Metodi Quantitativi per Economia, Finanza e Management Lezione n°6.

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1 Metodi Quantitativi per Economia, Finanza e Management Lezione n°6

2 Statistica descrittiva bivariata Indaga la relazione tra due variabili misurate. Si distingue rispetto alla tipologia delle variabili indagate: var. qualitative/quantitative discrete: tavole di contingenza (o a doppia entrata) var. quantitative: analisi di correlazione lineare una var. qualitativa e una quantitativa: confronto tra le medie

3 Test per lo studio dellassociazione tra variabili Nella teoria dei test, il ricercatore fornisce ipotesi riguardo la distribuzione della popolazione; tali Ip sono parametriche se riguardano il valore di uno ò più parametri della popolazione conoscendone la distribuzione a meno dei parametri stessi; non parametriche se prescindono dalla conoscenza della distribuzione della popolazione. Obiettivo dei test: come decidere se accettare o rifiutare unipotesi statistica alla luce di un risultato campionario. Esistono due ipotesi: H 0 e H 1, di cui la prima è lipotesi nulla, la seconda lipotesi alternativa la quale rappresenta, di fatto, lipotesi che il ricercatore sta cercando di dimostrare.

4 Test per lo studio dellassociazione tra variabili Si può incorrere in due tipologie di errore: Stato di Natura Decisione Non Rifiutare H 0 No errore Errore Secondo Tipo Rifiutare H 0 Errore Primo Tipo Possibili Risultati Verifica di Ipotesi H 0 Falsa H 0 Vera No Errore

5 Errore di Primo Tipo –Rifiutare unipotesi nulla vera –Considerato un tipo di errore molto serio La probabilità dellerrore di primo tipo è Chiamato livello si significatività del test Fissato a priori dal ricercatore Test per lo studio dellassociazione tra variabili

6 Errore di Secondo Tipo –Non rifiutare unipotesi nulla falsa La probabilità dellerrore di secondo tipo è β Test per lo studio dellassociazione tra variabili

7 Stato di Natura Decisione Non Rifiutare H 0 No errore (1 - ) Errore Secondo Tipo ( β ) Rifiutare H 0 Errore Primo Tipo ( ) Possibili Risultati Verifica di Ipotesi H 0 Falsa H 0 Vera Legenda: Risultato (Probabilità) No Errore ( 1 - β ) Test per lo studio dellassociazione tra variabili

8 Errore di primo tipo ed errore di secondo tipo non si posso verificare contemporanemente Errore di primo tipo può occorrere solo se H 0 è vera Errore di secondo tipo può occorrere solo se H 0 è falsa Se la probabilità dellerrore di primo tipo ( ), allora la probabilità dellerrore di secondo tipo ( β ) Test per lo studio dellassociazione tra variabili

9 Lettura di un test statistico (1) Esempio: 1) Ipotesi b1= b2 =....=bk = 0H0:H0: H1:H1: bi = 0 2) Statistica test Statistica F 3) p-value Rappresenta la probabilità di commettere lerrore di prima specie. Può essere interpretato come la probabilità che H 0 sia vera in base al valore osservato della statistica test

10 Lettura di un test statistico (2) Se p-value piccolo RIFIUTO H 0 Altrimenti ACCETTO H 0

11 Test χ² per lindipendenza statistica Si considera la distribuzione χ², con un numero di gradi di libertà pari a (k-1)(h-1), dove k è il numero di righe e h il numero di colonne della tabella di contingenza. Qui: H 0 :indipendenza statistica tra X e Y H 1 : dipendenza statistica tra X e Y La regione di rifiuto cade nella coda di destra della distribuzione Regione di rifiuto 0 1.1 2.2 3.3 4.4 5.5 6.6 7.7 8.8 9.9 11 0.2 0.15 0.1 0.05 0 La regione di rifiuto è caratterizzata da valori relativamente elevati di χ²; se il livello di significatività è al 5%, si rifiuta per χ²> χ² 0.95

12 Test χ² per lindipendenza statistica

13 Test t per lindipendenza lineare Questo test verifica lipotesi di indipendenza lineare tra due variabili, partendo dallindice di correlazione lineare ρ. Si ha: H 0 : indipendenza lineare tra X e Y (ρ popolaz =0) H 1 : dipendenza lineare tra X e Y (ρ popolaz 0) La statistica test è distribuita come una t di Student con n-2 gradi di libertà, e tende a crescere allaumentare dellampiezza campionaria t= ρ (n-2)/ (1- ρ²)

14 Regione di rifiuto La regione di rifiuto è caratterizzata da valori relativamente elevati di t in modulo; se il livello di significatività è al 5%, si rifiuta per |t| >t 0,975 Test t per lindipendenza lineare

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16 Test F per la verifica di ipotesi sulla differenza tra medie Si prende in considerazione la scomposizione della varianza; qui H 0 : le medie sono tutte uguali tra loro H 1 : esistono almeno due medie diverse tra loro La statistica test da utilizzare, sotto lipotesi H 0, si distribuisce come una F di Fisher con (c-1,n-1) gradi di libertà. Tende a crescere allaumentare della varianza tra medie e al diminuire della variabilità interna alle categorie. Cresce inoltre allaumentare dellampiezza campionaria.

17 La regione di rifiuto cade nella coda di destra della distribuzione, cioè è caratterizzata da valori relativamente elevati di F; se il livello di significatività è 5%, si rifiuta per F> F 0,95 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 0.7 1.4 2.1 2.8 3.5 4.2 4.9 Regione di rifiuto Test F per la verifica di ipotesi sulla differenza tra medie

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20 Analisi fattoriale Quando le variabili considerate sono numerose spesso risultano tra loro correlate. Numerosità e correlazione tra variabili porta a difficoltà di analisi => ridurre il numero (semplificando lanalisi) evitando, però, di perdere informazioni rilevanti. LAnalisi Fattoriale E una tecnica statistica multivariata per lanalisi delle correlazioni esistenti tra variabili quantitative. A partire da una matrice di dati nxp con p variabili originarie, consente di sintetizzare linformazione in un set ridotto di variabili trasformate (i fattori latenti).

21 Analisi fattoriale Perché sintetizzare mediante limpiego della tecnica? Se linformazione è dispersa tra più variabili correlate tra loro, le singole variabili faticano da sole a spiegare il fenomeno oggetto di studio, mentre combinate tra loro risultano molto più esplicative. Esempio: lattrattività di una città da cosa è data? Dalle caratteristiche del contesto, dalla struttura demografica della popolazione, dalla qualità della vita, dalla disponibilità di fattori quali capitale, forza lavoro, know-how, spazi, energia, materie prime, infrastrutture, ecc. I fattori latenti sono concetti che abbiamo in mente ma che non possiamo misurare direttamente.

22 Analisi fattoriale Le ipotesi del Modello Fattoriale Variabili Quantitative x 1, x 2,......, x i,......... x p Info x i = Info condivisa + Info specifica Var x i = Communality + Var specifica x i = f(CF 1,....,CF k ) +UF i i = 1,........., p k << p CF i = Common Factor i UF i = Unique Factor i Corr (UF i, UF j ) = 0 per i ^= j Corr (CF i, CF j ) = 0 per i ^= j Corr (CF i, UF j ) = 0 per ogni i,j

23 Analisi fattoriale Factor Loadings & Factor Score Coefficients x i = l i1 CF 1 + l i2 CF 2 +.... + l ik CF k + UFi l i1, l i2,........,l ik factor loadings i = 1,........., psignificato fattori CF j = s j1 x 1 + s j2 x 2 +.............. + s jp x p s j1, s j2,........,s jp factor score coeff. j = 1,....., k << pcostruzione fattori