Controllo GMV (Generalized Minimun Variance)

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POLITECNICO DI MILANO _____________________ Controllo GMV (Generalized Minimun Variance) Identificazione dei Modelli e Analisi dei Dati Prof. S. Bittanti

J = E[(P(z)y(t + k) + Q(z)u(t) - yº(t))²] Esempi e teoria: Progetto a modello di riferimento (Q(z) = 0) Progetto a controllo penalizzato (P(z) = 1) Prof. S. Bittanti

POLITECNICO DI MILANO _____________________ Controllo GMV (Generalized Minimun Variance) Identificazione dei Modelli e Analisi dei Dati Prof. S. Bittanti ESEMPI

Contenuti Esempio 1 (sistema a sfasamento minimo)
Analisi del sistema da controllare Progetto a modello di riferimento Progetto a controllo penalizzato Controllo GMV

Contenuti Esempio 2 (sistema a sfasamento non minimo)
Analisi del sistema da controllare Progetto a controllo penalizzato Controllo GMV

Contenuti Esempio 3 (sistema complesso a sfasamento non minimo)
Analisi del sistema da controllare Progetto a controllo penalizzato Controllo GMV

POLITECNICO DI MILANO _____________________ Controllo GMV (Generalized Minimun Variance) Identificazione dei Modelli e Analisi dei Dati Prof. S. Bittanti ESEMPIO 1

Esempio 1: con Sistema da controllare equazione nel dominio del tempo:
y(t) = 0,8y(t – 1) u(t – 2) + 1,28u(t – 3) + 0,81u(t – 4) e(t) + 0,6e(t – 1) e∼WN(0,s2) >>> Modello ARMAX (1,1,4) rappresentazione operatoriale: A(z)y(t) = B(z)u(t-k) + C(z)e(t) con A(z) = 1 – 0,8z⁻¹ B(z) = 1 + 1,28z⁻¹ + 0,81z⁻² k = 2 C(z) = 1 + 0,6z⁻¹ Controllo GMV

Caratteristiche del sistema
Guadagno: B(1) / A(1) = 15,45 Zeri di A(z): poli del sistema z = 0,8 Zeri di B(z): z = -0,64 ± 0.63i Zeri di C(z): z = -0,6 Controllo GMV

Posizione delle singolarità nel piano complesso
A(z) x B(z) • C(z) ∎ Controllo GMV

Simulazione in a.a.: risposta a gradino
Andamento dell’uscita y(t) con s2 = 0 Controllo GMV

Progetto a modello di riferimento
Sistema da controllare: A(z)y(t) = B(z)u(t-k) + C(z)e(t) e∼WN(0,s2) Caratteristiche del sistema di controllo Q(z) = 0 P(z) a scelta del progettista Cifra di merito J = E[ (P(z)y(t+k) - y°(t))²] Controllo GMV

Progetto a modello di riferimento
Polinomi del controllore F(z) = F˜(z) G(z) = PD(z)B(z)E(z) H(z) = C(z)PD(z) E(z) e F˜(z) dalla eq. Diofantea PN(z)C(z) = PD(z)A(z)E(z) + z-kF˜(z) (lunga divisione di PNC per PDA per k passi) Controllo GMV

Scelta del modello di riferimento
(1 - )ⁿ M(z) = (Sistema con n poli in  e guadagno 1) Risposta a gradino Tempo di assestamento al 90% (la tabella indica il numero di passi necessari perché il sistema con fdt è M(z) raggiunga il 90% della risposta a scalino, in funzione di  e di n) (1 - z⁻¹)ⁿ Controllo GMV

 n = 1 n = 2 n = 3 0.1 1 2 0.2 3 0.3 4 0.4 5 0.5 6 7 0.6 8 10 0.7 11 14 0.8 17 23 0.85 15 28 32 0.9 22 37 50 0.95 45 76 131 0.99 230 387 500 Controllo GMV

Modello di riferimento: sistema del secondo ordine, con guadagno unitario e con 2 poli coincidenti (n = 2) M(z) = Tempo di assestamento al 90% Scelta:  = 0.4 ⇒ sono necessari 4 passi per raggiungere la soglia del 90% (1 - )² (1 - z⁻¹)² Controllo GMV

Determinazione di P(z)
Il modello di riferimento è quindi: M(z) = P(z) = M(z)⁻¹ P(z) = 2.78 – 2.22z⁻¹ z⁻² ( )² (1 – 0.4z⁻¹)² Controllo GMV

Calcolo dei polinomi del controllore
Effettuare 2 passi della lunga divisione E(z) = 1 + 2,68z⁻¹ + 2,60z⁻² +1,13z⁻³ F˜(z) = 1,12 Si ottengono così: F(z) = 0,44 + 0,27z⁻¹ G(z) = 2,77 + 5,22z⁻¹ + 4,38z⁻² + 1,35z⁻³ H(z) = 1 + 0,6z⁻¹ Controllo GMV

Schema a blocchi del sistema di controllo
e(t) S C(z) + y(t) yº(t) u(t) + H(z) 1 / G(z) z⁻ B(z) k 1 / A(z) + - F(z) C Polinomio caratteristico (z) = B(z)C(z)PN(z) Controllo GMV

Simulazione in a.c.: risposta a gradino

Simulazione in a.c.: risposta a gradino
Andamento dell’ingresso u(t) con s2 = 0 Funz. Trasfer. da yo a u: P(z)A(z)/B(z) Controllo GMV

Progetto a controllo penalizzato
Sistema da controllare: A(z)y(t) = B(z)u(t-k) + C(z)e(t) e∼WN(0,s2) s2 = 0 Caratteristiche del sistema di controllo P(z) = 1 Q(z) a scelta del progettista Cifra di merito J = E[(y(t + k) + Q(z)u(t) - yº(t))²] Controllo GMV

Polinomi del controllore F(z) = F˜(z)QD(z) G(z) = B(z)QD(z)E(z) + C(z)QN(z) H(z) = C(z)QD(z) E(z) e F˜(z) dalla eq. Diofantea C(z) = A(z)E(z) + z-kF˜(z) (lunga divisione di C per A per k passi) Controllo GMV

Funzione di trasferimento da y° a y S(z) = Polinomio caratteristico (z) = C(z)(B(z)QD(z) + A(z)QN(z)) z⁻ k A(z) 1 + Q(z) B(z) Controllo GMV

Polinomio caratteristico (z) = C(z)(B(z)QD(z) + A(z)QN(z)) Poli del sistema di controllo Poli fissi: zeri di C(z) Poli mobili: zeri di B(z)QD(z) + A(z)QN(z) La stabilità del sistema di controllo dipende dai poli mobili Controllo GMV

Scelta di Q(z) Scelte tipiche di Q(z) sono: Q(z) = l costante
Q(z) = l(1 - z⁻¹) Q(z) = l 1 - z⁻¹ 1 – gz⁻¹ Controllo GMV

Scelta di Q(z) Scelta: Q(z) = l Poli mobili: B(z) + lA(z) = 0
l = 0 : zeri di B(z) l → ∞ : zeri di A(z) Controllo GMV

Andamento dei poli mobili
Luogo delle radici di B(z) + lA(z) l ≃ 8,57 l = 0 l → ∞ Controllo GMV

Simulazione in a.c.: risposta a gradino (l = 1)

Andamento dell’ingresso u(t) con s2 = 0 Controllo GMV

Simulazione in a.c.: risposta a gradino (l = 8,57)

Guadagno del sistema di controllo
l ≠ 0 ⇒ errore a transitorio esaurito non nullo 1 A(1) 1 + l B(1) Controllo GMV

Scelta di Q(z) Scelta: Q(z) = l(1 - z⁻¹)
Poli mobili: B(z) + l(1 - z⁻¹)A(z) = 0 l = 0 : zeri di B(z) l → ∞ : zeri di (1 - z⁻¹)A(z) Controllo GMV

Luogo delle radici di B(z) + l(1 - z⁻¹)A(z) l → ∞ l = 0 Controllo GMV

Guadagno del sistema di controllo
S(z) = valutato per z = 1 vale 1 In questo caso è garantito un guadagno unitario per il sistema di controllo 1 A(z) 1 + l(1 - z⁻¹) B(z) Controllo GMV

Scelta di Q(z) Scelta: Q(z) = l(1 - z⁻¹) / (1 – 0.9z⁻¹) Poli mobili:
l = 0 : zeri di (1 – 0.9z⁻¹)B(z) l → ∞ : zeri di (1 - z⁻¹)A(z) Controllo GMV

Luogo delle radici di (1 – 0.9z⁻¹)B(z) + l(1 - z⁻¹)A(z) l = 0 l → ∞ Controllo GMV

Scelta di Q(z) Scelta: Q(z) = l(1 - z⁻¹) / (1 – 0.8z⁻¹) Poli mobili:

Andamento dell’uscita y(t) con s2= 10-4 Controllo GMV

Andamento dell’ingresso u(t) con s2= 10-4 Controllo GMV

Esempio 2: sistema a sfasamento non minimo
Modello ARMAX (1,2,3) A(z) = 1 - 0,5z⁻² B(z) = 1 – 2z⁻¹ + 2z⁻² + z⁻³ k = 1 C(z) = 1 – 1,4z⁻¹ + 0,7z⁻² (rappresentazione operatoriale): A(z)y(t) = B(z)u(t-k) + C(z)e(t) Controllo GMV

Caratteristiche del sistema
Guadagno B(1) / A(1) = 4 Zeri di A(z): poli del sistema z = 0,71 z = -0,71 Zeri di B(z): z = -0,35 z = 1,18 ± 1,20i Zeri di C(z): z = 0,70 ± 0,46i Controllo GMV

Scelta di Q(z) Scelta: Q(z) = l(1 - z⁻¹) / (1 – 0,5z⁻¹) Poli mobili:

Andamento dell’uscita y(t) con s2= 10-4 Controllo GMV

Andamento dell’ingresso u(t) con s2= 10-4 Controllo GMV

Esempio 3: sistema complesso a sfasamento non minimo
L’esempio viene costruito a partire dalle singolarità desiderate dei polinomi A(z) B(z) C(z) Si impone sfasamento non minimo (zeri esterni alla regione di stabilità) e comportamento oscillante (poli con parte reale negativa vicini al bordo della regione di stabilità) Controllo GMV

Singolarità Zeri di A(z): poli del sistema Zeri di B(z): Zeri di C(z):
z = - 0,95 ± 0,1i z = -0,5 ± 0,6i Zeri di B(z): z = 1 ± i z = 0,2 ± 0,6i Zeri di C(z): z = -0,7 Controllo GMV

Modello ARMAX Modello ARMAX (4,1,4) Equazione nel dominio del tempo
A(z) = 1 + 2,9z⁻¹ + 3,422z-2 + 2,072z-3 + 0,557z-4 B(z) = 1 – 2,4z-1 + 3,2z-2 – 1,6z-3 + 0,8z-4 C(z) = 1 + 0,7z⁻¹ ritardo ingresso/uscita: k = 1 Equazione nel dominio del tempo y(t) = -2,9y(t-1) - 3,422y(t-2) - 2,072y(t-3) - 0,557y(t-4) + + u(t-1) - 2,4u(t-2) + 3,2u(t-3) - 1,6u(t-4) + 0,8u(t-5) + + e(t) + 0,7e(t-1) e∼WN(0,s2) s2 = 0 Controllo GMV

Andamento dell’uscita y(t) con s2=0 Controllo GMV

Scelta di Q(z) Scelta: Q(z) = l(1 - z⁻¹)/(1 + 0,3z-1) Poli mobili:
l = 0 : zeri di (1 + 0,3z-1)B(z) l → ∞ : zeri di (1 - z⁻¹)A(z) Controllo GMV

Luogo delle radici di (1 + 0,3z-1)B(z) + l(1 - z⁻¹)A(z) l → ∞ l = 0 Controllo GMV

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