Master Bioinformatica 2002: Grafi Problema: cammini minimi da tutti i vertici a tutti i vertici Dato un grafo pesato G =(V,E,w), trovare un cammino minimo.

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1 Master Bioinformatica 2002: Grafi Problema: cammini minimi da tutti i vertici a tutti i vertici Dato un grafo pesato G =(V,E,w), trovare un cammino minimo tra ogni coppia di vertici. Applicazione dei metodi di programmazione dinamica.

2 Master Bioinformatica 2002: Grafi Sviluppo di un algoritmo di programmazione dinamica Caratterizzazione della struttura di una soluzione ottima definizione ricorsiva del valore di una soluzione ottima. Calcolo iterativo del valore di una soluzione ottima mediante una strategia bottom-up Costruzione di una soluzione ottima a partire dal valore calcolato

3 Master Bioinformatica 2002: Grafi Cammino minimo Peso di un cammino p = w(p) = k-1 i=1 w(v i, v i+1 ) Il peso di un cammino minimo da u a v è definito come d(u,v) = min{w(p) | p: u v } se v è raggiungibile da u = 0 se v = u = se v non è raggiungibile da u

4 Master Bioinformatica 2002: Grafi I pesi w degli archi sono valori interi, possono essere anche valori negativi. Assumiamo che il grafo non contenga cicli con pesi negativi, perchè in questo caso la nozione di cammino minimo non è ben definita a b c 3 -5 2 Percorrendo il ciclo svariate volte otteniamo un cammino con un peso sempre piu basso

5 Master Bioinformatica 2002: Grafi Rappresentazione con matrice di adiacenza Assumiamo che un grafo (orientato) pesato G = (V,E,w) con |V| = n sia rappresentato con una matrice di adiacenza n n W[i,j] definita come W[i,j] = 0 se i = j = w(i,j) se i j e (i,j) E = se (i,j) E

6 Master Bioinformatica 2002: Grafi Struttura dei cammini minimi Proprietà della sottostruttura ottima: sia p un cammino ottimo: ogni sottocammino di p e ottimo. v0vi vj vk p p ij q ij Il sottocammino p ij di p deve essere un cammino ottimo da vi a vj

7 Master Bioinformatica 2002: Grafi Vertici intermedi Sia p = un cammino semplice da v 1 a,v l i vertici intermedi sono v 2,…,v l-1. Siano V = {1,…,n} i vertici di un grafo G, considera per un vertice k arbitrario il sottoinsieme {1,…,k} siano i,j V.

8 Master Bioinformatica 2002: Grafi Algoritmo di Floyd-Warshall Considera tutti i cammini da i a j in cui vertici intermedi sono nellinsieme {1,…,k} e sia p un cammino minimo tra di essi. E possibile definire una relazione tra p e i cammini minimi tra i vertici i e j i cui vertici intermedi sono nellinsieme {1,…,k-1}

9 Master Bioinformatica 2002: Grafi Se k non e un vertice intermedio di p, allora tutti i vertici intermedi di p sono nellinsieme {1,…,k-1}. Questo significa che il peso di un cammino minimo da i a j in cui tutti i vertici intermedi sono in {1,…,k} è dato dal peso di un cammino minimo da i a j in cui tutti i vertci intermedi sono in {1,…,k-1}.

10 Master Bioinformatica 2002: Grafi Se k è un vertice intermedio di p allora possiamo spezzare p così: i j k p1 p2 p1 e un cammino minimo da i a k in cui tutti i vertici intermedi sono nellinsieme {1,…,k-1}. p2 e un cammino minimo da i a k in cui tutti i vertici intermedi sono nellinsieme {1,…,k-1}.

11 Master Bioinformatica 2002: Grafi Questo significa che il peso di un cammino minimo da i a j in cui tutti i vertici intermedi sono in {1,…,k} è dato dal peso di un cammino minimo da i a k in cui tutti i vertci intermedi sono in {1,…,k-1} + il peso di un cammino minimo da k a j in cui tutti i vertci intermedi sono in {1,…,k-1}.

12 Master Bioinformatica 2002: Grafi Relazione di ricorrenza Definiamo D (k) [i,j] = peso di un cammino minimo da i a j in cui tutti i vertici intermedi sono nellinsieme {1,…k}

13 Master Bioinformatica 2002: Grafi D (k) [i,j] = W[i,j] se k = 0 D (k) [i,j] = min {D (k-1) [i,j], D (k-1) [i,k]+ D (k-1) [k,j]} se k > 0

14 Master Bioinformatica 2002: Grafi Sottoproblemi comuni D (5) [1,6] D (4) [1,6]D (4) [1,5] + D (4) [5,6] D (3) [1,6]D (3) [1,4] + D (3) [4,6] D (3) [1,5]D (3) [1,4] + D (3) [4,5] D (3) [5,4] + D (3) [4,6]D (3) [5,6]

15 Master Bioinformatica 2002: Grafi Calcolo iterativo della sequenza di matrici D (0),…, D (n) Floyd-Warshall(W) //W matrice di adiacenza n n D (0) W for k = 1 to n for i = 1 to n for j = 1 to n D (k) [i,j] min{D (k-1) [i,j], D (k-1) [i,k] + D (k-1) [k,j]} return D (n) Complessità: O(n 3 )

16 Master Bioinformatica 2002: Grafi Calcolo dei cammini minimi Matrice dei predecessori P (k) [i,j] = predecessore di j in un cammino minimo da i a j in cui tutti i vertici intermedi sono nellinsieme {1,…,k}. ij x P (k) [i,j] = x

17 Master Bioinformatica 2002: Grafi Relazione di ricorrenza per i predecessori per k = 0 P (k) [i,j] = NULL se i = j oppure W[i,j]= P (k) [i,j] = i se i j e W[i,j] < per k > 0 P (k) [i,j] = P (k-1) [i,j] se D[i,j] (k-1) D [i,k] (k-1) + D[k,j] (k-1) P (k) [i,j] = P (k-1) [k,j] se D[i,j] (k-1) > D [i,k] (k-1) + D[k,j] (k-1)

18 Master Bioinformatica 2002: Grafi Calcolo delle matrici D (0),…, D (n) e P (0),…, P (n) Floyd-Warshall(W) Inizializza D (0) e P (0) mediante W for k = 1 to n for i = 1 to n for j = 1 to n D (k) [i,j] D (k-1) [i,j] P (k) [i,j] P (k-1) [i,j] if D (k) [i,j] > D (k-1) [i,k] + D (k-1) [k,j] then D (k) [i,j] D (k-1) [i,k]+ D (k-1) [k,j] P (k) [i,j] P (k-1) [k,j] return

19 Master Bioinformatica 2002: Grafi Esempio 1 24 3 2 5 3 5 -3 4 W

20 Master Bioinformatica 2002: Grafi D (0) P (0) D (1) P (1)

21 Master Bioinformatica 2002: Grafi D (1) P (1) D (2) P (2)

22 Master Bioinformatica 2002: Grafi D (2) P (2) D (3) P (3)

23 Master Bioinformatica 2002: Grafi D (3) P (3) D (4) P (4)

24 Master Bioinformatica 2002: Grafi 1 24 3 2 5 3 5 -3 4 13 2 24 5 1 2 4 3 3 4

25 Master Bioinformatica 2002: Grafi 1 24 3 2 5 3 5 -3 4 1 24 3 5 1 24 3 3