Le variabili indipendenti vengono definite fattori.

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1 Le variabili indipendenti vengono definite fattori.
Veri Esperimenti Nei veri esperimenti il ricercatore ha il controllo assoluto sull’esperimento Può manipolare (assegnare) secondo propri criteri i livelli (i soggetti) della (ai) variabile indipendente (trattamenti) . L’assegnazione dei soggetti ai vari livelli preferita è quella casuale, perché fa in modo che le variabili estranee si confondano con la var. indip. per caso. Le variabili indipendenti vengono definite fattori. I livelli della var. indip. vengono definiti condizioni o trattamenti. I soggetti vengono assegnati a caso nelle diverse condizioni o trattamenti. TexPoint fonts used in EMF. Read the TexPoint manual before you delete this box.: AAAAAAAAA

2 Disegni entro i soggetti
Nei disegni entro i soggetti, i soggetti vengono assegnati a tutte le condizioni del fattore (disegno a misure ripetute) Esiste la possibilità che si generino effetti dell’ordine. Le tecniche di controllo degli effetti dell’ordine sono: Randomizzazione a blocchi. Es.: se vi sono 4 condizione A, B, C e D, si creano diversi blocchi di porve e per ciascun blocco ci si assicura che l’oridne sia diverso (BCAD, ADCB, CBDA, ecc…). Controbilanciamento inverso (o sequenza ABBA): consiste nell’invertire l’ordine delle prove. Funziona se gli effetti dell’ordine sono lineari.

3 Controllo dell’effetto dell’ordine entro i gruppi
Controbilanciamento quadrato latino 3. quadrato latino bilanciato Il quadrato magico: Trad: Il seminatore, all’aratro, tiene, con il lavoro le ruote.

4 Disegno con due livelli della var. indip.
scala nominale (frequenze) --- test del chi quadro scala ordinale (ranghi) --- misure ripetute --test di Mann-Whitney (non par.) --- campioni indipendenti --- test di Wilcoxon (non par.) scala a intervali o a rapporti --- misure ripetute --- t di Student a misure ripetute --- campioni indipendenti – t di Student per camp. indip. t test per varianze omogenee t test per varianze eterogenee Per il disegno con due livelli della var. indip. si può usare l’analisi della varianza. Anche l’analisi della varianza (Analysis Of Variance o ANOVA) cambia a seconde del disegno sperimentale (disegno a misure ripetute o per campioni indipendenti).

5 Nel caso del disegno con tre o più livelli della var. indip
Nel caso del disegno con tre o più livelli della var. indip. (disegno con condizioni multiple) si usa, solitamente, solo l’analisi della varianza (ANOVA a una via). Perché? Se lo psicologo deve utilizzare più di 2 gruppi di soggetti per la raccolta dati, allora è costretto a usare un test statistico diverso dal t-test. Se, supponiamo, lo psicologo usa tre gruppi di soggetti, indicati con A, B e C, allora qualcuno potrebbe sostenere che si potrebbe fare una serie di t-test per confrontare ciascun gruppo con tutti gli altri. In questo modo si avrebbero 3 t-test per ciascun confronto (A con B, A con C e B con C). La formula generale per calcolare tutti i possibili confronti a coppie (Cp) è dove r indica il numero di gruppi. Perciò per tre e per 14 gruppi abbiamo

6 Quindi aumentando il numero di gruppi aumenta notevolmente anche il numero di confronti a coppie.
La figura seguente mostra l'incremento del numero di confronti a coppie in relazione al numero di gruppi. Come si vede l'incremento ha andamento esponenziale.

7 In linea di principio è ammissibile effettuare tutti i possibili confronti a coppie, ma esiste il problema dell'errore di gruppo. Per errore di gruppo si intende il fatto che se con un t-test si ha una probabilità pari a 0,05 di commettere un errore del I tipo (errore α, rifiutare l'ipotesi nulla mentre in realtà è vera), se si esegue un unico confronto. Se, invece, si eseguono tanti t-test questa probabilità aumenta. La formula per calcolare l'errore di gruppo (EG) è: Cp è il numero di confronti e α è l'errore di I tipo. Posto α = 0,05, riprendendo gli esempi precedenti, per 3 gruppi Cp = 3, quindi EG = 0,14. In questo caso abbiamo una probabilità pari al 14% di commettere un errore rifiutando l'ipotesi nulla quando questa è vera. Per 14 gruppi, Cp = 91, quindi EG = 0,99. In questo caso abbiamo una probabilità del 99% di commettere un errore di I tipo. Pertanto aumentando il numero di confronti, aumentiamo la probabilità di commettere un errore del I tipo.

8 Un modo per risolvere tale problema è quello di ricorrere al test di Bonferroni (o test di Dunn-Sidak). Il test di Bonferroni si basa sull’ineguaglianza di Bonferroni che stabilisce che l’evenienza di uno o più eventi non può superare la somma delle probabilità individuali. Facendo riferimento all’errore di I tipo, se α = 0,05, e se facciamo tre confronti (Cp = 3), allora la probabilità di fare almeno un errore di I tipo è 3(0,05)= 0,15. Se vogliamo quindi mantenere basso l’errore di gruppo, indicando con α’ l’errore di riferimento, allora α’ = α/Cp. Una volta calcolato α’ e in base ai gradi di libertà è possibile trovare il valore critico di t consultando delle apposite tavole sviluppate da Dunn. Ad esempio, per α' = 0,0167 e gdl =5, allora tcrit = 3,53. Se i t calcolati con le formule per il t-test sono inferiori a tale valore, allora l'ipotesi nulla non può essere rifiutata. Occorre far notare che per α = 0,05 e gdl = 5, allora tcrit = 2,57 (ipotesi a due code), per cui, ovviamente, aumentando il numero di confronti a coppie aumenta il valore critico di t, rendendo sempre più difficile la determinazione di una differenza significativa (si riduce la potenza del test). Un altro metodo è quello di ricorrere all’analisi della varianza.

9 disegni sperimentali e tipi di analisi di varianza
disegno con una var. indipendente disegno entro i gruppi (a misure ripetute) ANOVA a una via a misure ripetute disegno tra i gruppi (camp. indip.) ANOVA a una via per camp. indip. disegno fattoriale (2 o più var. indip.) disegno entro i gruppi (a misure ripetute) ANOVA a più vie a misure ripetute disegno entro i gruppi (a misure ripetute) ANOVA a più vie per camp. indip. disegno misto (fattori ripetuti e campioni indipendenti) ANOVA mista

10 Disegno con 1 fattore per campioni indipendenti
Uno sperimentatore esegue uno studio per verificare gli effetti della droga sulle abilità psicomotorie. La abilità psicomotorie sono misurate tramite il numero di errori commessi in un test psicomotorio. Maggiore è il punteggio, peggiore è la prestazione psicomotoria. Variabile indipendente: droga vs no droga (2 condizioni sperimentali) Variabile dipendente: abilità psicomotoria scala di misura: numero di errori commessi (scala ad intervallo) disegno: soggetti diversi nelle due condizioni sperimentali Matrice dei dati:

11 Somma dei quadrati (SQ):
Formula computazionale della somma dei quadrati Esempio: X = {6, 4, 3, 3, 4}

12 Logica dell'analisi di varianza
Equazione del modello: Scarto delle medie dei trattamenti da m: SQtra :5[(4 – 2,5)2 + (1 – 2,5)2] = 5(4.5) = 2= 22,5 medie: Media totale Scarto dei punteggi dei soggetti dalle medie dei rispettivi gruppi: SQentro :[(6 – 4) (4 – 4)2] + [(0 – 1) (1 – 1)2] = = 10 Varianza totale: SQtot = SQtra + SQentro = 22, = 32,5 SQtot :(6 – 2,5) (4 – 2,5)2 + (0 –2,5) (1 – 2,5)2 = 32,5

13 Punteggi osservati Media pop. scartitra scartientro = + + Componenti della varianza totale: SQtot SQtra SQentro

14 Calcolo delle medie dei quadrati (MQ)
MQtra = SQtra / (k – 1) MQentro = SQentro / k(n – 1) gdl: N – 1 k – 1 k(n – 1) N: numero totale di soggetti MQtra = 22,5 / (2 – 1) = 22,5 / 1 = 22,5 MQentro = 10 / 2(5 – 1) = 10 / 2(4) = 10 / 8 = 1,25 L'effetto della droga è significativo

15 F1,8 = 18 Fcrit = 5,32

16 file dati SPSS: variabile dipendente (misura su cui si esegue il test statistico) fattore: il numero indica il gruppo di cui fanno parte o il trattamento a cui sono sottoposti i soggetti g. controllo g. sperimentale

17 cliccando sulla casella Tipo, posso selezionare il tipo di formato della variabile:
an. di var. con 1 o più fattori between selezione del tipo di analisi: an. di var. con più di una var. dip. an. di var. con 1 o più fattori within o mista

18 selezione delle misure e dei fattori:

19 selezione Opzioni per analisi:

20 selezione Grafici per analisi:

21 finestra di Output: codice programma dell’analisi in SPSS oggetti dell’output

22 fattori tra soggetti: tabella di statistiche descrittive:

23 tabella delle statistiche F degli effetti principali:
medie marginali, errore standard e intervalli di confidenza:

24 grafico degli effetti principali:

25 grafico corretto:

26 selezione tipo di analisi tramite ANOVA univariata:
pulsante Opzioni: selezione variabili (misure e fattori):

27 finestra di Output (Tabella di descrittive):

28 finestra di Output (Tabella dell’analisi di varianza univariata):

29 finestra di Output (grafico):

30 Ricerca di Eysenck (1974) sul ricordo del materiale verbale
Craik e Lockart (1972) stabilirono che maggiore è l’elaborazione del materiale verbale, maggiore è la probabilità che venga ricordato. Sulla base di tale teoria, Eysenck decise di verificare se effettivamente cambiando la modalità di elaborazione delle parole, cambia anche la capacità di ricordarle. Per l’esperimento, Eysenck ha contattato 50 soggetti suddivisi in modo casuale per i seguenti 5 livelli della var. indipendente (fattore): Conta: ai soggetti è chiesto di contare le lettere di ciascuna parola Rima: ai soggetti è chiesto di trovare una parola che faccia rima con quella della lista Aggettivo: ai soggetti è chiesto di trasformare le parole (sostantivi) nei corrispondenti aggettivi (es: bellezza-bello) Immagine: ai soggetti è chiesto di trasformare in immagini visive le parole della lista Intenzione: ai soggetti è chiesto di leggere le parole e di memorizzarle La lista è composta da 27 parole. La capacità di memorizzazione viene misurata in base al numero di parole della lista correttamente rievocate (il punteggio può variare da 0 a 27). Il numero di parole correttamente rievocate costituisce la misura della var. dipendente. L’analisi di varianza verrà fatta sul numero di parole rievocate.

31 soggetti conta rima aggettivo immagine intenzionale 1 9 7 11 12 10 2 8 13 19 3 6 16 14 4 5 23 15 Medie 6,9 13,4 Dev. st. 1,83 2,13 2,49 4,5 3,74 Media globale: 10,06

32 foglio dati: var. dip. (misura) fattore o gruppi tipo di variabili:

33 scelta del tipo di analisi:

34 selezione variabili (misure e fattori):
pulsante Opzioni: pulsante Grafici:

35 finestra di Output (disegno e descrittive):

36 gdl Somma quadr. Media quadr. F p
finestra di Output (tavola degli effetti principali): gdl Somma quadr. Media quadr. F p eff. princ <.001 errore --- livelli α convenzionali: <.001; <.01; <.05; <.1

37 finestra di Output (grafico):

38 Grafico corretto:

39 Esiste un’unica ipotesi nulla, ma esistono
Se il test del’analisi della varianza per un fattore con livelli multipli è significativo, cosa possiamo dire? Possiamo dire che almeno due gruppi o una coppia di medie e significativamente diversa ma non quale. H0 : μ1 = μ2 = μ3 = μ4 = μ5 Esiste un’unica ipotesi nulla, ma esistono 10 possibili diverse ipotesi alternative. Per sapere quale di queste 10 è quella valida, occorre far ei confronti a priori o a posteriori. μ1 ≠ μ2 = μ3 = μ4 = μ5 μ1 = μ2 ≠ μ3 ≠ μ4 = μ5 H1 : μ1 = μ2 = μ3 ≠ μ4 ≠ μ5 … μ1 ≠ μ2 ≠ μ3 ≠ μ4 ≠ μ5

40 Confronti tra medie a priori e a posteriori
Se il ricercatore ha già in mente l’ipotesi alternativa da testare, allora invece di una generica analisi della varianza, può effettuare immediatamente il confronto tra le medie le cui differenze risultano importanti ai fini delle ricerca. Test di Bonferroni Contrasti lineari Contrasti ortogonali

41 Supponiamo che il ricercatore si interessato a verificare le
seguenti ipotesi alternative: H1 : μconta ≠ μrima = μagg = μimm = μint H1 : μconta = μrima ≠ μagg = μimm = μint H1 : μconta = μimm = μagg = μrima ≠ μint dato che si tratta sempre di coppie di medie, allora si può effettuare un test di Bonferroni (o test di Dunn-Sidak). Dato che il ricercatore ha deciso di fare tre confronti, è necessario aggiustare il livello di α (= 0,05) di partenza. Il nuovo livello di α, detto α’, è α’ = α/3 = 0,05/3 = 0,1667. MQerr è la varianza d’errore (varianza tra i gruppi). Nel nostro caso, MQerr = 9,67. n è il numero di soggetti per ciascun livello del fattore (n = 10).

42 confronto tra il livello “conta” e il livello “rima”
0, confronto tra il livello “rima” e il livello “aggettivo” = -2,948191* confronto tra il livello “rima” e il livello “intenzione” I valori contrassegnati con “*” sono significativi -3,667262* tcrit = 2,486781

43 calcolo medie marginali:

44

45 Il test si basa sulla distribuzione di F (F-test).
Contrasti lineari soggetti conta rima aggettivo immagine intenzionale Medie 7 6,9 11 13,4 12 Somma Contr. 1 -2 1 Contr. 2 -3 2 I contrasti lineari sono utili soprattutto quando si devono confrontare gruppi di medie (una media vs. due medie; 3 medie vs. 2 medie). Il test si basa sulla distribuzione di F (F-test). Le medie escluse dal confronto vengono moltiplicate per il coefficiente zero. La somma dei coefficienti delle medie deve essere sempre pari a zero. Contrasto 1: il ricercatore confronta il liv. “aggettivo” con i 2 liv. “immagine” e “intenzionale”. Contrasto 1: il ricercatore confronta i 2 liv. “conta” e “rima” con i 3 liv. “aggettivo”, “immagine” e “intenzionale”.

46 esempio di calcoli per il primo contrasto:
= 1,992416 Fcrit =

47 Contrasti ortogonali soggetti conta rima aggettivo immagine
intenzionale Medie 7 6,9 11 13,4 12 Somma Contr. 1 -1 1 Contr. 2 -2 Contr.3 c1c2 -1(0)=0 1(0)=0 0(-2)=0 0(1)=0 c1c3 0(0)=0 0(-1)=0 c2c3 -2(0)=0 1(-1)=-1 1(1)=1 I contrasti ortogonali consentono un’analisi gerarchica dei confronti tra le medie. Se una media è stata contrastata precedentemente, non può più essere usata nei contrasti successivi. I coefficienti dei contrasti per linea devono essere uguali a zero ( aj = 0). La somma dei prodotti dei coefficienti di due righe deve essere paria zero ( aj bj = 0).

48 Contrasti a posteriori (o analisi post-hoc)
test non conservativi (non fissano l’errore di gruppo al valore di α) test della minima differenza significativa (Least significant difference o LSD) di Fisher test di Newman-Keuls test conservativi (fissano l’errore di gruppo al valore di α) test di Tukey test di Scheffè differenza tra gruppo di controllo ed altri gruppi (test di Dunnett) I contrasti a posteriori si fanno solo se F risulta significativo.

49 Metodo della differenza minima significativa di Fisher (LSD) EG = α
Contrasti post-hoc A differenza dei contrasti a priori, i contrasti a posteriori si fanno tra tutte le coppie di medie possibili. Le differenze tra le medie vengono poi confrontate con la differenza minima significativa. La differenza principale tra i test a posteriori sta nel fatto che alcuni test variano il valore critico della differenza a seconda della coppia di medie (test non conservativi), mentre altri mantengono uno specifico valore critico (test conservativi). I test conservativi tendono ad evidenziare meno differenze significative rispetto ai test conservativi, ossia hanno una potenza del test minore. Metodo della differenza minima significativa di Fisher (LSD) EG = α Si calcolano le differenze tra le medie di tutti i livelli del fattore e poi si confrontano tali differenze con la differenza critica (la minima differenza corrispondente al valore critico di t). Se le differenze superano la differenza minima, sono significative.

50 Test di Newman-Keuls Il test di Newman-Keuls si basa sulla statistica di rango studentizzata (Studentized Range Statistic ) o statistica q. Se non si ha a disposizione la tavole di questa statistica è necessario procurarsele. La statistica q riporta i valori critica di t a seconda della distanza, o rango, tra le medie. Prima di eseguire il test è necessario ordinare le medie dei gruppi dalla più piccola alla più alta. Test di Tukey È identico al Newman Keuls, nella procedura, nel senso che si basa sulla statistica q. L’unica differenza è che la differenza critica è fissata sempre in relazione al rango più elevato delle differenza. Per questo motivo il test è più conservativo.

51 Test di Scheffé È il test post-hoc più conservativo. Molti autori ne sconsigliano l’uso. Il test di Scheffé usa la distribuzione F invece della statistica di rango studentizzata. Il valore critico di F per stabilire le differenze significative è dato dalla seguente formula: Fcrit = (k-1) Fα (k-1,gdlerr). k indica il numero totale dei livelli del fattore (k = 5). cliccando sul pulsante Post-hoc:

52 test di Neuman-Keuls e Tukey:

53 test di Scheffé:

54 test LSD:

55 raggruppamento medie secondo i diversi post-hoc:

56 Test di Dunnett L’obiettivo del test è confrontare le medie di alcuni gruppi con un gruppo di riferimento che costituisce il gruppo di controllo. Questo test si applica a quei disegni che prevedono esplicitamente un livello o gruppo di controllo della var. indip. Il test di Dunnett necessita di apposite tavole statistiche dei valori critici di t. Nel nostro caso poniamo il gruppo “conta” come gruppo di controllo, e gli altri come gruppo sperimentale. test di Dunnett con SPSS: