4. Potenziale elettrico ed energia potenziale

4. Potenziale elettrico ed energia potenziale
Il Campo Elettrico è un concetto legato alla nozione di forza; è la forza che agisce sulla carica unitaria E = F / q ed è una proprietà dello spazio e della distribuzione di carica che genera il campo. Vogliamo ora applicare i concetti di lavoro ed energia allo studio dei fenomeni elettrici. Come già nel campo della meccanica otterremo delle conseguenze molto interessanti. Prof Biasco 2007

Potenziale elettrico ed energia potenziale
Campo elettrostatico uniforme Consideriamo il campo elettrico uniforme E generato da un piano infinito di carica (positiva) e una carica di prova q0 positiva che vogliamo spostare dal punto A al punto B. Spostamento AB = s = d A B q0 Prof Biasco 2007

Per spostare la carica di prova a velocità costante (senza che ci sia aumento dell’energia cinetica) dovremo applicare una forza esterna Fe opposta alla forza F esercitata dal campo: Fe =  F dove F = q0 E A B F Fe Prof Biasco 2007

Fe F Il lavoro fatto dall’esterno We sarà: O anche: Il lavoro fatto We non viene perso ma si trova accumulato nella carica q0 che occupa la posizione B, è diventato energia di posizione della carica, cioè energia potenziale elettrica U Prof Biasco 2007

Se alla carica q0 nel punto A associamo un’energia potenziale UA, in B la carica avrà l’energia potenziale UB = UA + U = UA + We = UA + q0 E s Fe F Quindi, anche: U = UB  UA = We B A L’energia potenziale U e la variazione di energia potenziale U dipendono dal campo elettrico e, in particolare, dalla carica (di prova) e dal suo segno. Sono grandezze scalari, hanno le stesse dimensioni del lavoro e sono misurate in Joule. Prof Biasco 2007

Variazione di Potenziale (elettrico) Si definisce variazione di potenziale V fra due punti del campo elettrico la variazione di en. potenziale tra i due punti diviso la carica q0 Potenziale Elettrico Analogamente al concetto di campo possiamo definire, quindi, una grandezza che non dipende dalla carica ma solo dalle proprietà del campo. Tale concetto è il Potenziale Elettrico V. Prof Biasco 2007

quindi la variazione di potenziale V è la variazione di en. Potenziale relativa all’unità di carica. Dalle relazioni precedenti si ha: U = UB  UA = We ==> UB = UA + U ==> Prof Biasco 2007

Il potenziale V e la variazione di potenziale V si misurano in Volt (V) 1 Volt = 1 Joule/ 1 Coulomb da cui 1 Joule = 1 Volt  1 Coulomb Un’altra unità di misura molto utilizzata per l’energia è l’elettronvolt = prodotto della carica dell’elettrone per 1 volt 1 eV = (1,60 1019 C)  (1 V) = 1,60 1019 Joule 1 eV è uguale alla variazione di energia che subisce un elettrone che si muove tra due punti che hanno la differenza di potenziale di 1 volt. Esempio 1 pag 45 Prof Biasco 2007

Campo elettrico e rapidità di variazione del potenziale el.
Studiamo meglio la relazione che intercorre tra campo elettrico e potenziale. Se spostiamo la carica q0 da A a B (contro il campo) il potenziale aumenta A B Fe s C F Prof Biasco 2007

se invece la spostiamo è da A a C (nel verso del campo) il potenziale diminuisce. A B Fe s C F Prof Biasco 2007

Queste osservazioni ci consentono di scrivere la relazione tra variazione del potenziale e campo elettrico in questo modo: quando lo spostamento avviene nel verso contrario ad E ==> V > 0 quando lo spostamento avviene nel verso di E ==> V < 0 Prof Biasco 2007

quando lo spostamento avviene nel verso contrario ad E ==> V > 0 quando lo spostamento avviene nel verso di E ==> V < 0 B A C spostamento Potenziale V s Prof Biasco 2007

Inoltre ==> Allora il campo E può essere misurato sia in Quindi, tanto più intenso è E tanto più velocemente varia il potenziale al variare dello spostamento. Esempio 2 pag 46 Esempio 3 pag 47 Prof Biasco 2007

2 Conservazione dell’Energia
Il campo elettrostatico, come il campo gravitazionale, è un campo conservativo. Quindi per esso vale il principio di conservazione dell’energia meccanica. E cinetica(A) + E potenziale(A) = E cinetica(B) + E potenziale(B) = Costante Cioè: Prof Biasco 2007

Conservazione dell’Energia
Consideriamo un campo elettrostatico E uniforme e una carica di prova q0 di massa m posta in H. Sotto l’azione del campo la carica è soggetta alla forza F = q0 E costante e, se è libera di muoversi, si muove di moto uniformemente accelerato con accelerazione a = F/m = q0 E / m . - parte da H con velocità nulla, - transita per A con velocità vA - e per B con velocità vB allontanandosi poi all’infinito. + Prof Biasco 2007

Esaminiamo quello che succede nel tratto AB. Essendo il moto unif accelerato ed essendo avremo: ma quindi Moltiplicando 1° e 2° membro per m/2 Prof Biasco 2007

e infine Conservazione dell’energia In un campo elettrostatico la somma delle energie cinetica e potenziale è costante (in ogni punto del campo). Prof Biasco 2007

Osservazione Le cariche positive accelerano nella direzione in cui il potenziale diminuisce: si muovono da punti a potenziale più alto a punti a potenziale più basso. le cariche negative accelerano nella direzione in cui il potenziale aumenta: si muovono da punti a potenziale più basso a punti a potenziale più alto. In tutti i casi una carica qualunque passa sempre da punti a energia potenziale più alta a punti ad energia potenziale più bassa.  Prof Biasco 2007

3 Potenziale elettrico di una carica puntiforme
Vogliamo calcolare ora il potenziale prodotto da una carica puntiforme. Consideriamo il campo elettrico E = k Q/r2 generato da una carica puntiforme (positiva) e una carica di prova q0 positiva che vogliamo spostare dal punto A al punto B. Spostamento AB = s =rB - rA Fe F B s A Prof Biasco 2007

Potenziale elettrico di una carica puntiforme
Per spostare la carica di prova a velocità costante (senza che ci sia aumento dell’energia cinetica) dovremo applicare una forza esterna Fe (variabile) opposta alla forza F esercitata dal campo: Fe =  F dove F = q0 E = q0 kq/r2 Il lavoro elementare dWe (relativo ad un piccolo spostamento ds in cui F si possa considerare costante) fatto dall’esterno sarà: e il lavoro totale We relativo allo spostamento AB Prof Biasco 2007

E quindi, la variazione di energia potenziale U e la variazione di potenziale V Prof Biasco 2007

Ora se consideriamo i punti all’ a potenziale zero e supponiamo di portare la carica da A (dall’infinito rA = ) al punto B Avremo la differenza di potenziale Per cui ad ogni punto del campo sarà associato il potenziale: e l’energia potenziale: Prof Biasco 2007

Diagramma del Potenziale in funzione della distanza del campo generato da una carica puntiforme positiva +Q. +Q Poiché la distanza dalla carica deve essere sempre considerata positiva il segno del potenziale dipende solo dal segno della carica. Il potenziale di una carica positiva tende a + quando ci si avvicina alla carica e a zero quando ci si allontana all’  Prof Biasco 2007

Diagramma Potenziale- distanza del campo generato da una carica puntiforme negativa  Q. Q Il potenziale di una carica negativa tende a  quando ci si avvicina alla carica e a zero quando ci si allontana all’  Prof Biasco 2007

Picco di potenziale di una carica puntiforme positiva +Q. Diagramma del potenziale per ogni punto P di un piano passante per la carica +Q Prof Biasco 2007

Buca di Potenziale di una carica puntiforme negativa Q. Diagramma del potenziale per ogni punto P di un piano passante per la carica Q Prof Biasco 2007

Sovrapposizione del Potenziale elettrico
Il potenziale elettrico e l’energia potenziale elettrostatica soddisfano il principio di sovrapposizione Principio di Sovrapposizione Il potenziale elettrico totale di una distribuzione di più cariche è uguale alla somma algebrica dei potenziali delle singole cariche. Analogamente per l’energia potenziale elettrostatica. Vediamo alcuni esempi.. Esempio 7 pag 52 Carica q = 4, C posta nell’origine e una carica -2q posta sull’asse x nel punto di ascissa 1,00 m. Prof Biasco 2007

Il potenziale in un punto qualsiasi dell’asse x è dato da: q -2q Prof Biasco 2007

Il potenziale in un punto qualsiasi del piano xy contenente le cariche +q e -2q Prof Biasco 2007

Esempio 7 pag 52 Due cariche q1= q2 = C poste sull’asse x nei punti di ascissa 1,0 m e -1,0 m. q Prof Biasco 2007

Il potenziale in un punto qualsiasi del piano xy contenente le cariche +q e +q Prof Biasco 2007

4 Superfici equipotenziali e campo elettrico
Isobare: curve che uniscono tutti i punti alla stessa pressione. Isoipse: curve che uniscono tutti i punti aventi stessa altitudine. Superfici Equipotenziali: sono superfici che uniscono tutti i punti di un campo elettrico che hanno lo stesso potenziale. (nella nostra rappresentazione sul piano appaiono come linee equipotenziali). Se consideriamo il campo elettrico generato da una carica puntiforme Q positiva, i punti a potenziale costante saranno tutti quelli che si trovano a distanza r = kQ/V dalla carica Q oppure Prof Biasco 2007

Superfici equipotenziali e campo elettrico
Cioè sono sfere aventi centro nella carica Q e, nella rappresentazione piana, sono circonferenze aventi centro nella carica Q.. Oss Le sup equipotenziali danno informazioni sull’intensotà e sulla direzione del campo elettrico. Prof Biasco 2007

Intensità del Campo: il campo è più intenso dove le sup equipotenziali sono più vicine: infatti essendo E =  V/ s il campo è più intenso dove maggiore è la variazione del potenziale rispetto alla distanza. Direzione Il campo E è orientato nella direzione in cui diminuisce il potenziale ed è sempre perpendicolare alle sup equipotenziali. 5V 3V 1V Prof Biasco 2007

Osservazione Il lavoro che bisogna fare per spostare una carica lungo una sup. equipotenziale e sempre NULLO, infatti tra due suoi punti qualsiasi V = 0, quindi anche U = 0 e poichè W = U ==> W = 0 1V 3V 5V Prof Biasco 2007

Essendo W = q0E x s = 0 Il campo elettrico E deve essere sempre perpendicolare allo spostamento s e quindi alla sup equipotenziale. Prof Biasco 2007

Oss. Le superfici equipotenziali di un piano infinito carico sono, piani paralleli al piano stesso. 0 V 5 10 15 20 25 V Oss. Le superfici equipotenziali del campo tra le armature di un condensatore sono piani paralleli alle armature. Prof Biasco 2007

Superfici equipotenziali del campo generato da due cariche puntiformi positive. ==> <== Superfici equipotenziali del campo generato da due cariche puntiformi una positiva e l’altra negativa (dipolo elettrico) Prof Biasco 2007

Potenziale nei Conduttori
Nei corpi conduttori gli elettroni più esterni sono liberi di muoversi per cui, quando carichiamo un conduttore o lo immergiamo in un campo elettrico esterno, si verifica sempre una ridistribuzione di carica tale che tutti i punti del conduttore, interni e della superficie, si portano allo stesso potenziale. Tutto il volume del conduttore è equipotenziale Se così non fosse, tra i punti del conduttore vi sarebbe una d.d.p.  0 (quindi un campo elettrico E  0) che determinerebbe un movimento di carica, mentre il conduttore è in equilibrio elettrostatico. Prof Biasco 2007

Rappresentiamo graficamente l’andamento del campo elettrico E e del potenziale V nel caso di un conduttore sferico carico positivamente. Il campo elettrico all’interno è nullo Ei = 0 All’esterno è max sulla superficie e decresce in ragione del quadrato della distanza E = k Q/d2 Il potenziale V all’interno e sulla superficie ha valore max ed è costante. All’esterno decresce in ragione della distanza V= kQ/d quindi decresce più lentamente del campo E. +Q Campo elettrico - Potenziale m Prof Biasco 2007

Se il conduttore non è sferico, il potenziale rimane sempre costante e ciò determina una concentrazione della carica in corrispondenza delle zone più appuntite dove anche il campo elettrico è più intenso. Consideriamo il conduttore in figura Prof Biasco 2007

Per semplificare il ragionamento possiamo schematizzare il conduttore mediante due conduttori sferici di raggio R e R/2 collegati da un filo conduttore in modo che le due sfere siano allo stesso potenziale. Se la distanza tra i due conduttori è abbastanza grande rispetto ai loro raggi, il potenziale di ciascuna sfera è praticamente dovuto alla sola carica posseduta dal conduttore, l’effetto dell’altra sfera è trascurabile. Prof Biasco 2007

Potenziali 1° e 2° conduttore ma i potenziali sono uguali La carica del 1° conduttore è doppia della carica del 2° conduttore Prof Biasco 2007

Ma passando al calcolo della densità superficiale di carica dei due conduttori avremo: La densità superficiale di carica del conduttore più piccolo (di raggio R/2) è doppia di quella del conduttore più grande (di raggio R). Cioè la carica è più concentrata sulla sfera più piccola Prof Biasco 2007

Mentre per i campi elettrici sulla superficie dei due conduttori avremo: Il campo elettrico E2, sulla superficie della sfera più piccola, ha intensità doppia di quella del campo elettrico E1 sulla superficie del conduttore più grande. Prof Biasco 2007

5 Capacità, Condensatori e dielettrici
Se ad un corpo conduttore forniamo una carica Q esso assume il potenziale V se raddoppiamo la carica 2Q il potenziale raddoppia 2V se 3Q -----> 3V se Q/ > V/2 Carica Q Potenziale V V 2V Q 2Q Prof Biasco 2007

Capacità, Condensatori e dielettrici
Le due grandezze sono direttamente proporzionali, il loro rapporto C è costante è rappresenta la carica del conduttore per unità di potenziale. Definizione: Si dice Capacità di un conduttore il rapporto tra la sua carica e il suo potenziale, cioè la carica per unità di potenziale Prof Biasco 2007

L’unità di misura nel S. I. è il Farad F Un conduttore ha la capacità di 1 farad se trovandosi al potenziale di 1 volt possiede la carica di 1 coulomb Il farad è capacità molto grande, capacità Terra = 103 F microfarad F = 106 F nanofarad nF = 109 F picofarad pF = 1012 F Prof Biasco 2007

La capacità di un conduttore dipende - dalla sua forma - dalla presenza di altri conduttori - dall’isolante interposto (dielettrico). Capacità di un conduttore sferico isolato Calcoliamo la capacità di un conduttore avente la carica Q, potenziale V e raggio R. La capacità del conduttore sferico isolato dipende solo dal raggio e dal dielettrico. Prof Biasco 2007

Capacità della Terra Il risultato precedente ci permette di calcolare la capacità del globo terrestre che è un conduttore. Nonostante la Terra sia un conduttore enorme la sua capacità è solo dell’ordine di 103 Farad Prof Biasco 2007

Condensatori Sono dispositivi che consentono di ottenere capacità massime in dimensioni relativamente ridotte. Cioè permettono di immagazzinare carica elettrica e accumulare energia. Anche la capacità di un condensatore è data dal rapporto tra carica e potenziale Esempio 10 pag 59 Prof Biasco 2007

Condensatori a facce piane e parallele
La schema più semplice di condensatore è rappresentato dal condensatore a facce piane e parallele. Si tratta di 2 piastre conduttrici (armature) disposte di fronte parallelamente a distanza d, tra esse c’è il vuoto o del materiale isolante (dielettrico) aria, carta, ceramica, ecc. Il condensatore viene caricato, principalmente, collegandolo ad una batteria. La piastra collegata al polo positivo acquista carica +Q e la piastra collegata al polo negativo carica opposta Q, la carica può considerarsi uniformemente distribuita con densità superficiale  = Q/A Prof Biasco 2007

La capacità del condensatore è data da Dove Q è il valore assoluto della carica presente su una delle due armature e V il valore assoluto della d.d.p. tra le armature. Tra le armature si stabilisce la stessa differenza di potenziale della batteria che chiameremo semplicemente V invece di V Tra le armature del condensatore si forma un campo elettrico E uniforme di intensità E =  /0 legato alla d.d.p. dalla relazione V = E d Prof Biasco 2007

Oss. Nel caso dei condensatori a facce piane e parallele la capacità dipende in modo semplice dalle sua caratteristiche geometriche Infatti essendo Avremo: Prof Biasco 2007

Condensatori e dielettrici
La capacità di un condensatore aumenta di un fattore r se tra le sue armature si pone un dielettrico. Dove C0 = capacità nel vuoto r = costante dielettrica relativa del dielettrico E0 = campo elettrico nel vuoto Ep = Campo elettrico di polarizzazione V0 = d.d.p. nel vuoto Prof Biasco 2007

Il dielettrico, sotto l’azione del campo E0 si polarizza generando un campo opposto Ep. Allora il campo elettrico risultante sarà E = E0 + Ep minore di E0. Nella situazione in figura (condensatore carico staccato dalla batteria) la carica Q sulle armature non cambia, ma si verifica una diminuzione del potenziale e quindi un aumento della capacità del condensatore C = Q/V. Prof Biasco 2007

Il campo elettrico risultante è dato da: Per cui, la d.d.p. tra le armature diviene E la capacità del condensatore sarà: quindi anche Prof Biasco 2007

Osservazione Se il condensatore rimane collegato alla batteria il potenziale rimane invariato e aumenta la carica sulle armature Q’ = r Q. Si verifica comunque un aumento della capacità C = Q’/V= r Q/V = r C0 > C0 Prof Biasco 2007

Nella seguente tabella sono riportati i valori della costante dielettrica relativa di alcune sostanze materiale Costante dielettrica relativa Vuoto 1 Aria secca (1 atm) elio (1 atm) 1, ,00087 Acqua glicerina benzene ,1 Carta ceramica vetro bachelite nylon polietilene polistirolo teflon 3, ,9 3,4 2,3 2,6 2,1 Prof Biasco 2007

Rottura del Dielettrico Se la d.d.p. V tra le armature supera un certo valore allora scocca una scintilla che perfora il dielettrico “rottura del dielettrico”, il condensatore si scarica e non è più utilizzabile Il potenziale al quale si verifica la rottura dipende dalla rigidità dielettrica dei materiali. materiale Rigidità dielettrica V / m Aria Neoprene Vetro pyrex Carta Teflon Mica 3, Rigidità dielettrica Massima d.d.p. che può essere applicata ad un dielettrico senza che si verifichi la scarica disruptiva Prof Biasco 2007

Accumulo di Energia elettrica - Condensatori
Accumulo di Energia Elettrica Un condensatore oltre ad accumulare Carica accumula anche Energia. Per semplificare il calcolo dell’energia accumulata possiamo immaginare di caricare un condensatore, inizialmente neutro, spostando piccole cariche positive Q da un’armatura all’altra. Prof Biasco 2007

Dopo aver spostato la carica Q tra le armature del condensatore vi sarà la d.d.p. V1= Q/C, spostando un’altra carica Q avremo una d.d.p. V2= 2 Q/ C = 2(Q/C) = 2 V1, e via di seguito spostando la terza carica Q la d.d.p. diverrà V3 = 3 V1 Il potenziale aumenta in modo direttamente proporzionale alla carica. Prof Biasco 2007

Il diagramma Potenziale- Carica V-Q è una retta uscente dall’origine. Carica Q Diff Potenziale V L’area delimitata dal diagramma V-Q è uguale al lavoro necessario a caricare il condensatore e quindi all’energia in esso accumulata. Prof Biasco 2007

Quindi per caricare il condensatore al potenziale V con la carica Q bisogna fare un lavoro W equivalente all’area del triangolo giallo Carica Q Diff Potenziale V Energia Ed essendo anche C = Q /V Prof Biasco 2007

Densità di energia: Possiamo pensare che l’energia accumulata nel condensatore sia associata al campo e distribuita all’interno del volume tra le due armature. Quindi definiamo una Densità di Energia +Q -Q + - E Prof Biasco 2007

Densità di energia - Condensatori
Tenendo conto che e che Avremo: Densità di Energia: Prof Biasco 2007

Densità di energia - Condensatori
Oss. La formula precedente associa l’energia accumulata al campo elettrico tra le armature del condensatore. Può essere generalizzata a qualunque campo elettrico comunque generato. Prof Biasco 2007

Conservatività del campo elettrostatico
La relazione tra campo elettrico e potenziale V = E d vale soltanto per i campi elettrici uniformi. Nel caso di campi elettrici non uniformi la relazione è più complessa. Per calcolare la differenza di potenziale tra due punti A e B si procede in questo modo: Si suddivide il percorso in tanti piccoli spostamenti rettilinei s in cui il campo si possa considerare costante. Si calcola il prodotto E s Si sommano tutti i prodotti ottenuti V = E s Prof Biasco 2007

Il calcolo sarà tanto più preciso quanto maggiore è la suddivisione del percorso, il valore esatto sarà: Osservazione Il campo elettrostatico è un Campo Conservativo cioè la Differenza di potenziale tra due punti non dipende dal percorso scelto per congiungere i due punti ma solo dalle posizioni iniziale A e finale B. Oppure, in modo equivalente, il lavoro fatto per portare una carica da A a B non dipende dal particolare percorso seguito, ma solo dalle posizioni iniziale e finale. Prof Biasco 2007

Il lavoro che bisogna fare per andare da A a B è sempre lo stesso qualunque sia il percorso scelto. Prof Biasco 2007

In particolare se si considera un percorso chiuso il punto di partenza e arrivo coincidono A = B e quindi, per la conservatività del campo elettrico, V = VB  VA = VA  VA = 0 Cioè la circuitazione del campo elettrico è zero quindi Osservazione Essendo il campo elettrico un campo conservativo la circuitazione di E lungo un qualsiasi percorso chiuso è sempre nulla. Prof Biasco 2007

4. Potenziale elettrico ed energia potenziale

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