Linguaggi  naturali e linguaggi formali Sistemi formali  

Presentazione sul tema: "Linguaggi  naturali e linguaggi formali Sistemi formali  "— Transcript della presentazione:

1 Linguaggi  naturali e linguaggi formali Sistemi formali

2 I linguaggi  naturali

3 All’origine dei linguaggi naturali vi è la necessità di comunicare concetti in modo comprensibile .
Il primo passo è attribuire un significato ad una forma, sia essa  un disegno, un suono o una parola.

4 Per esempio per individuare il significato di
cane

5 posso disegnare un cane

6 ascoltare l’abbaiare di un cane

7 O il suo ansimare

8 o scrivere la parola    cane

9 Nel linguaggio naturale si distinguono quindi
forma e significato

10 forma successione di caratteri che formano le parole e successioni di parole che, unitamente a regole ( la sintassi ), diventano frasi

11 significato interpretazione che si attribuisce alla forma (la semantica)

12 Per scrivere una parola usiamo i caratteri (l’alfabeto della lingua italiana) ma li uniamo in modo univoco per non incorrere in ambiguità

13 C a n e ma anche C e n a con significato diverso o anche

14 N e c a oppure N a c e che non hanno significato

15 Senza spazi tra le parole l’ambiguità sarebbe ancora maggiore :
Leggiamo questa successione di caratteri : FUNICOLAREDINAPOLI che può essere interpretata come :

16 FUNICOLARE DI NAPOLI ma anche

17 FU NICOLA RE DI NAPOLI

18 Un uso misto di immagini e caratteri non è sicuramente adatto per una comprensione immediata di una frase

19 E’ il caso dei rebus dove immagini e caratteri messi nel modo corretto portano ad una frase di senso compiuto

20 Rebus Dif lto m

21 Che appunto spesso risulta una
difficoltosa impresa

22 Così come concateniamo le parole tra loro per comporre una frase utilizzando regole di sintassi

23 Il libro sulla televisione
E’ una frase con una sintassi corretta ma un significato ambiguo E’ un libro che parla di televisione o è un libro che è stato poggiato sulla televisione?

24 Il linguaggio naturale è spesso ambiguo

25 Per superare l’ambiguità occorre il contesto della frase :
Guarda che hai lasciato il libro sulla televisione Il libro sulla televisione che ho letto non mi è piaciuto. Ora tutto è chiaro!

26 Ridondanza Il linguaggio naturale è spesso ridondante: lunghe perifrasi per un semplice concetto: …. Mi sia consentito di esprimere in questa sede e davanti a tale consesso di professori il mio sia pur inesperto pensiero.. Traduzione “io penso”

27 Superamento Uso di una sintassi rigorosa Schematizzazione

28 Autoreferenza nel linguaggio naturale
Linguaggio che “parla”di se stesso Frasi Immagini Situazioni Funzioni e procedure (in informatica si chiama ricorsività)

29 Frasi autoreferenti Problema n.1 La proposizione
“Questa frase è falsa “ è vera o falsa?

30 Soluzione problema n.1 Se la proposizione “Questa frase è falsa “
è vera. allora afferma il vero ossia che la frase è falsa contraddizione Se la proposizione “Questa frase è falsa “ è falsa, non è vero che la frase è falsa e quindi la frase è vera

31 Problema n.2 Su di un foglio vi sono le seguenti proposizioni:
“ Alice non esiste “ “Entrambe queste proposizioni sono false “ Lo sapevi che Alice non esiste? Perché ?

32 Soluzione problema n.2 Se la 2) è vera allora la 2) è falsa
1) “Alice non esiste “ 2) “Entrambe queste proposizioni sono false “ Se la 2) è vera allora la 2) è falsa contraddizione Se la 2) è falsa allora è falso che la 1) e la 2) siano entrambe false quindi almeno una delle due è vera e non potendo essere vera la 2), essendo falsa per ipotesi, allora è vera la 1) e quindi Alice non esiste

33 Immagini autoreferenti
Mani che disegnano di M.C.Escher

34 Schematizziamo

35 Come superare l’autoreferenza?
La mano di Escher disegna

36 Mano con sfera riflettente di M.C.Escher 1935

37 Autoreferenza

38 Superamento dell'autoreferenza

39 Situazioni autoreferenti: i tre scrittori
X , Y e Z sono 3 scrittori X scrive di Y Y scrive di Z Z scrive di X

40

41 Superamento

42 Funzioni ricorsive n! n! = 1x2x3x4x….x(n-1)xn n! = (n-1)!xn
il fattoriale di un numero n è una funzione ricorsiva                

43 I numeri di Fibonacci 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , fibo(1)=1 fibo(2)=1 fibo(n) = fibo(n-1) + fibo(n-2 ) Per n >2 Funzione ricorsiva

44 I numeri di Padovan 1 1 1 2 2 3 4 5 7 ... P(1)=1 P(2)=1 P(3)=3
1  1   1  2  2   3  4  5  7  ...  P(1)=1 P(2)=1 P(3)=3 P(n) = P(n-3)+ P(n-2) Per ogni n >3 Funzione ricorsiva

45 I frattali La curva di Koch , classico esempio di oggetto frattale , dalla proprietà di essere autoreferente , proprietà che in geometria si chiama autosomiglianza ,e che si disegna utilizzando procedure ricorsive.

46 La curva di Koch è costruita partendo da un triangolo equilatero .
Si divide il lato in tre parti uguali e su ogni lato, nella parte centrale, si disegna un  nuovo triangolo equilatero di lato l/3. Si ripete il procedimento su ogni segmento Ad ogni passo il contorno diventa più frastagliato

47 Altri esempi di oggetti autoreferenti
Triangolo di Sierpinski Fiocco di neve

48 Un lato della curva di Koch

49 Esercizi Riconoscere funzioni ricorsive

50 I numeri naturali n n = (n-1) per n>1 (Banale!!!)

51 I numeri pari 2n 2n = 2(n-1) +2 Ogni numero pari è dato dal numero pari precedente +2

52 I numeri dispari n n+1 n (n-1) +1

53 I numeri dispari ricorsività
n n+1 n (n-1) +1 2n+1 = 2n =(2n-2)+1+2= =(2(n-1)+1)+2 Ogni numero dispari è dato dal numero dispari precedente +2

54 La potenza an Ogni potenza è dato dalla potenza precedente moltiplicata per a an = an-1 a

55 I numeri triangolari …. Ottenuti sommando T(1)=1 T(2)=1+2=3 T(3)=1+2+3=6 T(4)= =10 T(5)= =15 T(n) = T(n-1) + n

56 I numeri quadrati 1 4 9 16 Si ottengono sommando i numeri dispari
Si ottengono sommando i numeri dispari … Q(1)= Q(2)=1+3= Q(3)=1+3+5=9 Q(4)= =16 Q(n+1) = Q(n) +2n+1

57 Numeri triangolari e quadrati

58 I numeri tetraedrici (piramidali a base triangolare)
Ottenuti sommando i numeri triangolari P(1)=1 P(2)=1+3=4 P(3)=1+3+6=10 P(4)= = P(5)= =35 P(n) = P(n-1) +T(n)

59 I numeri tetraedrici (piramidali a base triangolare)
Ma anche P(n) = n(n+1)(n+2)/6 P(n+1) = (n+1) ( n+1+1)(n+1+2)/6=(n+1)(n+2)(n+3)/6= = n(n+1)(n+2)(n+3)/n6= P(n)(n+3)/n P(n+1)=P(n)(n+3)/n Esempio 35= 20(4+3)4=20x7/4=35

60 I numeri piramidali a base quadrata
Si ottengono sommando i numeri quadrati P(1)=1 P(2)=1+4=5 P(3)=1+4+9=14 P(4)= =30 P(n)=P(n-1) + Q(n)

61 Numeri piramidali

62 I linguaggi formali

63 Eliminando Ambiguità Ridondanza Autoreferenza proviamo a…..

64 costruire un linguaggio formale stabilendo l’alfabeto, la sintassi ossia le regole e la stringa iniziale ( l’assioma )

65 Alfabeto: A={ I , + , = } La stringa di partenza I + I = II (assioma) Le regole 1) da x + y = z posso dedurre xI + y = zI 2) da x + y = z posso dedurre y + x = z ( dove x e y sono stringhe di I)

66 Ogni stringa ottenuta dall’applicazione di una regola è una stringa ammessa (formula ben formata fbf) Ogni fbf dedotta mediante regole da altre fbf è un teorema L’insieme delle stringhe ammesse forma il linguaggio

67 Esercizio dimostrate passo passo che IIII + III = IIIIIII

68 1° regola Se x + y = z x I I +Y= Z

69 Soluzione I + I = II assioma II + I = III regola 1)
III + I = IIII regola 1) IIII + I = IIIII regola 1) I + IIII = IIIII regola 2) II + IIII = IIIIII regola 1) III + IIII = IIIIIII regola 1) IIII + III = IIIIIII regola 2)

70 Come si può vedere questo linguaggio formale fa parte di un
Sistema Formale

71 Sistemi formali

72 Un sistema formale è una quadrupla (A,L,S,P) dove :
A alfabeto ( insieme numerabile di simboli) L linguaggio ( insieme di formule ben formate fbf) S insiemi di assiomi (sottoinsieme di L) P regole di produzione (regole di inferenza che permettono di dedurre formule ben formate da formule ben formate(teoremi))

73 L’esercizio precedente non è altro che l’insieme dei numeri naturali N con l’operazione interna +

74 Alfabeto: A= { I , + , = } La stringa di partenza I + I = II (assioma) Le regole ) da x + y = z posso dedurre xI + y = zI 2) da x + y = z posso dedurre y + x = z ( dove x e y sono stringhe di I)

75 Interpretazione dei simboli
II III IIII IIIII + è l’addizione = è l’uguaglianza

76 L’assioma è la somma di 1 + 1 =2
La regola 1) : se la somma di due numeri naturali x e y è un numero naturale ( l’addizione è l’operazione interna e N è chiuso per l’addizione + ) allora la somma del successivo di x e di y è il successivo di z La regola 2) è la proprietà commutativa

77 L’esercizio proposto IIII + III = IIIIIII era quindi dimostrare che = 7

78 Il sistema pg A ={-,p,g} L : insieme dei teoremi e assiomi
S :infiniti assiomi del tipo x p – g x - P : se è un teorema allora è un teorema x p y g z x p y – g z -

79 Regola Se x p y g z allora - - x p y g z

80 Esercizio Scrivere il primo assioma Scrivere i primi 5 assiomi
Applicare la regola al 3° assioma ---p---g--- è o no un teorema ? ----p-----g è o no un teorema ?

81 Esercizion n.1 Scrivere il primo assioma x p – g x - - p - g - -

82 Esercizio n. 2 Scrivere i primi 5 assiomi x p – g x -

83 Esercizio n.3 Applicare la regola xpygz xpy-gz- al 3° assioma ---p-g---- poichè x pyg z x py-g z- ---p-g allora ---p--g----- applicando la regola

84 Esercizio n.4 ---p---g--- è o no un teorema ? Da –p-g-- assioma --p-g--- assioma ---p-g---- assioma applicando la regola x p y g z x p y - g z - si ottiene p – g p -- g----- Riapplicandola p-- g p --- g------ quindi p --- g per cui ---p --- g--- non è un teorema La risposta è no

85 Esercizio n.5 ----p-----g--------- è o no un teorema ?
----p-- g applicando la regola x p y g z x p y- g z- ----p--- g applicando la regola ----p---- g applicando la regola ----p----- g applicando la regola Quindi ----p-----g è un teorema

86 Avete decodificato il sistema pg?
quindi il sistema è (N+) ma è l’unica interpretazione?

87 2° interpretazione 1 = 1 sottratto da 2 --p - g --- 2° assioma
mentre la regola si tradurrà come: --p g allora –-p g Se 2=2 sottratto da 4 allora 2 = 3 sottratto da 5

88 quindi 1 P = -- 2 g sottratto da --- 3 ---- 4 ----- 5
anche questa interpretazione è corretta

89 Un sistema formale può avere più interpretazioni

90 Ancora un esempio Alfabeto A { I , ∙ , = } L’assioma I ∙ I = I
Le regole 1) da x ∙ y =z posso dedurre ???????????????? 2) da x ∙ y =z posso dedurre (x,y,z stringhe di I)

91 Completare le regole in modo che III ∙ II = IIIIII

92 Soluzione Regola 1) da x∙y=z posso dedurre xI ∙y = zy
y∙x=z

93 Costruiamo le stringhe
I∙I = I assioma II∙I =II regola 1) da x∙y=z si deduce xI ∙y = zy III∙I = III regola 1) I∙III =III regola 2) II∙III = IIIIII regola 1) III∙II = IIIIII regola 2) ecco quindi III∙II = IIIIII

94 Interpretazione I 1 ∙ moltiplicazione II 2 = uguaglianza III 3 IIII 4

95 quindi 1x1 = 1 2x1 = 2 3x1=3 Se axb=c (a+1)xb = axb + b = c + b
Se axb=c bxa=c

96 Alcuni alfabeti Calcolo algebrico {a,b,c,..,+,-,x,/..}
Numerazione romana {I,II,III,V,X,L,C,D,M} Calcolo degli enunciati {p,q,..,v, , …}

97 Il gioco del MU Alfabeto A={M,I,U} Assioma MI 1° regola se una stringa finisce per I a essa si può aggiungere U …..I …..IU 2° regola se Mx allora Mxx 3° regola ….III… …U… 4° regola ….UU… … x è una stringa di I e U

98 Domanda Si può costruire la stringa MU ? Proviamo a giocare

99 2 1 2 2 1 2 2 3 2 3 Anche qui dopo M si ripete la successione di IIU 2 La successione di IU dopo M si ripete all’infinito 1 In ogni caso il numero di I non è mai 3 o multiplo di 3 e quindi non può essere eliminato per diventare MU

100 Analizzando il ramo MUI
Si ritorna a MIU

101 Analizzando il ramo MUIUI
In ogni caso il numero di I non è mai 3 o multiplo di 3 e quindi non può essere eliminato per diventare MU

102 concludendo Con un ragionamento al di fuori delle regole del gioco siamo in grado di dire che non si può costruire MU

103 Quello che abbiamo utilizzato è un
modo intelligente di ragionare

104 Una macchina che volesse risolvere il problema potrebbe fare solo, mediante un opportuno programma :
Acquisire una stringa Verificare che sia fbf (ossia formata da Mx con x stringa di I e U) Applicare le 4 regole per arrivare a ottenere MU In realtà la macchina entrerebbe in un loop infinito non riuscendo a costruire MU oppure

105 Potrebbe produrre tutte le stringhe che si ottengono applicando le 4 regole.
Sarebbe quindi un costruttore di stringhe Comunque una macchina può solo applicare le regole e non ragionare per dedurre se il ragionamento porterà alla conclusione desiderata.

106 Questo è un ragionamento meccanico
Un teorema è deducibile se esiste una dimostrazione basata sull’applicazione delle regole Un teorema è decidibile se esiste una procedura che consente di decidere se esso è deducibile

107 Il primo è un processo meccanico all’interno del sistema
Il secondo è un processo intelligente all’esterno del sistema e questo è lasciato agli studiosi!