0 è tangente , se è <0 non interseca.
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Rette tangenti ad un ellisse
Dato un punto 𝑃( 𝑥 𝑝 ; 𝑦 𝑝 )vogliamo condurre le tangenti all’ellisse, per poterlo fare ci serviamo del solito metodo studiato, ovvero: Scriviamo il fascio di rette passanti per P:𝑦− 𝑦 𝑝 =𝑚 𝑥− 𝑥 𝑝 Mettiamolo a sistema con l’ellisse, svolgiamo i calcoli ed otteniamo l’equazione risolvente con il parametro m, poniamo il ∆=0 e troveremo i valori di m da sostituire nel fascio. Se P è esterno otterremo due valori e le rette tangenti saranno due mentre se appartiene alla circonferenza un solo valore e una sola retta. CURIOSITA’: Se sappiamo che il punto P( 𝑥 𝑝 ; 𝑦 𝑝 ) è un punto appartenente all’ellisse , si può determinare l’equazione della retta tangente con una formula detta Formula di Sdoppiamento: 𝑥∙ 𝑥 𝑝 𝑎 2 + 𝑦∙ 𝑦 𝑝 𝑏 2 =1
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Determinare l’equazione di un ellisse
Nell’equazione di un ellisse 𝑥 2 𝑎 𝑦 2 𝑏 2 =1 come si può vedere sono presenti solo due coefficienti a e b, quindi per poter determinare l’equazione ci bastano solo due informazioni. Vediamo alcuni casi: NOTI DUE PUNTI: Se sono noti due punti il caso è molto facile, basta sostituire i punti all’equazione, mettere a sistema e si trovano i valori di a e b. NOTI IL FUOCO E L’ECCENTRICITA’: E dato un fuoco in (-3;0) e l’ eccentricità vale 3√10 10 , sappiamo subito che 𝑐=3 e l’eccentricità è uguale a 𝑐 𝑏 = 3√ Mettendo a sistema troveremo il valore di b che sarà 1, poi utilizzando la formula 𝑎 2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 troveremo che a =10.
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Iperbole come luogo geometrico
L’Iperbole è il luogo geometrico dei punti del piano per i quali la differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi è costante. L’iperbole non è una curva chiusa ed è costituita da due rami distinti
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Iperbole e la sua equazione
Trasferiamoci nel piano cartesiano e indichiamo con: F1 e F2 i fuochi dell’iperbole, A1 e A2 le intersezioni della parabola con l’asse x, inoltre tale segmento è chiamato asse trasverso, con B1 e B2 i vertici non reali che costituiscono l’asse non trasverso e con P un punto generico dell’iperbole. Per definizione scriviamo: 𝑃 𝐹 1 +𝑃 𝐹 2 =2𝑎
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Se a e b sono uguali l’iperbole si dice equilatera
Sostituiamo PF1 e PF2 con le relative formule: 𝑥+𝑐 2 + 𝑦 2 − 𝑥−𝑐 2 + 𝑦 2 =2𝑎 Arrivato a questo punto i calcoli sono analoghi a quelli dell’ellisse, ad un certo punto otteniamo: 𝑐 2 − 𝑎 2 𝑥 2 − 𝑎 2 𝑦 2 = 𝑎 2 ( 𝑐 2 − 𝑎 2 ) Ora, da come si può osservare in figura, sappiamo che : 𝑐 2 = 𝑎 2 + 𝑏 2 facciamo la formula inversa: 𝑏 2 = 𝑐 2 − 𝑎 2 Andiamo a sostituire: 𝑏 2 𝑥 2 − 𝑎 2 𝑦 2 = 𝑎 2 𝑏 2 Dividiamo per 𝑎 2 𝑏 2 : 𝑥 2 𝑎 2 − 𝑦 2 𝑏 2 =1 Se i fuochi sono sull’asse y l’equazione sarà: 𝑥 2 𝑎 2 − 𝑦 2 𝑏 2 =−1 Equazione in forma normale o canonica di un iperbole con i fuochi sull’asse x Se a e b sono uguali l’iperbole si dice equilatera
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Dalla dimostrazione sapremo che i fuochi avranno coordinate:
𝐹 1 − 𝑎 2 + 𝑏 2 ;0 𝑒 𝐹 𝑎 2 + 𝑏 2 ;0 𝑠𝑒 𝑠𝑡𝑎𝑛𝑛𝑜 𝑠𝑢𝑙 𝑙 ′ 𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑥 𝑚𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝐹 1 0;− 𝑎 2 + 𝑏 2 𝑒 𝐹 2 0; 𝑎 2 + 𝑏 2 𝑠𝑒 𝑠𝑡𝑎𝑛𝑛𝑜 𝑠𝑢𝑙 𝑙 ′ 𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑦 In un’iperbole il rapporto fra la distanza focale e la lunghezza dell’asse trasverso è uguale all’eccentricità che si indica con e, essa è uguale: 𝑒= 𝑐 𝑎 = 𝑎 2 + 𝑏 2 𝑎 𝑠𝑒 𝑖 𝑓𝑢𝑜𝑐ℎ𝑖 𝑠𝑜𝑛𝑜 𝑠𝑢𝑙 𝑙 ′ 𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑥 𝑒= 𝑐 𝑏 = 𝑎 2 +𝑏 2 𝑏 𝑠𝑒 𝑖 𝑓𝑢𝑜𝑐ℎ𝑖 𝑠𝑜𝑛𝑜 𝑠𝑢𝑙 𝑙 ′ 𝑎𝑠𝑠𝑒 𝑦 L’eccentricità assume sempre valori maggiori di 1. Come abbiamo visto prima, l’iperbole ha due rette che non la intersecano mai, esse sono gli asintoti che hanno equazioni: 𝑦= 𝑏 𝑎 𝑥 𝑒 𝑦=− 𝑏 𝑎 𝑥 Riguardo all’iperbole ci fermiamo alla teoria perché gli esercizi sono identici a quelli dell’ellisse.
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La lezione è finita !!! Il programma del III anno è finito, ci vediamo l’anno prossimo con logaritmi, esponenziali e lo studio delle funzioni EMANUELE PAONE E se sei appassionato ricorda di visitare il sito della mia docente: blog.libero.it/ruffini Dove trovi tantissime informazioni e gli altri miei lavori. Ciao!!
