Equazioni di primo grado

Presentazione sul tema: "Equazioni di primo grado"— Transcript della presentazione:

1 Equazioni di primo grado
Il “mistero della Matematica” M.Carla Di Domenico

2 Procediamo per tentativi???
Trova il numero tale che il suo doppio diminuito di cinque sia uguale a quindici. Procediamo per tentativi???

3 Proviamo cosi: Trova un numero Tale che Il suo doppio Diminuito
Di cinque Sia uguale A quindici X : 2x - 5 = 15

4 In altre parole, abbiamo fatto:
2 x – 5 = 15

5 Trova il numero tale che il suo doppio diminuito di cinque sia uguale a quindici.
2x -5 = 15 Il numero è 10!! Trova il numero tale che il suo triplo aumentato di uno è uguale alla somma del numero,del suo doppio e di uno. 3x + 1 = x + 2x + 1 Ogni numero va bene!! Trova il numero tale che aggiunto a due è uguale alla somma di se stesso e cinque. x+2 = x +5 Non esiste un tale numero!!

6 In ognuno dei tre casi abbiamo scritto la relazione algebrica che rappresenta il modello del problema che vogliamo risolvere. Ci occorrono allora tecniche di calcolo generali che permettano di risolvere tutti i problemi come questo .

7 Si dice EQUAZIONE una uguaglianza fra due espressioni che contengono delle lettere e che è verificata SOLO se a queste lettere vengono attribuiti particolari valori. L’espressione a sinistra dell’uguale si dice primo membro; L’espressione a destra dell’uguale si dice secondo membro; La variabile x si dice incognita; I termini che non contengono la x si dicono termini noti; I valori della x che rendono vera l’uguaglianza si dicono radici o soluzioni dell’equazione (e si dice che essi soddisfano l’equazione); L’insieme delle soluzioni di un’equazione si indica di solito con la lettera S.

8 2x -5 = 15 È un’equazione che ha una sola soluzione e si dice possibile e determinata. 3x + 1 = x + 2x + 1 È un’equazione che ha infinite soluzioni e si dice indeterminata x+2 = x +5 E’ un’equazione che non ha soluzioni e si dice impossibile.

9 2x – 5 = 15 2x – 5 è il primo membro 15 è il secondo membro x è l’ incognita - 5 e 15 sono i termini noti 10 è la radice o soluzione dell’equazione S = {10} Tutto ciò significa che l’ unico valore che possiamo attribuire alla x affinché l’uguaglianza sia verificata è 10.

10 Eppure hanno entrambe come soluzione x = 2
Due equazioni si dicono equivalenti quando hanno le stesse soluzioni (pur sembrando diverse!) 4x + 5 = 2x + 9 Sembra diversa da 2x = 4 Eppure hanno entrambe come soluzione x = 2 Cioè le due equazioni sono equivalenti

11 Vediamo allora come rendere equivalenti due equazioni
(se sono equivalenti, meglio risolverne una più facile!!)

12 1° PRINCIPIO DI EQUIVALENZA Se si aggiunge (+) o si sottrae (-) una stessa espressione algebrica ad ambo i membri di un’equazione si ottiene un’equazione equivalente alla data. 2° PRINCIPIO DI EQUIVALENZA Se si moltiplicano (×) o si dividono ambo i membri di un’equazione per una stessa espressione non nulla si ottiene un’equazione equivalente alla data.

13 1° Principio: quali conseguenze
1° Principio: quali conseguenze? 1) Si può spostare un termine da un membro all’altro purché gli si cambi il segno 5 x – 3 = 7 5 x – 3 +3 = 7 + 3 5 x = 7 + 3 Aggiungiamo +3 ad ambo i membri Semplifichiamo -3 scompare dal primo membro e compare al secondo con il segno cambiato

14 1° Principio: quali conseguenze
1° Principio: quali conseguenze? 2) Si possono spostare tutti i termini in uno stesso membro ottenendo un’espressione uguale a zero 6 x – 4 = 5 x + 7 6x – 4 -5 x -7 = 0 x – 11 = 0 Spostiamo i termini dal secondo al primo membro Sommiamo i monomi simili

15 1° Principio: quali conseguenze
1° Principio: quali conseguenze? 3)se nei due membri compaiono due termini uguali questi possono essere soppressi 2 x – 1 = 7- 1 2 x – = 7 – 1 + 1 2 x = 7 Aggiungiamo il termine + 1 Semplifichiamo I termini uguali sono stati soppressi

16 2° Principio: quali conseguenze
2° Principio: quali conseguenze? 1)Si possono moltiplicare o dividere i due membri di un’equazione per una stessa espressione diversa da zero 6 x = 7 Dividiamo entrambi i membri per 6 e poi semplifichiamo

17 2° Principio: quali conseguenze
2° Principio: quali conseguenze? 2)si possono dividere entrambi i membri per un fattore comune non nullo 12 x – 18 =6 x -24 Dividiamo per 6 2x -3 = x- 4

18 2° Principio: quali conseguenze
2° Principio: quali conseguenze? 3)si possono cambiare tutti i segni di un’equazione -3 x + 7 = 12 – 5 x Cambiamo tutti i segni 3 x - 7 = x

19 Conclusioni: Grazie al primo e al secondo principio di equivalenza possiamo modificare le equazioni per renderle più semplici e risolvere così ogni problema di questo tipo!!!