Mat_Insieme Lavoro di Gruppo a tre mani Prodotti Notevoli

Presentazione sul tema: "Mat_Insieme Lavoro di Gruppo a tre mani Prodotti Notevoli"— Transcript della presentazione:

1 Mat_Insieme Lavoro di Gruppo a tre mani Prodotti Notevoli
Tabella di Scomposizioni Test Scomposizioni a cura di G. Chirico – P.A. Cerati – A. Boccia

2 prof.ssa Giuseppa Chirico
I Prodotti Notevoli Quadrato di binomio Cubo di binomio Quadrato di polinomio Potenza n-esima di binomio Somma per differenza Altri prodotti notevoli prof.ssa Giuseppa Chirico

3 prof.ssa Giuseppa Chirico
Quadrato di un Binomio Cerchiamo la regola La regola Il significato geometrico Esempi Esercizi proposti prof.ssa Giuseppa Chirico

4 Quadrato di binomio: significato algebrico
(a+b)2 = (a+b) (a+b) = = a2+ab+ab+b2 = = a2+2ab+b2 prof.ssa Giuseppa Chirico

5 Quadrato di binomio: la regola
( a + b ) 2 = a 2 + 2ab + b 2 Il quadrato di un binomio è un trinomio avente per termini: il quadrato del 1° monomio il doppio prodotto del 1° monomio per il 2° il quadrato del 2° monomio prof.ssa Giuseppa Chirico

6 Quadrato di binomio: significato geometrico
(a + b) (a + b)2 a2 b2 ab (a + b)2 = a2 + 2 ab + b2 prof.ssa Giuseppa Chirico

7 Quadrato di binomio: esempi
(2a+b)2 = (2a)2+2(2a)(+b)+(+b)2 = 4a2 + 4ab + b2 (2a - b)2 = (2a)2+2(2a)(-b)+(-b)2 = 4a2 - 4ab + b2 (3a+2b)2 = (3a)2 +2(3a)(+2b) +(+2b)2 = 9a2 +12ab +4b2 (3a -2b)2 = (3a)2 +2(3a)(-2b) +(-2b)2 = 9a ab +4b2 (-3a -2b)2 = (-3a)2 +2(-3a)(-2b)+(-2b)2 = 9a2 +12ab +4b2 (-3a+2b)2 = (-3a)2 +2(-3a)(+2b)+(+2b)2 = 9a2 -12ab+4b2 prof.ssa Giuseppa Chirico

8 Quadrato di binomio: esercizi
(3a - 4b)2 = (-2x - 3y)2 = (a2 + 3b)2 = (5a - 3b)2 = (5a2 + 2b2)2 = (-3a3 + 2b2)2 = (2ab - 3b)2 = (7xy - 2x)2 = 4a a + 49 9a ab + 16b2 4x xy + 9y2 a4 + 6 a2b + 9b2 25a2 - 30ab + 9b2 25a a2b2 + 4b4 9a a3b2 + 4b4 4a2b ab2 + 9b2 49x2y x2y + 4x2 prof.ssa Giuseppa Chirico

9 Quadrato di binomio: esercizi
prof.ssa Giuseppa Chirico

10 prof.ssa Giuseppa Chirico
Cubo di un Binomio Cerchiamo la regola La regola Il significato geometrico Esempi Esercizi proposti prof.ssa Giuseppa Chirico

11 Cubo di binomio: significato algebrico
(a+b)3 = (a+b)2 (a+b) = = (a2+2ab+b2) (a+b) = = a3+a2b+2 a2b+2ab2+ab2+b3= = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 prof.ssa Giuseppa Chirico

12 Cubo di binomio: la regola
( a + b ) 3 = a 3 + 3a2b + 3ab2 + b 3 Il cubo di un binomio è un quadrinomio avente per termini: il cubo del 1° monomio il triplo prodotto del quadrato del 1° per il 2° il triplo prodotto del 1° per il quadrato del 2° il cubo del 2° monomio prof.ssa Giuseppa Chirico

13 Cubo di binomio: significato geometrico
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 prof.ssa Giuseppa Chirico

14 Cubo di binomio: esempi
(2a+b)3 = (2a)3 +3(2a)2(+b) +3(2a)(+b)2 +(+b)3 = = 8a3 + 12a2b + 6ab2 + b3 (2a - b)3 = (2a)3+3(2a)2(-b)+3(2a)(-b)2 +(-b)3 = = 8a3 - 12a2b + 6ab2 - b3 (-3a -2b)3 = (-3a)3 +3(-3a)2 (-2b)+3(-3a)(-2b)2 +(-2b)3 = = -27a a2 b - 36ab2 - b3 (-3a +2b)3 = (-3a)3 +3(-3a)2 (+2b)+3(-3a)(+2b)2 +(+2b)3 = -27a a2 b - 36ab2 + b3 prof.ssa Giuseppa Chirico

15 Cubo di binomio: esercizi
8a3+12a2+6a+1 (2a + 1)3 = (3a - b)3 = (-2x - 3y)3 = (a2 + 3b)3 = (a - 3b)3 = (a2 + 2b2)3 = (-3a3 + 2b2)3 = (2ab - 3b)3 = 27a3-27a2b+6ab2-b3 -8x3-36x2y-54xy2-27y3 a6+9a4 b+27a2b2+27b3 8a3-36a2 b+54ab2 -27b3 a6+6a4 b2+12a2b4+8b6 -27a9+54a6b2-36a3b4+8b6 8a2b2-36a2 b3+54ab3-27b3 prof.ssa Giuseppa Chirico

16 Cubo di binomio: esercizi
prof.ssa Giuseppa Chirico

17 Quadrato di un Polinomio
Cerchiamo la regola La regola Il significato geometrico Esempi Esercizi proposti prof.ssa Giuseppa Chirico

18 Quadrato di polinomio: significato algebrico
(a+b+c)2 = (a+b+c) (a+b+c) = = a2+ab+ac+ab+b2+bc+ac+bc+c2 = = a2 + b2 + c2 +2ab + 2ac + 2bc prof.ssa Giuseppa Chirico

19 Quadrato di polinomio: la regola
(a+b+c)2 = a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc Il quadrato di un polinomio di un numero qualsiasi di termini è un polinomio avente per termini: il quadrato di tutti i termini il doppio prodotto (con il relativo segno) di ciascun termine per tutti quelli che lo seguono prof.ssa Giuseppa Chirico

20 Quadrato di polinomio:significato geometrico
(a+b+c) (a+b+c)2 a b c a2 b2 ab c2 ac bc (a+b+c)2 = a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc prof.ssa Giuseppa Chirico

21 Quadrato di polinomio: esempi
(2a + b + 3c)2 = =(2a)2+(+b)2+(+3c)2+2(2a)(+b)+2(2a)(+3c)+2(+b)(+3c) = 4a2 + b2 + 9c2 + 4ab + 12ac + 12bc (2a - b - c)2 = = (2a)2+(-b)2+(-c)2+2(2a)(-b)+2(2a)(-c)+2(-b)(-c)= = 4a2 + b2 + c2 - 4ab - 4ac + 2bc (-3a - 2b + c )2 = =(-3a)2+(-2b)2+(+c)2+2(-3a)(-2b)+2(-3a)(+c)+2(-2b)(+c) = 9a2 + 4b2 + c2 + 12ab - 6ac - 4bc prof.ssa Giuseppa Chirico

22 Quadrato di polinomio: esercizi
(2a + 2b + 7)2 = (3a - 4b - 2c)2 = (-2x - 3y + 1)2 = (a2 + 3b - c)2 = (5a + 2b + c)2 = (-3a3+2b2+1)2 = (2ab - 3b - 2)2 = (7xy - 2x - 1)2 = 4a2+4b2+49+8ab+24a+24b 9a2+16b2+4c2-24ab-12ac+16bc 4x2+9y xy - 4x - 6y a4+9b2+c2 + 6a2b - 2a2c - 6bc 25a2+4b2+c2 +20ab+10ac+4bc 9a6 +4b a3b2- 6a3+4b2 4a2b2 +9b2+4-12ab2-8ab+12b 49x2y2+4x x2y -14xy+4x prof.ssa Giuseppa Chirico

23 Potenza n-esima di Binomio
Cerchiamo la regola Triangolo di Tartaglia La regola Esempi Esercizi proposti prof.ssa Giuseppa Chirico

24 Potenza n-esima di binomio: cerchiamo una regola
(a+b)0 = 1 (a+b)1 = a+b (a+b)2 = a2+2ab+b2 (a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3 (a+b)4 = a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 (a+b)5 = a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5 (a+b)6 = a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6 lo sviluppo di (a+b)n contiene sempre n+1 termini i coefficienti dei termini estremi e di quelli equidistanti dagli estremi sono uguali in ogni termine dello sviluppo gli esponenti della lettera a decrescono da an ad a0=1 e gli esponenti della lettera b crescono da b0=1 a bn i coefficienti possono essere disposti secondo uno schema detto “ Triangolo di Tartaglia” prof.ssa Giuseppa Chirico

25 Potenza n-esima di binomio: Triangolo di Tartaglia
(a+b)0 = 1 (a+b)1 = (a+b)2 = (a+b)3 = (a+b)4 = (a+b)5 = (a+b)6 = In questo prospetto: ogni riga inizia e termina con 1 ogni altro numero si ottiene sommando quelli sovrastanti della riga precedente prof.ssa Giuseppa Chirico

26 Potenza n-esima di binomio: la regola
(a+b)n = an+nan-1b + ……. + nabn-1+bn La potenza n-esima di un binomio è un polinomio omogeneo di grado n, ordinato e completo secondo le potenze decrescenti di a e crescenti di b, i cui coefficienti si ottengono dal Triangolo di Tartaglia. In pratica, si procede nel seguente modo: si scrive la parte letterale di ogni monomio tenendo conto che è di grado n e le potenze di a decrescono (da n fino a 0) e di b crescono(da 0 ad n) si calcolano i coefficienti di ogni monomio con il Triangolo di Tartaglia prof.ssa Giuseppa Chirico

27 Potenza n-esima di binomio: esempi
(a + b)4 = (a)4+4(a)3(+b)+6(a)2(+b)2+4(a)(+b)3+(+b)4 = = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 (a - b)4 = (a)4+4(a)3(-b)+6(a)2(-b)2+4(a)(-b)3+(-b)4 = = a4 - 4a3b + 6a2b2 - 4ab3 + b4 (2a+b)5 = =(2a)5+5(2a)4(b)+10(2a)3(b)2+10(2a)2(b)3 +5(2a)(b)4+(b)5 =32a5+5(16a4)(b)+10(8a3)(b2) +10(4a2)(b3) +5(2a)(b4)+b5 =32a5 + 80a4b + 80a3b2 + 40a2b3 + 10ab4 + b5 (3a-2b)4 = =(3a)4 +4(3a)3(-2b)+6(3a)2(-2b)2+4(3a)(-2b)3+(-2b)4 = =81a4 +4(27a3)(-2b)+6(9a2 )(+4b2)+4(3a)(-8b3)+16b4= = 81a a3b + 216a2b ab3 + 16b4 prof.ssa Giuseppa Chirico

28 Potenza n-esima di binomio: esercizi
(2a - b)4 = (a +b)7 = (a - b)7 = (a - b)6 = (a +2b)4 = (a - 2b)4 = (a +2b)5 = (-x - y)5 = 16a4 - 32a3b + 24a2b2 - 8ab3 + b4 a7+7a6b+21a5b2+35a4b3+35a3b4+21a2b5+7ab6+b7 a7-7a6b+21a5b2-35a4b3+35a3b4-21a2b5+7ab6-b7 a6- 6a5b +15a4b2 - 20a3b3+15a2b4 - 6ab5+ b6 a4 + 8a3b + 24a2b2 + 32ab3 + 16b4 a4 - 8a3b + 24a2b2 - 32ab3 + 16b4 a5 +10a4b + 40a3b2+ 80a2b3 +80ab4+32b5 - x5 - 5x4 y - 10x3y2 - 10x2y3 - 5xy4 - y5 prof.ssa Giuseppa Chirico

29 prof.ssa Giuseppa Chirico
Somma per differenza Cerchiamo la regola La regola Esempi Esercizi proposti prof.ssa Giuseppa Chirico

30 Somma per differenza: significato algebrico
(a+b) (a-b) = = a2 - ab + ab - b2 = = a2 - b2 prof.ssa Giuseppa Chirico

31 Somma per differenza: la regola
( a + b ) ( a - b ) = a 2 - b 2 Il prodotto della somma di due termini per la loro differenza è uguale al quadrato del primo termine meno il quadrato del secondo termine prof.ssa Giuseppa Chirico

32 Somma per differenza: esempi
(2a+b) (2a+b) = (2a)2 - (b)2 = 4a2 - b2 (2a - 5b) (2a + 5b) = (2a)2 - (5b)2 = 4a2 - 25b2 (3a+2b) (3a-2b) = (3a)2 - (2b)2 = 9a2 - 4b2 (-a +2b) (-a - 2b) = (-3a)2 - (2b)2 = 9a b2 (4a + b) (- 4a + b) = (b)2 - (4a)2 = b a2 (-3b+2a) (+3b+2a) = (2a)2 - (3b)2 = 4a2 - 9b2 prof.ssa Giuseppa Chirico

33 Somma per differenza: esercizi
(2a + 7)(2a - 7)= (3a - 4b)(3a+ 4b) = (-2x - 3y)(-2x+3y) = (a2 + 3b)(a2 - 3b) = (5a - 3b)(5a+ 3b) = (5a2+2b2)(5a2 -2b2) = (-3a3+2b2)(-3a3-2b2) = (2a + 3b)( -2a + 3b) = (7xy - 2x)( -7xy - 2x) = 4a 9a2 - 16b2 4x2 - 9y2 a4 - 9b2 25a2 - 9b2 25a4 - 4b4 9a6 - 4b4 9b2 - 4a2 4x x2y2 prof.ssa Giuseppa Chirico

34 Somma per differenza: esercizi
[(a+b) - 1] [(a+b) +1] = (a+b)2 - 1 prof.ssa Giuseppa Chirico

35 Altri Prodotti Notevoli
Somma di cubi Differenza di cubi La regola Esempi Esercizi proposti prof.ssa Giuseppa Chirico

36 Somma di Cubi: significato algebrico
(a+b) (a2 - ab + b2 ) = = a3 - a2b + ab2 + a2b- ab2 + b3 = = a3 + b3 prof.ssa Giuseppa Chirico

37 Differenza di Cubi: significato algebrico
(a - b) (a2 + ab + b2 ) = = a3 + a2b + ab2 - a2b- ab2 - b3 = = a3 - b3 prof.ssa Giuseppa Chirico

38 Somma o differenza di cubi: la regola
(a+b)(a2 - ab + b2 ) = a3 + b3 Il prodotto della somma di due termini per il trinomio formato dal quadrato dei due termini e dalla differenza del loro prodotto è uguale al cubo del primo termine più il cubo del secondo termine (a - b)(a2 + ab + b2 ) = a3 - b3 Il prodotto della differenza di due termini per il trinomio formato dal quadrato dei due termini e dalla somma del loro prodotto è uguale al cubo del primo termine meno il cubo del secondo termine prof.ssa Giuseppa Chirico

39 Somma o Differenza di Cubi: esempi
(2a + b)(4a2 - 2ab + b2) = (2a)3 + (b)3 = 8a3 + b3 (2a - b)(4a2 + 2ab + b2) = (2a)3 - (b)3 = 8a3 - b3 (3a+2b)(9a2- 6ab +4b2)= (3a)3 + (2b)3 = 27a3 + 8b3 (3a - 2b)(9a2+ 6ab +4b2)= (3a)3 - (2b)3 = 27a3 - 8b3 prof.ssa Giuseppa Chirico

40 Somma o Differenza di Cubi: esercizi
(2a + 7)(4a2 - 14ab + 49)= (3a - 4b)(9a2+12ab+16b2) = (2x - 3y)(4x2 + 6xy + 9y2) = (a2 + 3b)(a4 +9b2 - 3a2b ) = (5a - 3b)(25a2+15ab+9b2) = (x2 + 2y2)(x4 - 2x2y2 + 4y4) = (3a3+ b2)(9a6- 3a3b2 + b4) = (2a + 3b)( 4a2 - 6ab+9b2) = (x - 2y)( x2 +2xy + 4y2) = 8a 27a3 - 64b3 8x y3 a b3 125a b3 x6 + 8y6 27a9 + b6 8a2 + 27b2 x3 - 8y3 prof.ssa Giuseppa Chirico

41 prof. Pier Angela Cerati
SCOMPOSIZIONI QUI DI SEGUITO TROVERAI ALCUNE DOMANDE PER MISURARE LE TUE CONOSCENZE. IN CASO DI RISPOSTA ERRATA TI VERRA’ FORNITA LA CORREZIONE ED UN RIPASSO DELLA TEORIA. prof. Pier Angela Cerati

42 prof.Pier Angela Cerati
DOMANDA n.1 Ecco quattro semplici polinomi: soltanto tre di essi risultano fattorizzabili in base alla proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione. Quali? 1, 2 e 3 1, 3 e 4 1, 2 e 4 2, 3 e 4 prof.Pier Angela Cerati

43 ATTENTO! LA TUA RISPOSTA NON E’ CORRETTA!
La proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione è così sintetizzabile: a(b+c) = ab+ac o viceversa: ab+ac = a(b+c). Quindi, se i termini di un polinomio sono tutti divisibili per uno stesso fattore, quest’ultimo può essere messo in evidenza scrivendolo fuori da una parentesi; all’interno della parentesi andrà scritto un nuovo polinomio ottenuto dal precedente dividendo ogni suo termine per il fattore evidenziato: prof.Pier Angela Cerati

44 BRAVO!!! LA TUA RISPOSTA E’ CORRETTA! VAI ALLA DOMANDA SEGUENTE
prof. Pier Angela Cerati

45 TABELLA DI SCOMPOSIZIONI
Prof.Adelaide Boccia Prof.Adelaide Boccia

46 SE HO Due termini Tre termini Quattro termini Cinque termini
Sei termini Prof.Adelaide Boccia Prof.Adelaide Boccia

47 DUE TERMINI Prof. Adelaide Boccia

48 TRE TERMINI Prof. Adelaide Boccia Prof. Adelaide Boccia

49 QUATTRO TERMINI Prof. Adelaide Boccia

50 CINQUE TERMINI Prof. Adelaide Boccia

51 SEI TERMINI Prof. Adelaide Boccia