STRUTTURA DI.

Presentazione sul tema: "STRUTTURA DI."— Transcript della presentazione:

1 STRUTTURA DI

2 Argomenti della lezione
Prodotto scalare in Rn Distanza in Rn Topologia di Rn

3 Vettori di Rn

4 Vettore colonna X1 X2 X3 • Xn X =

5 Vettore riga XT = (X1, X2, X3, • Xn) XTT = X •

6 Prodotto scalare in uno spazio vettoriale V sul corpo R

7 è un’applicazione bilineare
Un prodotto scalare è un’applicazione bilineare simmetrica definita positiva su V x V a valori in R

8 soddisfa le seguenti proprietà
s: V x V R soddisfa le seguenti proprietà Simmetria Omogeneità Additività Positività

9 soddisfa le seguenti proprietà
s: V x V R soddisfa le seguenti proprietà (S1) x, y V s(x, y) = s(y, x) A Î simmetria (S2) x, y V a A Î R s(ax, y) = a • s(x, y) omogeneità

10 Þ Î Î s: V x V R (S3) x, y, z V s (x + z, y) = A s (x, y) + s (z, y)
additività s (x,x) > 0 e s (x,x) (S4) x A Î V = x = 0 Þ positività

11 Il prodotto scalare su V si indica solitamente con le notazioni
s(x, y) = x, y = (x, y) = x y • In Rn si ha pure la notazione x,y = x y = xT y = Si=1 xiyi • n nella quale si fa riferimento al prodotto righe per colonne delle matrici

12 S n i = 1 xi yi xTy = (x1 x2 x xn) • y1 y2 y3 yn =

13 Disuguaglianza di Buniakovski Cauchy Schwarz

14 Indicheremo con x o con x la norma o modulo del vettore
x Î V (x Î Rn) In particolare, in Rn |x| =   xi 2 _______

15 CASO DI R2 o R3

16 u v= u v cos q • u v q u v < u v •

17 Distanza in Rn

18 Proprietà della distanza
(D1) (simmetria) (D2) (positività) (D3) (disuguaglianza triangolare)

19 Sfere e intervalli in R2. In generale, in Rn .
s x0 x02 x0 = (x01, x02)T x01

20 Sfere e intervalli in R2. In generale, in Rn .
b2 a2 a1 b1

21 Topologia di Rn

22 Punti distinti di R2 (Rn) hanno intorni disgiunti
x . y

23 è punto interno è punto esterno è punto di frontiera per W

24 per W è punto interno esterno di frontiera