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.. Il Fiocco di Neve .. .. In Matematica ..
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Tutto parte dalla curva di Koch..
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La Curva di Koch è una delle prime curve frattali di cui si conosca una descrizione. È apparsa in un documento del 1904 intitolato "Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction géométrique élémentaire" del matematico svedese Helge von Koch.
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.. la curva di Koch .. Un frattale tra i più conosciuti è la curva di Elge von Koch. Tale curva è una curva continua. Considerato di nuovo il segmento AB lo si divide in tre parti e poi si toglie il segmento centrale CE, sulla parte vuota infine si costruisce sempre da una stessa parte un triangolo equilatero CDE privo del lato CE.
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Si ripete la costruzione precedente su ognuno dei segmenti AC, CD, DE ed EB
Proseguendo l'iterazione della costruzione si ottiene
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dopo ulteriori passaggi:
Iterando infinite volte la poligonale essa si avvicinerà ad una curva, in quanto ad ogni applicazione della costruzione si sostituisce a 3 segmenti uguali 4 segmenti.
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Applicazione della curva di Koch al fiocco di neve.
Anche la stilizzazione del fiocco di neve avviene usando una costruzione simile a quella precedente partendo da un triangolo equilatero ABC e costruendo poi il triangolo che ha il lato 1/3 del lato del triangolo precedente verso l'esterno. La prima iterazione porta a:
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poi proseguendo nelle iterazioni si ottiene la figura seguente che è la rappresentazione di un fiocco di neve:
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Corrispondente alla curva di Koch sui quadrati
.. la curva di Peano .. Corrispondente alla curva di Koch sui quadrati
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Si riprenda il segmento AB e lo si divida ora in tre parti
e si costruiscano due quadrati CEFD e CELG di lato CE=1/3 AB, come in figura: Il percorso ACGLEFDCEB ci dice che è possibile percorrere l'intera poligonale da A a B senza passare due volte per lo stesso tratto. Iterando poi su ognuno dei nove segmenti la costruzione precedente si ottiene:
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Le successive iterazioni danno luogo ad una figura simile alla seguente
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Si presenta un quadrato a griglia e proseguendo nella iterazione del procedimento si avrà l'impressione di arrivare ad annerire il quadrato, ciò sembra un paradosso in quanto una linea ha dimensione mentre il quadrato è una superficie. Questo è il paradosso a cui era giunto Peano nel 1890.
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.. la curva di Sierpinsky ..
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Si riprenda la costruzione di Peano e si tolga il segmento centrale CE e cosi si ottiene la base per la curva di Sierpinski:
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dopo una iterazione: e successivamente:
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