RICORSIONE: DEFINIZIONI RICORSIVE

RICORSIONE: DEFINIZIONI RICORSIVE
Definizione ricorsiva: definizione di una classe di “oggetti” in termini di una sottoclasse degli “oggetti” stessi. Consiste di due fasi BASE. Si definiscono uno o più “oggetti” PASSO Induttivo. Si definiscono altri “oggetti” a partire da quelli già definiti. Es. n fattoriale: n!=1x2x…xn= prodotto dei primi n interi Definizione ricorsiva di n fattoriale, f(n): BASE. f(1)=1 PASSO. f(n)=f(n-1)Xn, per n>1 Applicando successivamente il passo induttivo a partire da f(1) otteniamo: f(2)=f(1)x2=2, f(3)=f(2)x3=2x3=6, f(4)=f(3)x4=6x4=24,…

Definizione ricorsiva di n fattoriale, f(n):
BASE. f(1)=1 PASSO. f(n)=f(n-1)Xn Mostriamo che la definizione data è corretta, cioè consideriamo la seguente affermazione S(n): f(n)=n! e dimostriamo che S(n) vera per ogni n>1.

BASE. f(1)=1 PASSO. f(n)=f(n-1)Xn Mostriamo che la definizione data è corretta, cioè consideriamo la seguente affermazione S(n): f(n)=n! e dimostriamo che S(n) vera per ogni n>1. Dimostrazione per induzione. BASE. n=1. Si ha f(n)=1=1!  S(1) vera

BASE. f(1)=1 PASSO. f(n)=f(n-1)Xn Mostriamo che la definizione data è corretta, cioè consideriamo la seguente affermazione S(n): f(n)=n! e dimostriamo che S(n) vera per ogni n>1. Dimostrazione per induzione. BASE. n=1. Si ha f(n)=1=1!  S(1) vera PASSO. Assumiamo come i.i. che S(n) vera (f(n)=n!) Vogliamo mostrare che S(n+1) è vera.

BASE. f(1)=1 PASSO. f(n)=f(n-1)Xn Mostriamo che la definizione data è corretta, cioè consideriamo la seguente affermazione S(n): f(n)=n! e dimostriamo che S(n) vera per ogni n>1. Dimostrazione per induzione. BASE. n=1. Si ha f(n)=1=1!  S(1) vera PASSO. Assumiamo come i.i. che S(n) vera (f(n)=n!). Vogliamo mostrare che S(n+1) è vera. Si ha f(n+1)=f(n)x(n+1)=n!x(n+1) (per i.i.) =(1x…xn)x(n+1)=1x…x(n+1)= (n+1)! Quindi S(n+1) è vera.

Definizione ricorsiva dell’ordine lessicografico
Definiamo in modo ricorsivo coppie di stringhe W ed X tali che W<X Indichiamo con e la stringa vuota. BASE. 1. e<W, per ogni stringa W non vuota 2. se c<d (c,d caratteri) allora per ogni coppia di stringhe W,X risulta cW<dX PASSO. Date le stringhe W ed X, se W<X allora per c ogni carattere c risulta cW<cX

BASE e<W, per ogni W non vuota 2. se c<d  cW<dX, per ogni W,X PASSO. W<X  cW<cX, per ogni carattere c Esercizio. Mostrare che se X<Y secondo la definizione ricorsiva data, allora X precede Y in ordine lessicografico. [Suggerimento: procedere per induzione sulla lunghezza del prefisso comune alle due stringhe] Ricorda: Ordine lessicografico Data una coppia di sequenze c1c2 …ck, d1d2…dm risulta c1c2 …ck < d1d2…dm 1) se k<m e c1=d1,…,ck=dk (la prima è l’inizio della seconda) 2) oppure c1=d1,..,ci-1=di-1, ci<di per qualche i. (ordine dato dal primo simbolo in cui le due sequenze differiscono)

BASE e<W, per ogni W non vuota 2. se c<d  cW<dX, per ogni W,X PASSO. W<X  cW<cX, per ogni carattere c Esercizio. Mostrare che se X<Y secondo la definizione ricorsiva data, allora X precede Y in ordine lessicografico. [Suggerimento: procedere per induzione sulla lunghezza del prefisso comune alle due stringhe] Affermazione S(n): Date due stringhe X,Y con prefisso comune lungo n, se X<Y allora X precede Y in ordine lessicografico Si vuole provare che S(n) vera per ogni n>0.

Definizione ricorsiva di espressioni aritmetiche
BASE. Singole variabili, interi e reali sono espressioni aritmetiche PASSO. Se E1 ed E2 sono espressioni aritmetiche allora (E1+E2), (E1-E2), (E1*E2), (E1/E2), (-E1) sono espressioni aritmetiche.

BASE. Singole variabili, interi e reali sono espressioni aritmetiche PASSO. Se E1 ed E2 sono espressioni aritmetiche allora (E1+E2), (E1-E2), (E1*E2), (E1/E2), (-E1) sono espressioni aritmetiche. Es. (y*(-(x+9)) è una espressione aritmetica.

BASE. Singole variabili, interi e reali sono espressioni aritmetiche PASSO. Se E1 ed E2 sono espressioni aritmetiche allora (E1+E2), (E1-E2), (E1*E2), (E1/E2), (-E1) sono espressioni aritmetiche. Es. (y*(-(x+9)) è una espressione arirmetica. Verifica: Usando la BASE: x,y e 9 sono espressioni aritmetiche

BASE. Singole variabili, interi e reali sono espressioni aritmetiche PASSO. Se E1 ed E2 sono espressioni aritmetiche allora (E1+E2), (E1-E2), (E1*E2), (E1/E2), (-E1) sono espressioni aritmetiche. Es. (y*(-(x+9)) è una espressione arirmetica. Verifica: Usando la BASE: x,y e 9 sono espressioni aritmetiche Usando il PASSO: x e 9 sono e.a.  (x+9) è e.a.

BASE. Singole variabili, interi e reali sono espressioni aritmetiche PASSO. Se E1 ed E2 sono espressioni aritmetiche allora (E1+E2), (E1-E2), (E1*E2), (E1/E2), (-E1) sono espressioni aritmetiche. Es. (y*(-(x+9)) è una espressione arirmetica. Verifica: Usando la BASE: x,y e 9 sono espressioni aritmetiche Usando il PASSO: x e 9 sono e.a.  (x+9) è e.a. Usando il PASSO: (x+9) è e.a  (-(x+9)) è e.a.

BASE. Singole variabili, interi e reali sono espressioni aritmetiche PASSO. Se E1 ed E2 sono espressioni aritmetiche allora (E1+E2), (E1-E2), (E1*E2), (E1/E2), (-E1) sono espressioni aritmetiche. Es. (y*(-(x+9))) è una espressione arirmetica. Verifica: Usando la BASE: x,y e 9 sono espressioni aritmetiche Usando il PASSO: x e 9 sono e.a.  (x+9) è e.a. Usando il PASSO: (x+9) è e.a  (-(x+9)) è e.a. Usando il PASSO: y e (-(x+9)) e.a.  (y*(-(x+9))) è e.a.

FUNZIONI RICORSIVE All’interno della funzione P c’è una chiamata a P (su input diverso).

Funzioni ricorsive  Definizioni ricorsive
All’interno della funzione P c’è una chiamata a P (su input diverso). Funzioni ricorsive  Definizioni ricorsive Es. Calcolo di n! usando la definizione ricorsiva di fattoriale. Base. 1!=1 Passo. n!= (n-1)! X n

Funzioni ricorsive  Definizioni ricorsive
All’interno della funzione P c’è una chiamata a P (su input diverso). Funzioni ricorsive  Definizioni ricorsive Es. Calcolo di n! usando la definizione ricorsiva di fattoriale. Base. 1!=1 Passo. n!= (n-1)! X n Int fact(int n) { if(n<=1) return 1 /*Base*/ else return n*fact(n-1); /*Passo*/ }

n=1: fact(1) termina e restituisce 1!=1
Int fact(int n) { if(n<=1) return 1 /*Base*/ else return n*fact(n-1); /*Passo*/ } n=1: fact(1) termina e restituisce 1!=1

n=1: fact(1) termina e restituisce 1!=1 chiama n=2: fact(2) fact(1) 1
Int fact(int n) { if(n<=1) return 1 /*Base*/ else return n*fact(n-1); /*Passo*/ } n=1: fact(1) termina e restituisce 1!=1 chiama n=2: fact(2) fact(1) 1

Int fact(int n) { if(n<=1) return 1 /*Base*/ else return n*fact(n-1); /*Passo*/ } n=1: fact(1) termina e restituisce 1!=1 chiama n=2: fact(2) fact(1) 1 chiama chiama n=3: fact(3) fact(2) fact(1)

Int fact(int n) { if(n<=1) return 1 /*Base*/ else return n*fact(n-1); /*Passo*/ } n=1: fact(1) termina e restituisce 1!=1 chiama n=2: fact(2) fact(1) 1 chiama chiama n=3: fact(3) fact(2) fact(1) chiama chiama chiama n: fact(n) fact(n-1) … fact(1) (n-1)! (n-2)!

SelectionSort RICORSIVO
Idea alla base del SelectionSort: Array A diviso in due parti A[0..i-1] ordinato A[i..n-1] elementi più grandi da ordinare Trova min A[i..n-1], sia A[small] Scambia A[i] ed A[small] 2. Ordina la parte non ordinata, cioè A[i+1..n-1]

Idea alla base del SelectionSort: Array A diviso in due parti A[0..i-1] ordinato A[i..n-1] elementi più grandi da ordinare Trova min A[i..n-1], sia A[small] Scambia A[i] ed A[small] 2. Ordina la parte non ordinata, cioè A[i+1..n-1] BASE. Se i=n-1, la parte da ordinare è A[n-1], ok. PASSO. Se i<n-1, trova min A[i..n-1], scambialo con A[i]; ordina (ricorsivamente) A[i+1..n-1]

BASE. Se i=n-1, la parte da ordinare è A[n-1], ok. PASSO. Se i<n-1, trova min A[i..n-1], scambialo con A[i]; ordina (ricorsivamente) A[i+1..n-1] void Rec- SelectionSort(int A[], int i, int n) int j,small,temp; { if (i<n-1) /* Base: i=n-1, Esci*/ { /*Esegui Passo*/ small=i; for(j=i+1, j<n,j++) if (A[j]<A[small]) small=j; /*trova min*/ temp=A[small]; A[small]=A[i]; A[i]=temp; /*scambia*/ Rec-SelectionSort(A,i+1,n) }

Numeri di FIBONACCI BASE. fib(0)=fib(1)=1;
PASSO. fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2)

Numeri di FIBONACCI BASE. fib(0)=fib(1)=1;
PASSO. fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2) int Fib (int n) { if (i<=1) return 1 /* Base*/ else return Fib(n-1)+Fib(n-2); /* Passo*/ }

n=0, oppure n=1: restituisce 1 Fib(1) n=2: Fib(2)
Numeri di FIBONACCI int Fib (int n) { if (i<=1) return 1 /* Base*/ else return Fib(n-1)+Fib(n-2); /* Passo*/ } n=0, oppure n=1: restituisce 1 Fib(1) n=2: Fib(2)

n=0, oppure n=1: restituisce 1 Fib(1) n=2: Fib(2) Fib(0)
Numeri di FIBONACCI int Fib (int n) { if (i<=1) return 1 /* Base*/ else return Fib(n-1)+Fib(n-2); /* Passo*/ } n=0, oppure n=1: restituisce 1 Fib(1) n=2: Fib(2) Fib(0)

n=0, oppure n=1: restituisce 1 Fib(1) n=2: Fib(2) Fib(0)
Numeri di FIBONACCI int Fib (int n) { if (i<=1) return 1 /* Base*/ else return Fib(n-1)+Fib(n-2); /* Passo*/ } n=0, oppure n=1: restituisce 1 Fib(1) n=2: Fib(2) Fib(0) Fib(2) n=3: Fib(3) Fib(0)

Numeri di FIBONACCI Fib(1) Fib(2) n=3: Fib(3) Fib(0) Fib(3) Fib(0)
int Fib (int n) { if (i<=1) return 1 /* Base*/ else return Fib(n-1)+Fib(n-2); /* Passo*/ } Fib(1) Fib(2) n=3: Fib(3) Fib(0) Fib(3) Fib(0) n=4: Fib(4) Fib(1)

Numeri di FIBONACCI Fib(1) Fib(2) n=3: Fib(3) Fib(0) Fib(3) Fib(0)
int Fib (int n) { if (i<=1) return 1 /* Base*/ else return Fib(n-1)+Fib(n-2); /* Passo*/ } Fib(1) Fib(2) n=3: Fib(3) Fib(0) Fib(3) Fib(0) n=4: Fib(4) Fib(1) Fib(0)

INDUZIONE COMPLETA Vogliamo dimostrare che S(n) vale per ogni intero n>a. Dimostrazione per induzione completa: BASE INDUTTIVA. Si dimostra che l’affermazione è vera per il primo valore, cioè S(a) è vera. PASSO INDUTTIVO. Assumiamo che S(a), S(a+1),…, S(n-1) sono tutte vere e dimostriamo che anche S(n) è vera.

VALIDITA’ delle dim. per INDUZIONE Completa
Base: S(a) vera Passo induttivo Dim. per induzione S(n) vera, ogni n>a Minimo controesempio. Supponiamo S(n) falsa per qualche n. Sia b il più piccolo intero tale che S(b) falsa. DEDUCIAMO: Se b=a contraddiciamo la base. Quindi b>a. Essendo b-1>a e b = minimo intero per cui l’affermazione è falsa, si ha S(a),…, S(b-1) vere Per il Passo Induttivo, se S(a),…,S(b-1) sono vere allora anche S(b) è vera. Abbiamo una contraddizione con l’assunzione che S(b) falsa. Quindi ipotesi è sbagliata e non esiste intero per cui l’affermazione è falsa.

Mostriamo per induzione completa l’affermazione
Numeri di FIBONACCI int Fib (int n) { if (n<=1) return 1 /* Base*/ else return Fib(n-1)+Fib(n-2); /* Passo*/ } Mostriamo per induzione completa l’affermazione S(n): il numero di chiamate fatte per calcolare Fib(n) è maggiore di fib(n). Per ogni n > 2

Numeri di FIBONACCI int Fib (int n) { if (n<=1) return 1 /* Base*/ else return Fib(n-1)+Fib(n-2); /* Passo*/ } Mostriamo per induzione completa l’affermazione S(n): il numero di chiamate fatte per calcolare Fib(n) è maggiore di fib(n). Per ogni n > 2 BASE INDUTTIVA. S(2) è vera. 2. PASSO Ind. S(2), …, S(n-1) implicano S(n) vera.

Numeri di FIBONACCI int Fib (int n) { if (n<=1) return 1 /* Base*/ else return Fib(n-1)+Fib(n-2); /* Passo*/ } Mostriamo per induzione completa l’affermazione S(n): il numero di chiamate fatte per calcolare Fib(n) è maggiore di fib(n). Per ogni n>1. BASE. Se n=2 abbiamo 3 chiamate, fib(2)=2. S(2) è vera.

Numeri di FIBONACCI int Fib (int n) { if (n<=1) return 1 /* Base*/ else return Fib(n-1)+Fib(n-2); /* Passo*/ } Mostriamo per induzione completa l’affermazione S(n): il numero di chiamate (ricorsive) fatte per calcolare Fib(n) è maggiore di fib(n). Per ogni n>1. BASE. Se n=2 abbiamo 3 chiamate, fib(2)=2. S(2) vera. PASSO. Assumiamo S(2), …, S(n-1) vere. Il numero di chiamate fatte per calcolare Fib(n) è 1+(numero chiamate per Fib(n-1)) +(numero chiamate per Fib(n-2))> (per i.i.) 1+fib(n-1)+fib(n-2)=1+fib(n)>fib(n) Quindi S(n) vera.

Mostrare per induzione completa l’affermazione S(n): Per ogni n>5.
Numeri di FIBONACCI BASE. fib(0)=fib(1)=1; PASSO. fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2) Esercizio. Mostrare per induzione completa l’affermazione S(n): Per ogni n>5.

Scrivere un programma iterativo per il calcolo di fib(n).
Numeri di FIBONACCI BASE. fib(0)=fib(1)=1; PASSO. fib(n)=fib(n-1)+fib(n-2) Esercizio. Scrivere un programma iterativo per il calcolo di fib(n). Nota: è sufficiente un ciclo iterativo (con n iterazioni)

Sorting: MERGESORT Vogliamo ordinare lista (a1,…,an). Dividi lista in 2 sottoliste aventi (quasi) la stessa dimensione: (a1,a3,a5,…) e (a2,a4,…) 2. Ordina le due liste separatamente 3. Fai “merge” delle due lista ottenute (ordinate) in una unica lista ordinata

Esempio di una tecnica generale: “Divide and Conquer”
Sorting: MERGESORT Esempio di una tecnica generale: “Divide and Conquer” Sottoproblema 1 (simile, più semplice) Sottoproblema 2 Problema …… Sottoproblema n Ogni sottoproblema risolto con la stessa tecnica. Finchè non si raggiunge un sottopr. risolvibile direttamente.

Esempio di una tecnica generale: “Divide and Conquer”
Sorting: MERGESORT Esempio di una tecnica generale: “Divide and Conquer” Sottoproblema 1 (simile, più semplice) Sottoproblema 2 Problema …… Sottoproblema n Ogni sottoproblema risolto con la stessa tecnica. Finchè non si raggiunge un sottopr. risolvibile direttamente. soluzione Sottoproblema 1 soluzione Sottoproblema 2 soluzione Problema … … soluzione Sottoproblema n

Sorting: MERGESORT Vogliamo ordinare lista (a1,…,an). Dividi lista in 2 sottoliste aventi (quasi) la stessa dimensione: (a1,a3,a5,…) e (a2,a4,…) 2. Ordina le due liste separatamente 3. Fai “merge” delle due lista ottenute (ordinate) in una unica lista ordinata

MERGE (di due liste ordinate L1,L2  M)
Es. L1=(1,2,7,7,9), L2=(2,4,7,8)  M=(1,2,2,4,7,7,7,8,9) - Trova il minimo tra il primo elemento di L1 e di L2 Rimuovilo dalla lista di appartenenza ed aggiungilo ad M. - Ripeti L1=(1,2,7,7,9), L2=(2,4,7,8), M=(), minimo=1 in L1

Es. L1=(1,2,7,7,9), L2=(2,4,7,8)  M=(1,2,2,4,7,7,7,8,9) - Trova il minimo tra il primo elemento di L1 e di L2 Rimuovilo dalla lista di appartenenza ed aggiungilo ad M. - Ripeti L1=(1,2,7,7,9), L2=(2,4,7,8), M=(), minimo=1 in L1 L1=(2,7,7,9), L2=(2,4,7,8), M=(1), minimo=2 in L1

Es. L1=(1,2,7,7,9), L2=(2,4,7,8)  M=(1,2,2,4,7,7,7,8,9) - Trova il minimo tra il primo elemento di L1 e di L2 Rimuovilo dalla lista di appartenenza ed aggiungilo ad M. - Ripeti L1=(1,2,7,7,9), L2=(2,4,7,8), M=(), minimo=1 in L1 L1=(2,7,7,9), L2=(2,4,7,8), M=(1), minimo=2 in L1 L1=(7,7,9), L2=(2,4,7,8), M=(1,2), minimo=2 in L2

L1=(1,2,7,7,9), L2=(2,4,7,8), M=(), minimo=1 in L1 L1=(2,7,7,9), L2=(2,4,7,8), M=(1), minimo=2 in L1 L1=(7,7,9), L2=(2,4,7,8), M=(1,2), minimo=2 in L2 L1=(7,7,9), L2=(4,7,8), M=(1,2,2), minimo=4 in L2 L1=(7,7,9), L2=(7,8), M=(1,2,2,4), minimo=7 in L1 L1=(7,9), L2=(7,8), M=(1,2,2,4,7), minimo=7 in L1 L1=(9), L2=(7,8), M=(1,2,2,4,7,7), minimo=7 in L2 L1=(9), L2=(8), M=(1,2,2,4,7,7,7), minimo=8 in L1 L1=(9), L2=(), M=(1,2,2,4,7,7,7,8), L2 vuota Aggiungi L2 ad M. M= =(1,2,2,4,7,7,7,8,9).

Ind.: Split di (a1,a2,…) in (a1,a3,…) e (a2,a4,…)
MERGESORT BASE: Se la lista contiene 0 o 1 elemento, stop Ind.: Split di (a1,a2,…) in (a1,a3,…) e (a2,a4,…) Mergesort delle due liste separatamente Merge delle 2 liste ordinate

MERGESORT

MERGESORT 7-9-1 2-7

MERGESORT 7-9-1 2-7 7-1 9

MERGESORT 7-9-1 2-7 7-1 9 7 1

MERGESORT 7-9-1 2-7 7-1 9 7 1 7 1 1-7

MERGESORT 7-9-1 2-7 7-1 9 7 1 7 1 1-7 9 1-7-9

MERGESORT 7-9-1 2-7 7-1 9 2 7 7 1 7 1 1-7 9 2 7 1-7-9 2-7

MERGESORT 7-9-1 2-7 4-7 8-2 7-1 9 2 7 7 1 7 1 1-7 9 2 7 1-7-9 2-7

MERGESORT 7-9-1 2-7 4-7 8-2 7-1 9 2 7 4 7 7 1 7 1 1-7 9 2 4 7 7 1-7-9 2-7 4-7

MERGESORT 7-9-1 2-7 4-7 8-2 7-1 9 2 7 4 7 8 2 7 1 7 1 8 2 1-7 2 4 7 9 7 2-8 1-7-9 2-7 4-7

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