Geometria in situazione seconda parte

Presentazione sul tema: "Geometria in situazione seconda parte"— Transcript della presentazione:

1 Geometria in situazione seconda parte
di Gianfranco Arrigo Alta scuola pedagogica, Locarno NRD, Bologna

2 Indice Modo d’uso del file Quarta situazione Quinta situazione

3 Modo d’uso del file Dal menu “Presentazione”, attivare “Visualizza presentazione”. Tutte le diapositive sono automatizzate, perciò l’unica azione che deve compiere il visitatore è un semplice clic del mouse per passare da una diapositiva alla prossima. L’indice è un collegamento ipertestuale: basta cliccare su ciò che si desidera vedere. I bottoni verdi conducono all’indice.

4 Un’idea suggerita dai cuscinetti a sfera
Quarta situazione Un’idea suggerita dai cuscinetti a sfera

5 Consegna iniziale per gli studenti
I meccanici conoscono bene il problema dei cuscinetti a sfera, consistente nel contornare di sferette l'albero attorno al quale gira una ruota. Per esempio, i cuscinetti a sfera li troviamo nei pignoni delle biciclette, nei mozzi delle ruote delle automobili. A noi interessa in modo particolare il problema di inscrivere in un dato cerchio due o più cerchietti tangenti fra di loro e pure tangenti internamente alla sua circonferenza. È una variazione del problema dei cuscinetti a sfera, che riserverà non poche sorprese!

6 Prima stimolazione: due cerchietti in un cerchio
Raggio dei cerchietti inscritti: r2 r2 r Commento Fin troppo facile…

7 Seconda stimolazione: tre cerchietti in un cerchio
Raggio dei cerchietti inscritti: 30° x 15° x . . r3 120° 120° Commento Niente di particolarmente interessante: assomiglia a uno dei soliti barbosi esercizi… r

8 Terza stimolazione: quattro cerchietti in un cerchio
Raggio dei cerchietti inscritti: r . r4 Commento Ancora niente di eccezionale, ma si nota come il metodo di calcolo adottato prima sia direttamente applicabile anche a questo caso.

9 Quarta stimolazione: cinque cerchietti in un cerchio
Raggio dei cerchietti inscritti: r x 54° 72° r5 x 27° Commento Qui si incomincia a vedere la struttura della formula generale, grazie al fatto che le tangenti interessate non sono esprimibili mediante radicali.

10 Quinta stimolazione: sei cerchietti in un cerchio
Raggio dei cerchietti inscritti: r x r6 x 60° 60° Commento Potendo usare le radici, i risultati assumono forme più leggibili. Il valore trovato ci presenta la prima grande sorpresa…

11 Quinta stimolazione: sei cerchietti in un cerchio
Se calcoliamo le lunghezze lungo un diametro scopriamo che… … al centro ci sta un nuovo cerchietto. Quindi i 6 cerchietti ipotizzati diventano 7. Commento Ora siamo pronti per la generalizzazione.

12 Sesta stimolazione: n cerchietti in un cerchio
Sia n il numero dei cerchietti della prima corona. . r x . w rn x w

13 Sesta stimolazione: n cerchietti in un cerchio
Inseriamo in un computer la formula trovata, per esempio usando un foglio elettronico. Schema del calcolo: Per n = 1,2,3, …, (24): n è il numero di cerchietti nella prima corona (tangenti internamente alla circonferenza data). Calcolando sul diametro si può stabilire il numero di corone concentriche:

14 Sesta stimolazione: n cerchietti in un cerchio
A destra, un esempio di possibile output: Possiamo notare che per n=6 appaiono due corone (come abbiamo già trovato con il calcolo). Inoltre il computer ci segnala che per n=10 si passa a tre corone, per n=13 a quattro, per n=16 a cinque, per n=19 a sei, per n=22 a sette.

15 Oltre la terza dimensione: ipercubo e compagni
Quinta situazione Oltre la terza dimensione: ipercubo e compagni

16 Consegna iniziale per gli studenti
Così come… il punto è il “cubo” a zero dimensioni, il segmento è il “cubo” a una dimensione, il quadrato è il “cubo” a due dimensioni, il cubo è il “cubo” a tre dimensioni, … l'ipercubo è il cubo a quattro dimensioni. Così come… è possibile rappresentare (mediante proiezione) un cubo a tre dimensioni su di un foglio di disegno (bidimensionale), … dovrebbe essere possibile realizzare un modellino tridimensionale che sia la proiezione dell'ipercubo. Ogni modellino tridimensionale può essere rappresentato su un foglio (bidimensionale), quindi anche sullo schermo.

17 Guida per l’insegnante
La situazione è stimolante sin dall'inizio: la curiosità degli studenti per quello che può essere definito un superamento della terza dimensione è nota ad ogni insegnante. Qui si propone di adottare un modo semplice ma efficace che permetta di passare dalla dimensione k alla k+1. L'oggetto della ricerca è il cubo a k dimensioni (k-cubo), con k=0,1,2,3,4,… Di ogni k-cubo verranno contati gli elementi a 0, 1, 2, …, (k–1) dimensioni: essi formano una n-tupla caratteristica del k-cubo.

18 Prima stimolazione: da 0-dim a 1-dim
traslazione punto: 0 dimensioni segmento: 1 dimensione (1) (2,1)

19 Seconda stimolazione: da 1-dim a 2-dim
traslazione segmento: 1 dimensione quadrato: 2 dimensioni (2,1) (4,4,1)

20 Terza stimolazione: da 2-dim a 3-dim
traslazione quadrato: 2 dimensioni cubo: 3 dimensioni (4,4,1) (8,12,6,1)

21 Quarta stimolazione: da 3-dim a 4-dim
traslazione cubo: 3 dimensioni ipercubo: 4 dimensioni (8,12,6,1) (16,32,24,8,1)

22 Quarta stimolazione: l’ipercubo
Proiezione tridimensionale dell’ipercubo

23 Quinta stimolazione: prima generalizzazione
Per poter chiarire bene la natura dei diversi k-cubi, costruiamo una tabella che ci permette di indurre le formule per il calcolo del termine n-esimo di ogni successione relativa agli elementi di dimensione 0,1,2,3,4, che chiamiamo ordinatamente: pk: numero vertici (0-dim) del k-cubo sk: numero spigoli (1-dim) del k-cubo fk: numero facce (2-dim) del k-cubo ck: numero cubi (3-dim) del k-cubo

24 Quinta stimolazione: prima generalizzazione
Con un po’ di pazienza… Dim. k-cubo pk sk fk ck … … … … … … e con un po’ di intuito

25 Sesta stimolazione: ultima generalizzazione
Allora la nostra congettura diventa: Inizializzazione: k \ i … … … … … … … … … … … … punto segmento quadrato cubo ipercubo supercubo fantacubo extracubo specialcubo elefancubo kilocubo

26 Settima stimolazione: scopriamo un teorema
Calcoliamo: hk k \ i … … … … … … … … … … … … … hk è uguale a 1, per ogni k

27 Settima stimolazione: enunciamo il teorema
Il teorema può essere generalizzato. Allora vale la formula: Caso particolare: k=3 Ossia: Vertici – spigoli + facce = 2 (formula di Euler per i poliedri)

28 © 2002 gianfranco.arrigo@span.ch
FINE © 2002