L13 Il processo di modellizzazione Rodolfo Soncini Sessa MODSS Copyright 2004 © Rodolfo Soncini Sessa.

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1 L13 Il processo di modellizzazione Rodolfo Soncini Sessa MODSS Copyright 2004 © Rodolfo Soncini Sessa.

2 R. Soncini-Sessa, MODSS, 2004 2 Il processo di modellizzazione Scopo Concettualizzazione

3 R. Soncini-Sessa, MODSS, 2004 3 La concettualizzazione Scopo Concettualizzazione E la fase che abbiamo esposto finora : individuazione delle variabili rilevanti riconoscimento delle relazioni causa-effetto tra le variabili e costruzione della rete causale rappresentazione quantitativa di tali relazioni A seconda delle informazioni disponibili lultimo passo si effettua con: E la fase che abbiamo esposto finora : individuazione delle variabili rilevanti riconoscimento delle relazioni causa-effetto tra le variabili e costruzione della rete causale rappresentazione quantitativa di tali relazioni A seconda delle informazioni disponibili lultimo passo si effettua con: solo osservazioni statisticheBBN teorie e informazionimodello meccanicistico numerose osservazioni e lalternativa non modifica il componente mod. empirici o DBM

4 R. Soncini-Sessa, MODSS, 2004 4 La concettualizzazione Scopo Concettualizzazione Esempio: Modello meccanicistico di un lago regolato Il modello è definito a meno del valore dei parametri: dunque non è un modello ma un meta-modello parametri

5 R. Soncini-Sessa, MODSS, 2004 5 La concettualizzazione Il Terreno Esempio: Modello meccanicistico di un bacino imbrifero min{, } max{ 0, } - M T t+1 Il manto nevoso

6 R. Soncini-Sessa, MODSS, 2004 6 Il processo di modellizzazione Scopo ConcettualizzazioneTaratura

7 R. Soncini-Sessa, MODSS, 2004 7 La taratura Scopo ConcettualizzazioneTaratura E la fase in cui si determina il valore dei parametri che compaiono nel meta-modello (si istanzia il meta-modello). Due procedure alternative a seconda che il sistema esista o meno: il sistema non esiste: il valore dei parametri viene assegnato sulla base del progetto, ipotizzando che esso sarà realizzato esattamente; MODELLO A PRIORI il sistema esiste: il valore dei parametri viene stimato tramite serie di dati già raccolti o raccolti ad hoc. MODELLO A POSTERIORI E la fase in cui si determina il valore dei parametri che compaiono nel meta-modello (si istanzia il meta-modello). Due procedure alternative a seconda che il sistema esista o meno: il sistema non esiste: il valore dei parametri viene assegnato sulla base del progetto, ipotizzando che esso sarà realizzato esattamente; MODELLO A PRIORI il sistema esiste: il valore dei parametri viene stimato tramite serie di dati già raccolti o raccolti ad hoc. MODELLO A POSTERIORI

8 R. Soncini-Sessa, MODSS, 2004 8 La taratura sistema reale modello ingressi misurati uscita misurata uscita calcolata residuo + - STIMATORE (algoritmo) parametri

9 R. Soncini-Sessa, MODSS, 2004 9 La concettualizzazione Il Terreno Esempio: Modello meccanicistico di un bacino imbrifero min{, } max{ 0, } - M T t+1 Il manto nevoso

10 R. Soncini-Sessa, MODSS, 2004 10 Stima dei parametri Parametri (modello proprio): Variabili di stato: z = [ s h S r f d q ]

11 R. Soncini-Sessa, MODSS, 2004 11 spazio dei datispazio dei parametri Stima dei parametri serie rilevata In generale non esiste un valore di per cui. Si sceglie allora così che abbia distanza minima da (minimi quadrati). serie rilevate

12 R. Soncini-Sessa, MODSS, 2004 12 Procedura operativa a) si fissa un valore al parametro ; c)si calcola lerrore b)si utilizza il modello per calcolare dato (e.g. via simulazione); t d)si itera il procedimento finché non si determina il valore a cui corrisponde il minimo valore dellerrore.

13 R. Soncini-Sessa, MODSS, 2004 13 Spazio dei parametri Stima dei parametri algoritmo Powell-search 1,2 3 4 I II Linee a errore costante non note allinizio. 1) Dato un punto corrente: 3) si individua il minimo lungo la semiretta; 4) Si torna al punto 1 (assumendo il minimo come nuovo punto corrente) fino a quando non è più possibile ridurre lerrore. III 2) si determina il gradiente, che è sempre perpendicolare alle linee di livello;

14 R. Soncini-Sessa, MODSS, 2004 14 frontiera spazio dei parametri Stima dei parametri in presenza di vincoli Se si incontra un vincolo si proietta il gradiente sulla frontiera. 1 2 3

15 R. Soncini-Sessa, MODSS, 2004 15 Il processo di modellizzazione scopo concettualizzazionetaratura identificazione

16 R. Soncini-Sessa, MODSS, 2004 16 Il processo di modellizzazione Scopo ConcettualizzazioneTaratura Validazione

17 R. Soncini-Sessa, MODSS, 2004 17 La validazione Scopo ConcettualizzazioneTaratura Validazione E la fase in cui si testa il modello per accertarsi che esso sia in grado di riprodurre dati non utilizzati in taratura. Le osservazioni utilizzate per tarare e validare il modello devono rappresentare tutte le condizioni in cui il sistema si troverà ad operare. in tal caso il modello opera come interpolatore in caso contrario il modello opera come estrapolatore, le stime fornite vanno usate con grande prudenza. E la fase in cui si testa il modello per accertarsi che esso sia in grado di riprodurre dati non utilizzati in taratura. Le osservazioni utilizzate per tarare e validare il modello devono rappresentare tutte le condizioni in cui il sistema si troverà ad operare. in tal caso il modello opera come interpolatore in caso contrario il modello opera come estrapolatore, le stime fornite vanno usate con grande prudenza.

18 R. Soncini-Sessa, MODSS, 2004 18 Il processo di modellizzazione Scopo ConcettualizzazioneTaratura Validazione sì USO no Raccolta dati no

19 19 Paradigma: stazionario o non-stazionario? Per tarare un modello si utilizzano le osservazioni fatte nel passato sul sistema. Il modello descrive quindi il futuro assumendo implicitamente che esso non cambi rispetto al passato. SISTEMA (+disturbi) STAZIONARIO I parametri devono essere tempo-invarianti. È una restrizione davvero necessaria? NO, è sufficiente che il sistema sia periodico, di periodo T ! In tal caso i parametri sono funzioni periodiche di periodo T.

20 R. Soncini-Sessa, MODSS, 2004 20 Periodicità (Ciclostazionarietà) Un sistema periodico appare come un sistema stazionario ad un osservatore che lo campioni con passo T. T Un sistema periodico può essere pensato come linsieme di T sistemi stazionari, ognuno dei quali opera allistante t modT. Un sistema periodico gode di tutte le proprietà di un sistema stazionario (oltre ad altre).

21 R. Soncini-Sessa, MODSS, 2004 21 Ergodicità In realtà la condizione di stazionarietà (o ciclostazionarietà) non è sufficiente perchè il sistema possa essere correttamente tarato. È necessario che tutte le statistiche siano calcolabili a partire dalla serie storica. SISTEMA ERGODICO o CICLO-ERGODICO Fortunatamente i sistemi naturali sono quasi sempre ergodici

22 R. Soncini-Sessa, MODSS, 2004 22 Stazionario o non-stazionario? Il sistema idrologico a scala planetaria non appare stazionario quindi i disturbi non sono stazionari CHE FARE? per fenomeni che variano con un periodo T sufficientemente breve basta assumere T quale periodo del sistema (ad esempio El Niño ha un periodo approssimativo di quattro anni)

23 R. Soncini-Sessa, MODSS, 2004 23 Stazionario o non-stazionario? Per fenomeni che variano con un periodo T troppo lungo, o sono del tutto non-stazionari (o di cui non sappiamo nulla), si può procedere così: 1.si identifica il miglior modello possibile sotto lipotesi che esso sia stazionario (o ciclostazionario di breve periodo, e.g. un anno); 2.si progetta la politica (o le norme) adottando tale modello; 3.si utilizza la politica (o le norme) ottenute sino a quando si constata che il processo che genera il disturbo è cambiato; 4.si torna al punto 1. La difficoltà resta però irrisolta per le decisioni strutturali.

24 R. Soncini-Sessa, MODSS, 2004 24 Alcune osservazioni sul progetto della politica La soluzione razionale al problema gestionale è la definzione di una politica di regolazione, ossia una successione di funzioni (leggi di controllo) il cui argomento è lo stato.

25 R. Soncini-Sessa, MODSS, 2004 25 s t+1 w t+1 ItIt bacino serbatoio + utenti a t+1 utut mt(st,wt)mt(st,wt) mt(st,wt)mt(st,wt) Politica di gestione p= {m t () t = 0,1,…,h} ritardo

26 R. Soncini-Sessa, MODSS, 2004 26 Alcune osservazioni sul progetto della politica Per progettare e utilizzare una politica è necessario che: 1.lo stato sia misurabile; 2.tutti i modelli dei componenti siano espressi in forma interna. Non sempre queste due condizioni sono verificate. La soluzione razionale al problema gestionale è la definzione di una politica p di regolazione,o ssia una successione di funzioni (leggi di controllo) il cui argomento è lo stato.

27 R. Soncini-Sessa, MODSS, 2004 27 Stima dello stato La soluzione razionale al problema gestionale è la definzione di una politica di regolazione, ossia una successione di funzioni (leggi di controllo) il cui argomento è lo stato Per progettare e utilizzare una politica è necessario che: 1.Lo stato sia misurabile 2.Tutti i modelli dei componenti siano espressi in forma interna Non sempre queste due condizioni sono verificate Nel caso del lago lo stato (invaso) non è misurabile, lo è invece luscita (livello). Posso avere una stima dello stato invertendo lequazione di trasformazione di uscita h t =h t (s t ). In generale Se dispongo di misure ingresso/uscita posso usare uno stimatore dello stato per ricostruire il valore dello stato da utilizzare nella politica. Così facendo sotto ipotesi abbastanza larghe le prestazioni della politica non peggiorano, rispetto al caso in cui lo stato sia misurabile. Nel caso del lago lo stato (invaso) non è misurabile, lo è invece luscita (livello). Posso avere una stima dello stato invertendo lequazione di trasformazione di uscita h t =h t (s t ). In generale Se dispongo di misure ingresso/uscita posso usare uno stimatore dello stato per ricostruire il valore dello stato da utilizzare nella politica. Così facendo sotto ipotesi abbastanza larghe le prestazioni della politica non peggiorano, rispetto al caso in cui lo stato sia misurabile.

28 R. Soncini-Sessa, MODSS, 2004 28 Alcune osservazioni sul progetto della politica La soluzione razionale al problema gestionale è la definzione di una politica di regolazione, ossia una successione di funzioni (leggi di controllo) il cui argomento è lo stato Per progettare e utilizzare una politica è necessario che: 1.Lo stato sia misurabile 2.Tutti i modelli dei componenti siano espressi in forma interna Non sempre queste due condizioni sono verificate

29 R. Soncini-Sessa, MODSS, 2004 29 La soluzione razionale al problema gestionale è la definzione di una politica di regolazione, ossia una successione di funzioni (leggi di controllo) il cui argomento è lo stato Per progettare e utilizzare una politica è necessario che: 1.Lo stato sia misurabile 2.Tutti i modelli dei componenti siano espressi in forma interna Non sempre queste due condizioni sono verificate Realizzazione I modelli meccanicistici sono già espressi in forma interna. È possibile esprimere in forma interna una BBN. E per i modelli empirici? Si sostituisce il modello empirico con un modello in forma interna che gli sia equivalente. I modelli meccanicistici sono già espressi in forma interna. È possibile esprimere in forma interna una BBN. E per i modelli empirici? Si sostituisce il modello empirico con un modello in forma interna che gli sia equivalente. Quando i due modelli sono alimentati da traiettorie di ingresso uguali esiste sempre un opportuno stato iniziale del secondo modello che produce una traiettoria di uscita uguale a quella del primo. Un modello con queste caratteristiche è detto realizzazione e il problema di identificarlo è detto problema di realizzazione.

30 R. Soncini-Sessa, MODSS, 2004 30 Realizzazione La soluzione razionale al problema gestionale è la definzione di una politica di regolazione, ossia una successione di funzioni (leggi di controllo) il cui argomento è lo stato Per progettare e utilizzare una politica è necessario che: 1.Lo stato sia misurabile 2.Tutti i modelli dei componenti siano espressi in forma interna Non sempre queste due condizioni sono verificate I modelli meccanicistici sono già espressi in forma interna È possibile esprimere in forma interna una BBN E per i modelli empirici? Si sostituisce il modello empirico con un modello in forma interna che gli sia equivalente I modelli meccanicistici sono già espressi in forma interna È possibile esprimere in forma interna una BBN E per i modelli empirici? Si sostituisce il modello empirico con un modello in forma interna che gli sia equivalente Quando i due modelli sono alimentati da traiettorie di ingresso uguali esiste sempre un opportuno stato iniziale del secondo modello che produce una traiettoria di uscita uguale a quella del primo. Per uno stesso modello empirico esistono più realizzazioni, quale scegliere? Poiché i tempi di calcolo della politica crescono esponenzialmente con le dimensioni dello stato conviene scegliere quella cui corrisponde lo stato più piccolo. REALIZZAZIONE MINIMA Per uno stesso modello empirico esistono più realizzazioni, quale scegliere? Poiché i tempi di calcolo della politica crescono esponenzialmente con le dimensioni dello stato conviene scegliere quella cui corrisponde lo stato più piccolo. REALIZZAZIONE MINIMA

31 R. Soncini-Sessa, MODSS, 2004 31 Rappresentazione interna Relazione I/U: Esempio di realizzazione ingenua (forma di simulazione)

32 R. Soncini-Sessa, MODSS, 2004 32 Pago la riduzione di dimensione del vettore dello stato con la perdita del suo significato fisico Realizzazione minima lo stato x t non è più misurabile ma solo stimabile. Lo stesso sistema è descritto anche dalle seguenti equazioni in forma interna

33 R. Soncini-Sessa, MODSS, 2004 33 Ricapitolando Per progettare e utilizzare una politica di gestione dobbiamo essere in grado di: 1.date le traiettorie ingresso/uscita di un modello, stimare il valore assunto dal suo stato quando questo non è misurabile; problema di stima dello stato 2.dato un modello in forma esterna, come un modello empirico, trovare un modello equivalente in forma interna che abbia il minimo numero possibile di variabili di stato. problema di realizzazione minima

34 R. Soncini-Sessa, MODSS, 2004 34 Leggere MODSS Parr. 4.9, 4.11, 4.12