1 27 aprile 2005 Approximate Dynamic Factor Models: sviluppi recenti della teoria e applicazioni – parte seconda Andrea Brasili Strategie e Studi – UniCredit.

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1 1 27 aprile 2005 Approximate Dynamic Factor Models: sviluppi recenti della teoria e applicazioni – parte seconda Andrea Brasili Strategie e Studi – UniCredit Banca dImpresa

2 2 27 aprile 2005 Indice Riepilogo principal components in the frequency domain Opening the black box: lidentificazione degli shock primitivi Quanti sono gli shock primitivi? Ancora Bai-Ng Applicazioni: la produzione industriale per settore Stazionari o no?

3 3 27 aprile 2005 Dynamic factor model X t = ΛF t + e t di dimensioni (N*T) = (N*r) * (r*T) + (r*T) Con la finalità di prevedere Y t+1 = βF t + ε t+1

4 4 27 aprile 2005 Dynamic factor model II Per la stima è necessario risolvere questo problema di ottimizzazione: V(k) = min(NT) -1 Σ N i=1 Σ T t=1 (X it - λ k i F k t ) 2 s.t. Λ k Λ k /N = I k or F k F k /T = I k

5 5 27 aprile 2005 Dynamic factor model III La matrice dei fattori stimati è uguale a T che moltiplica i k più grandi autovalori di XX. Stimata F, Λ sarà data semplicemente da V(k) = max tr(F k (XX)F k ) … concentrating out Λ k this is equal to Λ = (F k F k ) -1 F k X

6 6 27 aprile 2005 Dynamic factor model IV X t = Common t + idiosync t X t = ΛF t + e t Questo, seguendo SW 1999, ricomprende la più generale rappresentazione in cui F 0 t = (f t, f t-1 ….. f t-q ) Tenendo presente che in ogni caso i fattori non sono identificati, cioè vale X t = ΛGGF t + e t dove GG = I

7 7 27 aprile 2005 Static vs dynamic PCA FHLR approach: dynamic principal components versus static principal components. A scopo descrittivo è più completo; in luogo della covarianza fa uso della spectral density matrix, che include leads and lags delle variabili di interesse. (spectral analysis: references Hamilton Time series analysis 1994 capp. 6 e 12; Brillinger Time series analysis 1981 specialmente cap. 9) Più adatta a descrizione che a previsione (two sided filter). FHLR hanno proposto una modifica della loro procedura che diviene un one sided filter (Eurocoin è prodotto così). SW (2004) definiscono FHLR approach al forecasting come un differente modo di pesare la matrice varcov delle osservazioni.

8 8 27 aprile 2005 Static vs dynamic PCA

9 9 27 aprile 2005 Riferimenti bibliografici Forni M. D. Giannone, M. Lippi and L. Reichlin (2004) Opening the black box: structural factor models versus structural VARs Cimadomo J. (2004) The effects of systematic monetary policy on sectors: a factor model analysis Forni M., M. Hallin, M. Lippi and L. Reichlin (2004) Monetary policy in real time Lippi M. and Thornton D. (2004) A dynamic factor analysis of the response of US interest rates to news WP FRB St.Louis Bai J. and S. Ng (2005) Determining the number of primitive shocks in factor models Eickmeier S. Business cycle transmission from the US to Germany – a structural factor approach Bundesbank DP 12/2004

10 10 27 aprile 2005 Riapplichiamo un DFM alla Stock e Watson seguendo le indicazioni di Forni Reichlin Lippi Giannone (2004). Estrazione di 4 fattori comuni. Un DFM stimato con le Componenti Principali (c.p. nel seguito) statiche lascia implicita la possibile esistenza di relazioni di lead and lags tra i fattori. Questi potrebbero essere dunque semplicemente c.l. di ritardi di altri fattori. Dynamic factor model

11 11 27 aprile 2005 Il suggerimento è di fare una proiezione su se stessi dei residui così da valutarne le relazioni di leads and lags. Quindi un VAR (in questo caso di ordine 1) sui fattori. Dopodichè sui residui di questa proiezione si applica nuovamente una scomposizione c.p. che permette di esprimere la componente comune (i fattori) in termini di shock fondamentali e tra loro incorrelati; scegliendo poi una opportuna matrice di rotazione si identificano questi shock comuni e strutturali che muovono leconomia. Dynamic factor model: lidentificazione

12 12 27 aprile 2005 Dynamic factor model Per tenere conto dei leads and lags possibili tra i fattori si fa una projection, che corrisponde alla stima di un VAR di ordine p (negli esempi, pochi peraltro), è sempre un VAR(1). (In effetti, come noto dalla letteratura sui VAR, un VAR(p) può sempre essere riscritto come un opportuno VAR(1)) f t = Af t + u t

13 13 27 aprile 2005 Dynamic factor model A questo punto si dovrebbe valutare il rango della matrice varcov dei residui, tenendo presente che lo spazio mappato dagli stessi potrebbe essere più piccolo (per le eventuali relazioni leads-lags dette sopra) di quello dei fattori. In ogni caso diventa interessante esprimere la componente comune in termini di questi shock, una volta che si sia certi siano incorrelati, si esprime quindi la componente comune in termini di rappresentazione MA X t = B(L)u t + § t Per essere certi delle proprietà di u, cioè di aver considerato la giusta dimensione e di possedere shocks che siano tra loro ortogonali, si estraggono nuovamente le componenti principali, scegliendo opportunamente il numero di queste.

14 14 27 aprile 2005 Static vs dynamic factor models X t = Common t + idiosync t x it = λ i (L)f t + e it f t =C(L)ε t Dove gli εt sono iid vectors e quindi: Dove λ(L) è la matrice dei loading dei fattori dinamici ed è di ordine s, inoltre La dimensione di f è la stessa di ε ed è definita NUMERO DEI FATTORI DINAMICI, ma in generale è diversa da F, che potenzialmente include ritardi e anticipi di f x it = λ i (L)C(L)ε t + e it

15 15 27 aprile 2005 Static vs dynamic factor models x it = λ i1 f t + λ i2 f t-1 + λ i3 f t-2 +….+ λ is f t-s + e it x it = λ i (L)f t + e it Dove ft è di dimensione q e L è il consueto operatore ritardo λ i (L) = λ i1 + λ i2 L + ….+ λ is L s Xt = ΛF t + e t …può essere riscritto in forma statica

16 16 27 aprile 2005 Static vs dynamic factor models …dove… Λ i = λ i1 λ i2 ….. ….. λ is F t = f t f t-1 ….. ….. f t-s La dimensione di F sarà dunque r = q(s+1) dove q è la dimensione di f

17 17 27 aprile 2005 Static vs dynamic factor models Bai Ng (2005) mostrano (pp7-10) che dati generati da un dynamic factor model possono sempre essere mappati in un modello statico definendo opportunamente F, che evolve come un VAR il cui ordine dipende dalla dinamica di f. La dimensione di F è sempre q(s+1) indipendentemente dallordine del VAR. Come si determina il numero dei fattori dinamici? (cioè dato r, q?). Intuitivamente è il rango della matrice dei residui del VAR stimato sui fattori statici stimati. LT suggeriscono i criteri euristici di FHLR (varie) come criteri di definizione di q.

18 18 27 aprile 2005 Static vs dynamic factor models Bai Ng (2005) mostrano che una possibile modalità è quella di operare una spectral decomposition della matrice varcov dei residui del VAR sui fattori. Se questi fossero osservati, si tratterebbe di verificare se esistano, a partire dalle innovazioni ut (di dimensione r), una matrice R(rxq) e un set di innovazioni (di dimensione q) che costituiscano le q linearmente indipendenti che spannano lo spazio di u. u t = Rε t

19 19 27 aprile 2005 Static vs dynamic factor models Con A matrice simmetrica rxr si può usare la spectral decomposition: A = BCB dove B è una matrice ortogonale e C contiene sulla diagonale gli autovalori di A A = Σ q j=1 c j β j β j = Σ r j=1 c j β j β j perchè se vi sono innovazioni l.d. A avrà alcuni autovalori = 0. BN mostrano che se i fattori (e il loro numero) sono stimati consistentemente, si può costruire una procedura basata su questo approccio per determinare q.

20 20 27 aprile 2005 Una semplice metodologia di previsione su cross section ampie: l'applicazione alle regioni italiane e alla produzione industriale per i settori ATECO Milano, giovedì 3 marzo 2005 Andrea Brasili Studi economici, Unicredit Banca dImpresa

21 21 27 aprile 2005 Dynamic factor model Disponiamo di 20 serie storiche di Pil regionali a frequenza mensile. Oppure dei dati di produzione industriale a livello settoriale (anche in questo caso una ventina di serie). Come fare previsione su queste variabili? In previsione, un modello dovrebbe catturare due elementi: gli shock di natura comune che si ripercuotono con differenti effetti su ogni regione, e gli shock di natura idiosincratica. Partiamo dal primo. Modellarlo ricorrendo ad un panel ad effetti fissi non sembra dare risultati apprezzabili (abbiamo seguito questa via per le regioni un paio di anni fa)

22 22 27 aprile 2005 I pil regionali

23 23 27 aprile 2005 Si può ampliare il dataset, il più possibile, nello stile della letteratura recente sui dynamic factor models. Abbiamo utilizzato informazioni mensili disaggregate per settore (produzione industriale) o per tipologia di beni (prezzi al consumo, prezzi alla produzione). In più qualche variabile monetaria (tassi, M2) e qualche variabile internazionale (tasso di cambio reale effettivo, tasso di cambio lira/dollaro, produzione industriale altri paesi europei). A questo punto disponiamo di un data set di 77 serie mensili. Dynamic factor model

24 24 27 aprile 2005 Dynamic factor model

25 25 27 aprile 2005 Dynamic factor model

26 26 27 aprile 2005 Riapplichiamo un DFM alla Stock e Watson seguendo le indicazioni di Forni Reichlin Lippi Giannone (2004). Estrazione di 4 fattori comuni. Un DFM stimato con le Componenti Principali (c.p. nel seguito) statiche lascia implicita la possibile esistenza di relazioni di lead and lags tra i fattori. Questi potrebbero essere dunque semplicemente c.l. di ritardi di altri fattori. Dynamic factor model

27 27 27 aprile 2005 Il suggerimento è di fare una proiezione su se stessi dei residui così da valutarne le relazioni di leads and lags. Quindi un VAR (in questo caso di ordine 1) sui fattori. Dopodichè sui residui di questa proiezione si applica nuovamente una scomposizione c.p. che permette di esprimere la componente comune (i fattori) in termini di shock fondamentali e tra loro incorrelati; scegliendo poi una opportuna matrice di rotazione si identificano questi shock comuni e strutturali che muovono leconomia. Dynamic factor model: lidentificazione

28 28 27 aprile 2005 Dynamic factor model X t = Common t + idiosync t X t = ΛF t + e t Questo, seguendo SW 1999, ricomprende la più generale rappresentazione in cui F 0 t = (f t, f t-1 ….. f t-q ) Tenendo presente che in ogni caso i fattori non sono identificati, cioè vale X t = ΛGGF t + e t dove GG = I

29 29 27 aprile 2005 Dynamic factor model Per tenere conto dei leads and lags possibili tra i fattori si fa una projection, che corrisponde alla stima di un VAR di ordine p (negli esempi, pochi peraltro), è sempre un VAR(1). f t = Af t + u t

30 30 27 aprile 2005 Dynamic factor model A questo punto si valuta il rango della matrice varcov dei residui, tenendo presente che lo spazio mappato dagli stessi potrebbe essere più piccolo (per le eventuali relazioni leads- lags dette sopra) di quello dei fattori. In ogni caso diventa interessante esprimere la componente comune in termini di questi shock, una volta che si sia certi siano incorrelati, si esprime quindi la componente comune in termini di rappresentazione MA X t = B(L)u t + § t Per essere certi delle proprietà di u, cioè di aver considerato la giusta dimensione e di possedere shocks che siano tra loro ortogonali, si estraggono nuovamente le componenti principali, scegliendo opportunamente il numero di queste.

31 31 27 aprile 2005 Dynamic factor model

32 32 27 aprile 2005 Dynamic factor model Concentrandoci sulla parte comune, Common t = B(L)u t C(L)v t = B(L)Hu t v t = Hu t H è una unitary matrix (HH=I) che può essere determinata per cercare linterpretazione strutturale dei residui. Stiamo cercando degli shock che siano idiosincratici, estraiamo di nuovo le componenti principali dal vettore u e poi lo premoltiplichiamo per una opportuna matrice H.

33 33 27 aprile 2005 Abbiamo determinato gli shock comuni e strutturali che muovono leconomia. Nellesercizio specifico qui descritto, dei quattro della prima parte ne abbiamo tenuti tre (si noti che i criteri per decidere il numero dei fattori non sono mai univoci). Resta da capire cosa siano questi shock. Anche perché è noto che la scomposizione in fattori comuni è unica a meno di una rotazione. La procedura sin qui descritta contiene comunque gli ingredienti per calcolare le funzioni di risposta ad impulso (in termini della matrice H). Dynamic factor model: lidentificazione

34 34 27 aprile 2005 Per lidentificazione si può fare ricorso a short run restrictions, long run restriction, agnostic procedures… vi sono differenti modalità. Tutte passano per una via tradizionale (nella letteratura sui modelli fattoriali e sulle componenti principali): si cerca di definire, sulla base di vincoli provenienti dagli approcci sopra descritti, i parametri della matrice di rotazione H. Dynamic factor model: lidentificazione I

35 35 27 aprile 2005 Per lidentificazione si può fare ricorso a short run restrictions: si impone che sia zero limpatto contemporaneo degli shock su alcune variabili e per questa via si determinano i parametri della matrice di rotazione H, identificando gli shocks In questo caso ho imposto: 1) che sia zero limpatto di uno shock di domanda estera (ragioni di scambio + evoluzione della domanda dei partner commerciali) sul CPI education. Dynamic factor model: lidentificazione II

36 36 27 aprile 2005 2) che sia zero limpatto contemporaneo di uno shock alle commodities sulla voce della produzione: estrazione di minerali. 3) che sia zero limpatto contemporaneo di uno shock alla domanda domestica sul tasso di cambio lira/dollaro. A questo punto abbiamo dato un nome ai nostri small shock Dynamic factor model: lidentificazione

37 37 27 aprile 2005 devo mostrare come si sceglie la matrice di rotazione. E le impulse response function... Poi forecasts Poi un cenno a Panic + eikmeier Dynamic factor model: lidentificazione

38 38 27 aprile 2005 Dynamic factor model: lidentificazione F = (diag(g*[cos(x(1))*cos(x(2)) -sin(x(1))*cos(x(2)) - sin(x(2)); (sin(x(1))*cos(x(3))-cos(x(1))*sin(x(2))*sin(x(3))) (cos(x(1))*cos(x(3))+... sin(x(1))*sin(x(2))*sin(x(3))) -cos(x(2))*sin(x(3)); (sin(x(1))*sin(x(3))+cos(x(1))*sin(x(2))*cos(x(3)))... (cos(x(1))*sin(x(3))-sin(x(1))*sin(x(2))*cos(x(3))) cos(x(2))*cos(x(3))]')-b);

39 39 27 aprile 2005 Dynamic factor model: lidentificazione

40 40 27 aprile 2005 Dynamic factor model: lidentificazione

41 41 27 aprile 2005 Dynamic factor model: lidentificazione

42 42 27 aprile 2005 Dynamic factor model: lidentificazione

43 43 27 aprile 2005 Dynamic factor model: lidentificazione

44 44 27 aprile 2005 So what? Nella letteratura teorica questa roba può essere utile per considerazioni come quelle che attengono ai VAR strutturali: funzioni risposta ad impulso, decomposizione della varianza etc.etc. Per dei praticoni (meglio practitioners, no?) come noi, si può vedere se questi shock hanno una qualche rispondenza con variabili per le quali per altra via abbiamo previsioni e/o uno scenario. E poi si fa come in finance: nei modelli di tasso si identificano alcuni punti della curva che determinano il movimento degli altri, facendo scenario su quelli si fa previsione su ogni asset che compone il portafoglio. Dynamic factor model: forecasting

45 45 27 aprile 2005 Qui si può mettere in relazione lo shock sulle commodities con oil price e tasso di cambio (anche CRB ma non ho avuto tempo) Lo shock sulla domanda estera ancora con il tasso di cambio, e con la domanda per consumi negli US Lo shock sulla domanda domestica potrebbe essere posto in relazione allandamento previsto dei consumi, privati e pubblici, e degli investimenti. (su queste variabili abbiamo ottime ed abbondanti previsioni). Limbuto rovesciato

46 46 27 aprile 2005 Risultato: facendo previsione di questi shock si determina una previsione della componente comune di tutte (volendo) le 77 variabili nel sistema. Diventando più bravi, a queste occorrerebbe aggiungere un pezzo per la parte idiosincratica. (se il settore tessile va in un certo modo uò dipendere anche da elementi specifici del settore e non solo da elementi comuni). Limbuto rovesciato

47 47 27 aprile 2005 I grafici che seguono presentano i risultati dellapplicazione alle regioni e alla produzione industriale. La parte regionale labbiamo già utilizzata per fornire alle pianificazioni lo scenario macro+impieghi, quello per i settori è nuovo ed è quello cui fanno riferimento i particolari metodologici prima descritti. Limbuto rovesciato

48 48 27 aprile 2005 Le previsioni sulle regioni

49 49 27 aprile 2005 In sostanza si passa per la possibilità di produrre funzioni di risposta a impulso per le variabili che poi, fatta la proiezione degli shocks divengono previsioni. E si possono fare anche scenari: nei grafici che seguono è presentato loutput del modello a fronte dello scenario base (tipo network) e di uno con il prezzo del petrolio più alto. Lultimo grafico mostra la previsione sulle produzioni industriali per settore riproporzionata al livello complessivo che abbiamo in mente e che viene da altri modelli. Lapplicazione ai settori

50 50 27 aprile 2005 Le previsioni sui settori: scenario base

51 51 27 aprile 2005 Le previsioni sui settori: brent a 55-60 $

52 52 27 aprile 2005 Le previsioni sui settori (base)

53 53 27 aprile 2005 Le previsioni sui settori (base)

54 54 27 aprile 2005 Contro: La prima parte (fino alla previsione) è alla frontiera (proud to be there, but a little insecure): i paper citati sono tutti WP, forse il primo (GFR2002) sta per essere pubblicato. La seconda parte, anche se presente in finanza, è del tutto nuova in macro (siamo o no practitioners?). Cè un certo grado di empirismo nella determinazione del numero dei fattori (i criteri qui utilizzati sono quelli di BAI e NG 2002), e un po anche nella fase di identificazione. Occorre ancora fare verifiche della qualità delle previsioni che si determinano. Una cosa ovvia che accade è che facendo scenario sugli shock, la varianza di questi nella parte previsiva scende di molto rispetto alla parte storica. Pro e contro

55 55 27 aprile 2005 Pro: A dispetto di queste slide è facile. Consente di avere una previsione coerente sulla cross section considerata (le alternative sono VAR separati per settori o regioni, ma come si mettono insieme?) Con la stessa macchina si possono fare previsioni sui settori e sulle regioni, una volta che la tecnica è padroneggiata ci sono fortissime economie di scala e di scopo. Pro e contro

56 56 27 aprile 2005 Bai e Ng (2004) mostrano come lutilizzo di una struttura fattoriale sia utile per esplorare la presenza di unit root (pervasive o specifiche) in cross section ampie. Da qui, Eickmeier (2005) mostra come si possa stimare come visto precedentemente un DFM poi integrare i fattori ottenuti ed analizzarne la natura e le possibili relazioni di cointegrazione. Ai fattori stimati viene poi applicato lapparato sin qui descritto… Stazionarietà?

57 57 27 aprile 2005 Riferimenti bibliografici Bai J. and S. Ng (2004) A panic attack on unit root and cointegration Econometrica 72 n 4 pp 1127-1177 Eickmeier S. (2005) Common stationary and non-stationary factors in the Euro area analyzed in a large scale factor model Bundesbank DP n02/2005 Breitung J. (2005) Estimation and inference in Dynamic factor models WP University of Bonn