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Torniamo al secondo problema: Ogni centrale rifornisce entrambe le città. 2 centrali elettriche: Aurisina (produce P1 kilowatt) Monfalcone (produce P2 kilowatt) 2 città: Trieste (ha bisogno di B1 kilowatt) Gorizia (ha bisogno di B2 kilowatt) Come fare in modo che lenergia erogata sia sufficiente?
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Proviamo a schematizzare: Monfalcone produce P 2 kw, dei quali una parte, x 21, va a Trieste e una parte, x 22, va a Gorizia, cioè P 2 = x 21 + x 22 Gorizia ha bisogno di B 2 kw; per quanto detto ora, la parte x 12 proviene da Aurisina e la parte x 22 da Monfalcone, cioè B 2 = x 12 + x 22 Aurisina produce P 1 kw, dei quali una parte, x 11, va a Trieste e una parte, x 12, va a Gorizia, cioè P 1 = x 11 + x 12 Trieste ha bisogno di B 1 kw; per quanto detto ora, la parte x 11 proviene da Aurisina e la parte x 21 da Monfalcone, cioè B 1 = x 11 + x 21 Trieste x 11 x 21 Aurisina Monfalcone x 12 x 22 Gorizia
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Le relazioni sono quindi: P 1 = x 11 + x 12 P 2 = x 21 + x 22 B 1 = x 11 + x 21 B 2 = x 12 + x 22 Osserviamo che ogni blocco x ij di energia elettrica ha gli indici di due colori: il colore della i è quello della centrale di provenienza (rosso o arancio); il colore della j è quello della città a cui è destinato (blu o azzurro).
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Ma, a parte i colori, le relazioni sono: Queste equazioni vanno raggruppate nel sistema: Le x ij sono le 4 incognite, mentre a destra degli uguali ci sono i termini noti. Cerchiamo soluzioni (x 11,x 12,x 21,x 22 )... positive!
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I sistemi lineari possono essere risolti rigorosamente... Noi vediamo solo una procedura empirica. Consideriamo i coefficienti del sistema, cioè i numeri che moltiplicano le incognite. La tabella costituita da essi si dice matrice dei coefficienti del sistema: sistema linearematrice dei coefficienti
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Osserviamo che si può ragionare con le righe della matrice anziché con le equazioni! I - II + III = IV Questo significa che le espressioni a sinistra dell = di ogni equazione sono legate dalla stessa relazione... (vedi diapositiva precedente) che relazione cè tra le righe?
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E evidente che, se cè almeno una soluzione, anche i termini noti, cioè quelli a destra dell=, dovranno rispettare la stessa relazione. P1B1P2B2P1B1P2B2 I - II + III = IV cioè deve essere: P 1 - B 1 + P 2 = B 2 Se questa relazione è vera, la IV equazione è conseguenza delle prime tre: quindi si può buttare via senza perdere informazioni.
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Basterà che i termini noti soddisfino la relazione precedente? Il sistema ora è diventato (usando sempre le matrici: dei coefficienti e dei termini noti): E facile vedere che le 3 righe della matrice dei coefficienti sono indipendenti: nessuna è superflua.
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Allora proviamo a risolvere il sistema: partiamo dallultima equazione e risaliamo... e infine si ottiene...
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... il sistema risolto: è una delle incognite! Ma è libera di variare... Visto che volevamo soluzioni positive, basta quindi richiedere che: x 22 < P 2 - B 1 + P 1 = B 2 x 22 > P 2 - B 1 x 22 < P 2
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Riassumendo: deve essere: P 2 - B 1 < x 22 < min(P 2, B 2 ) e anche la condizione trovata prima per la risolubilità: P 1 - B 1 + P 2 = B 2 Facciamo un esempio numerico...
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Supponiamo che le quantità Prodotte e i Bisogni siano: 50150 P 1 = 100 P 2 = 200 B 1 = 150 B 2 = 150 la relazione P 1 - B 1 + P 2 = B 2 è soddisfatta: 100-150+200=150. scegliamo infine x 22 in modo che P 2 - B 1 < x 22 < min (P 2, B 2 ) Ad esempio, sia x 22 = 80.
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Sostituendo i nostri dati nella soluzione trovata prima, abbiamo: dove: P 1 = 100 P 2 = 200 B 1 = 150 B 2 = 150 x 22 = 80 e quindi: x 12 = -80+200-150+100 = 70 x 11 = 80-200+150 = 30 x 21 = -80+200 = 120
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Conclusione: una buona conoscenza dei sistemi lineari mette al riparo dai blackout!
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