Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni a.a. 2009-2010 Analisi delle Decisioni Probabilita condizionate e Teorema di Bayes Chiara Mocenni.

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1 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni a.a. 2009-2010 Analisi delle Decisioni Probabilita condizionate e Teorema di Bayes Chiara Mocenni

2 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni a.a. 2009-2010 Probabilita a priori La probabilita a priori di un evento e il grado di credenza che gli viene attribuito in assenza di ogni altra informazione. La distribuzione di probabilita di una variabile casuale e il grado di credenza a priori che viene attribuito a tutti i valori che tale variabile puo assumere.

3 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni a.a. 2009-2010 Probabilita congiunte La distribuzione di probabilita congiunta rappresenta la distribuzione di tutte le combinazioni di valori di un insieme di variabili casuali. Se tale combinazione viene effettuata su tutte le variabili casuali coinvolte in un problema, prende il nome di distribuzione di probabilita congiunta completa.

4 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni a.a. 2009-2010 Probabilità condizionate Le probabilità in gioco non sempre sono indipendenti da specifici eventi Quando ciò non è più vero, si hanno probabilità condizionate P(A|B)P(A|B) probabilità che si verifichi A supponendo che si verifichi B

5 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni a.a. 2009-2010 Esempio: ecografia Si considerino i seguenti eventi relativi alla nascita di un bambino: M il nascituro è maschio F il nascituro è femmina EM lecografia prevede maschio EF lecografia prevede femmina

6 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni a.a. 2009-2010 Esempio: ecografia Si consideri dapprima la probabilità che due eventi si verifichino entrambi (probabilità congiunta): P(M,EM)

7 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni a.a. 2009-2010 Esempio: ecografia Valgono le seguenti espressioni: P(M,EM) = P(M|EM) P(EM) P(M,EM) = P(EM|M) P(M)

8 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni a.a. 2009-2010 Teorema di Bayes Quindi: P(M|EM) P(EM) = P(EM|M) P(M) ossia P(M|EM) = P(EM|M) P(M) P(EM)

9 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni a.a. 2009-2010 Esempio: ecografia Supponiamo P(M) = 0.5 P(F) = 0.5 P(EM|M) = 0.9 P(EM|F) = 0.05 e di conseguenza P(EF|M) = 0.1 P(EF|F) = 0.95

10 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni a.a. 2009-2010 Esempio: ecografia Possiamo ora calcolare P(EM) = P(EM|M) P(M) + P(EM|F) P(F) = 0.9 0.5 + 0.05 0.5 = 0.475 P(EF) = 1- P(EM) = 0.525 Possiamo ora applicare la formula di Bayes

11 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni a.a. 2009-2010 Esempio: ecografia P(M|EM) = P(EM|M) P(M) P(EM) = 0.9 0.5 0.475 = 0.947

12 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni a.a. 2009-2010 Esempio: ecografia P(F|EF) = P(EF|F) P(F) P(EF) = 0.95 0.5 0.525 = 0.904

13 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni a.a. 2009-2010 Teorema di Bayes In generale, dati due eventi A e B: P(A|B) = P(B|A) P(A) P(B)P(B)

14 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni a.a. 2009-2010 Teorema di Bayes P(A|B) = P(B|A) P(A) P(B)P(B) Probabilità a-priori Probabilità condizionate

15 Chiara Mocenni – Analisi delle Decisioni a.a. 2009-2010 Teorema di Bayes È uno strumento per integrare in modo quantitativo le informazioni disponibili (prob. a-priori) con quelle rilevabili o misurabili (prob. condizionate)