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Le distribuzioni di probabilità discrete
Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali Facoltà di Scienze MM FF e NN, Università Sannio Le distribuzioni di probabilità discrete Giovanni Filatrella G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali
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Cos’è una distribuzione di probabilità discreta
Abbiamo definito una variabile casuale X una variabile che può assumere diversi valori: {x1, x2, …, xN} Ognuno di questi con probabilità: {p1, p2, …, pN} La funzione che associa una probabilità pi al valore i-esimo della variabile casuale xi è la distribuzione di probabilità. G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali
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Attenzione a non confondere i seguenti 4 concetti:
X è il simbolo che denota la variabile casuale che può assumere i valori {xi} L’indice i serve solo a numerare i possibili risultati Le xi sono i valori numerici che si ottengono per l’i-esimo risultato Le pi sono il rapporto fra i casi favorevoli all’i-esimo risultato e tutti i risultati possibili G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali
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Attenzione a non confondere i seguenti 4 concetti:
X è il simbolo che denota la variabile casuale che può assumere i valori {xi} L’indice i serve solo a numerare i possibili risultati Le xi sono i valori numerici che si ottengono per l’i-esimo risultato Le pi sono il rapporto fra i casi favorevoli all’i-esimo risultato e tutti i risultati possibili G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali
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Rappresentazione grafica:
La funzione distribuzione è la legge che regola le probabilità (le altezze dei rettangoli). 0.25 0.20 Probabilità 0.15 Variabile casuale 0.10 0.05 xi G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali
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Un’importante distinzione
Il concetto di distribuzione discreta vuol dire che solo un numero intero di differenti valori è possibile, e si riferisce all’indice i; Il valore della variabile xi non è necessariamente un intero. G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali
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Esempio: la distribuzione di probabilità uniforme:
Se supponiamo che tutti valori della variabile casuale siano equiprobabili: Allora la distribuzione è detta uniforme. D.: Quanto vale p? G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali
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Valore aspettato e varianza
Per le variabili discrete è possibile definire un valore aspettato E[x] ed una varianza Var[x] che sono analoghe alle misure di posizione e dispersione valore medio e scarto quadratico medio: G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali
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G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali
Valore aspettato e varianza non coincidono con media e scarto quadratico medio Per un numero di tentativi molto elevato è ragionevole che si identifichino le fi e le pi. G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali
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G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali
Esercizio: *Quanto vale il valore aspettato per la distribuzione uniforme? ***Quanto vale la varianza per la distribuzione uniforme? Si provi prima con un intervallo specifico (ex, 4) e poi con un N generico. G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali
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Definizione formale di processo binomiale o bernoulliano
Ciascuna prova ha solo due esiti, che chiameremo successo e insuccesso La probabilità p di un successo in ciascuna prova resta costante per tutte le prove e non è influenzata dagli esiti precedenti (le prove sono indipendenti). La probabilità di un insuccesso è q = 1 - p. G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali
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Diagramma ad albero per la distribuzione binomiale
Si può derivare la distribuzione binomiale immaginando che il processo avvenga in sequenza, e che ad ogni “scelta” sia associata una probabilità elementare G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali
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Calcolo esplicito delle probabilità per l’albero binomiale
Prob. di avere: La probabilità degli eventi w può essere trovata osservando che ognuno dei risultati è la combinazione di eventi indipendenti non necessariamente equiprobabili, ovvero pq 3S 2S 2S 1S 2S 1S 1S 0S S: un cliente sceglie “soup”, F: sceglie “fish”. G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali
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Probabilità non identiche fra le più scelte
Notare: i diagrammi ad albero possono essere utilizzati per il calcolo di probabilità di sequenze generiche, ma non sono distribuzioni binomiali! G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali
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Distribuzione binomiale in formule
Dato un esperimento che si può verificare solo in due modi (“successo” ed “insuccesso”) mutuamente esclusivi e complementari, quindi con probabilità p e 1-p. Qual è la probabilità di avere n successi su N misure? G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali
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Definizione di fattoriale
Il fattoriale di un numero intero n si indica con n! ed è definito come: G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali
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Esempi di distribuzione binomiale
Quante teste si ottengono lanciando 10 monete? Se il 23% della popolazione della provincia di Benevento risiede nel capoluogo, su 4 persone quante risiederanno nel capoluogo? Se una fabbrica produce l’1% di pezzi difettosi, in un lotto di 20 quanti sono difettosi? D1.: Sono distribuzioni binomiali? Perché? D2.: Trovare per ognuno degli esempi i parametri della distribuzione binomiale. G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali
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Proprietà della distribuzione binomiale: il valore aspettato
Coincide, come intuibile, con il prodotto del numero di tentativi per la probabilità di successo. G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali
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Proprietà della distribuzione binomiale: la varianza
E’ proporzionale al numero di tentativi, moltiplicata per la probabilità di successo e per la probabilità di insuccesso. G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali
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Esempi di distribuzioni binomiali
Ciò che conta e’ il prodotto Np Infatti: 0.5X160 = 80 0.3X270 = 80 p=0.3 G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali
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Un esempio numerico Se si lanciano dieci monete supposte perfettamente simmetriche (o non truccate), cosa si può dire dei possibili esiti? La probabilità di successo p=1/2 Il numero di tentativi è N=10 Il valore aspettato è Np=5 La varianza è Np(1-p)=2.5 La deviazione standard è √(Np(1-p))=1.58 G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali
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Risultati del calcolo della formula binomiale per N=10, p=0.5
Successi B0.5,10(n) n Il valore aspettato (5) è il più probabile Attorno al valore aspettato in un intervallo di semiampiezza la deviazione standard (1.5) si trovano circa il 70% dei casi. G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali
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Un’applicazione Le finali di alcuni tornei di calcio si decidono calciando 6 rigori. D.: il pareggio dopo sei rigori succederà più spesso se: La probabilità di segnare per entrambe le squadre è alta (ex, p=0.8) La probabilità di segnare per entrambe le squadre è media (ex, p=0.5) La probabilità di segnare per entrambe le squadre è bassa (ex, p=0.2) G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali
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Distribuzione di Poisson
Supponiamo di avere una variabile binomiale dove Il numero molto elevato di tentativi (N) La probabilità è molto bassa (p0), ma in modo tale che il valore aspettato sia finito: Np=. Qual è la distribuzione di probabilità? In principio si potrebbe sempre calcolare la Binomiale, ma i fattoriali rendono il calcolo estremamente laborioso. La distribuzione di Poisson è il limite della Binomiale nelle ipotesi 1) e 2). G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali
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Esempi di distribuzione di Poisson
Quanti studenti iscritti in questa Facoltà hanno un altezza superiore al 95mo percentile? Una malattia rara colpisce l’1% della popolazione. Quante persone sono colpite in una città come Benevento? Quanti dei residenti in Benevento sono nati il 29 febbraio? G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali
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Distribuzione di Poisson: formulazione matematica
La distribuzione di Poisson ha un solo parametro: . Ovviamente se il valore aspettato è: Np=. D.: Trovare le distribuzioni di probabilità per gli esempi precedenti. G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali
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Distribuzione di Poisson: formulazione matematica
La distribuzione di Poisson ha un solo parametro: Ovviamente se il valore aspettato è: Np=: La varianza anche vale : G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali
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Confronto con la distribuzione di Bernoulli
m = Np si ricava da due parametri indipendenti s2 = Np(1-p) si potrebbe anche scrivere come: s2 = m(1-p) Per p molto piccola s2 m Poisson m é l’unico parametro che caratterizza la distribuzione si trova che la varianza dipende dal parametro m e s2 = m G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali
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Osservazioni (1) Un processo per essere poissoniano dovrebbe ammettere un numero infinito di tentativi e quindi ammettere un numero infinito di successi. In pratica si applica a casi in cui questo è solo approssimativamente vero. D: negli esempi di distribuzione di Poisson precedente c’è un limite al numero di successi? Quale? G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali
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Osservazioni (2) Anche se tutti i processi reali sono solo approssimativamente poissoniani è assai comodo utilizzare questa distribuzione perché è più semplice da valutare. Di fatto per N molto grande i fattoriale della distribuzione di Bernoulli sono enormi. D: qual è l’intero più grande di cui potete calcolare il fattoriale con la calcolatrice da tasca? G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali
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Estensione della distribuzione di Poisson
Supponete che per un evento non si conosca davvero il numero di tentativi: Es.: Supponiamo che una persona guardi mezz’ora di una qualsiasi partita di un turno di serie A. Se sono state segnate 22 reti nelle 9 partite, qual è la probabilità che questa persona assista a 2 reti? G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali
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Perché si può usare la distribuzione di Poisson
Si può immaginare che nell’intervallo di tempo considerato vi siano N tentativi di fare goal. La probabilità p di fare goal per ogni tentativo è sconosciuta, ma è bassa perché in tutto si sono segnate solo 22 reti in 9 partite. Se supponiamo che i tentativi siano molti (al limite, infiniti) in principio possiamo usare la distribuzione di Poisson, e per farlo basterebbe conoscere il suo valore medio m=Np. D.: Come si può stimare m=Np? G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali
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Soluzione In tutte le 9 partite vi sono 27 periodi di mezz’ora. Se sono stati segnati 22 goal in tutto, in media in ogni periodo sono stati segnati: D.: ** Come verifichereste che il metodo funziona? Provare a casa con i risultati di un qualsiasi turno di serie A. G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali
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Descrizione formale dei processi di Poisson
Un processo di Poisson si può quindi definire come un processo caratterizzato da n eventi che in un intervallo di tempo Dt : Si possono verificare nell’intervallo di tempo indipendentemente da quanto è avvenuto negli intervalli precedenti; La probabilità che si verifichi un evento è proporzionale alla durata dell’intervallo Dt, con costante di proporzionalità l; Allora si avrà un processo di Poisson con valore aspettato m=lDt: G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali
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Esercizi * Nell’esempio precedente dei goal segnati in mezz’ora, identificare le varie quantità n, Dt, l. ** Supponiamo che in un lago artificiale senza altro cibo vengono immesse trote, una ogni 10 minuti. Se ci sono 10 pescatori: Quante trote prenderanno ogni ora? Trovare i parametri del processo di Poisson. G. Filatrella: Corso di Elaborazione Statistica dei Dati Sperimentali
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