Dipartimento di Economia

Presentazione sul tema: "Dipartimento di Economia"— Transcript della presentazione:

1 Dipartimento di Economia
Università degli Studi di Cagliari ___________________________ CORSO DI ECONOMETRIA Prof. Paolo Mattana Lez. 3 – Il processo di inferenza statistica

2 NOZIONI DI BASE Differenza fondamentale tra popolazione e campione Popolazione (o spazio campionario): In termini tecnici è costituita da tutte le possibili realizzazioni di una variabile casuale Nel caso di dati economici è costituita da tutte le osservazioni possibili su una variabile (passate, presenti e future). Raramente si arriva a conoscere la popolazione (con variabili di natura economica) Ciò che si fà, è estrarre un campione da una popolazione (che resta sconosciuta).

3 NOZIONI DI BASE Campione: Un campione può essere definito come un’estrazione di n “oggetti” da una popolazione E’ detto casuale, o stocastico, se ogni possibile combinazione di n oggetti ha la stessa probabilità di essere selezionata. Poiché le popolazioni sono spesso inaccessibili (o perché materialmente impossibili da raggiungere o per via dei costi elevati implicati), i campioni restano l’unica fonte di informazione a disposizione dell’econometrico

4 PRINCIPALI MOMENTI CAMPIONARI
NB: La media campionaria può essere ben diversa in campione ripetuti (Variabilità campionaria).  media campionaria Quesito cruciale: Che relazione esiste tra media campionaria e media della popolazione? Si ricordi che

5 PRINCIPALI MOMENTI CAMPIONARI
La media campionaria La varianza campionaria

6 PRINCIPALI MOMENTI CAMPIONARI
In contesti bivariati La covarianza campionaria La correlazione campionaria

7 L’INFERENZA STATISTICA
Problema dell’inferenza: cosa sappiamo dire sulla popolazione partendo dal campione? NB: Se il campione riproducesse esattamente i singoli momenti della popolazione di appartenenza la soluzione al problema dell’inferenza sarebbe facile da risolvere. Poiché, invece, ciò non accade sono necessari accorgimenti "tecnici" per capire e utilizzare le informazioni derivabili dai campioni. In particolare, sappiamo “molto” su come si comportano i momenti principali dei campioni rispetto ai corrispondenti valori delle popolazioni

8 L’INFERENZA STATISTICA
Il nostro problema sarà quello di “fare inferenza” sui parametri della popolazione (a noi sconosciuti) sulla base delle osservazioni campionarie. Come possiamo operare? Abbiamo tre diverse livelli di intervento. Possiamo richiedere: una stima puntuale dei parametri della popolazione (point estimation); una prob. che tali parametri si collochino entro due valori limite (interval estimation); un’indicazione prob. sul fatto che un particolare parametro della popolazione esibisca determinate caratteristiche (hypothesys testing).

9 L’INFERENZA STATISTICA
Point estimation Costruiamo una funzione delle osservazioni chiamata stimatore. Stimatore: variabile casuale che rappresenta il nostro ”miglior” tentativo di catturare il valore vero appartenente alla popolazione. Come costruiamo stime puntuali? Esempi di inferenza univariata: come faccio a inferire il valore della media o della varianza di una popolazione generica?

10 L’INFERENZA STATISTICA
Esempi di stime puntuali Abbiamo già visto che Possiamo quindi immaginare di utilizzare la media campionaria come (stimatore non distorto della media (vera) della popolazione). Stiamo, cioè, costruendo una funzione delle osservazioni (stimatore) per “catturare” il valore vero . La funzione dei parametri (stimatore), in questo caso, è

11 L’INFERENZA STATISTICA
E’ molto interessante studiare le proprietà della media campionaria. Già sappiamo che: Se infiniti campioni casuali di dimensione n sono tratti da una popolazione generica , allora:

12 L’INFERENZA STATISTICA
Dimostrazione: (Che fine fanno le covarianze?) NB: è indicato come standard error della media

13 L’INFERENZA STATISTICA
Popolazione Medie campionarie Standard deviation Standard error

14 L’INFERENZA STATISTICA
Possiamo ora produrre ulteriori indicazioni sulla media campionaria Si supponga che la popolazione parentale sia Allora, Dimostrazione: Essendo la media campionaria una sommatoria di variabili casuali per assunzione Allora, essa conserverà le proprietà statistico/distributive della popolazione originaria

15 L’INFERENZA STATISTICA
Cosa succede se non abbiamo informazioni sulla distribuzione della popolazione originaria? Teorema del limite centrale In grandi campioni, la media campionaria si distribuisce secondo una normale centrata sulla media vera e con varianza pari a indipendentemente dalla forma della distribuzione della popolazione originaria Sito divertente:

16 L’INFERENZA STATISTICA
Campione Popolazione X X X X

17 L’INFERENZA STATISTICA
Inferenza sulla varianza della popolazione Posso usare: Per la dimostrazione useremo il sito:

18 L’INFERENZA STATISTICA
Né accurato, né preciso Preciso e accurato

19 L’INFERENZA STATISTICA
Preciso, non accurato Accurato, non preciso

20 L’INFERENZA STATISTICA
Preciso e accurato Accurato, non preciso

21 L’INFERENZA STATISTICA
Bias Né accurato, né preciso Preciso, non accurato

22 L’INFERENZA STATISTICA
Interval estimation Possiamo, alternativamente, immaginare di essere interessati a Conoscere la probabilità che la media della popolazione si trovi fra due intervalli. Costruiamo ora due funzioni delle osservazioni: e diciamo che il valore vero θ giace fra i due estremi θ1 e θ2 con una certa probabilità. Gli intervalli di confidenza al 95% e 99% sono quelli più usati

23 L’INFERENZA STATISTICA
Intervalli di confidenza nel caso della media campionaria Sappiamo che: La media campionaria si distribuisce secondo una normale (teorema del limite centrale); Per ogni distribuzione normale: il 95% delle osservazioni è compreso all’interno dell’intervallo: dove Quindi, il 95% delle medie sarà compreso nell’intervallo:

24 L’INFERENZA STATISTICA
Interval estimation Ovviamente, gli intervalli di confidenza possono essere costruiti per ogni parametro stimato, non solo per μ. Media (σ noto) Media (σ stimato) Differenza tra medie (σ noto) Differenza tra medie (σ stimato) Differenza tra correlazioni

25 L’INFERENZA STATISTICA
Se  fosse conosciuto potremmo "fare inferenza" sulla popolazione utilizzando le proprietà della distribuzione normale. Tuttavia, anche quando  è sconosciuto possiamo sostituirlo con la DS del campione s, a patto che si abbia a che fare con un campione "grande” . Cosa possiamo fare per campioni piccoli?

26 L’INFERENZA STATISTICA
Problema quando il campione è piccolo e non si conosce  Non possiamo utilizzare la distribuzione normale per formare IC Possiamo stimare il valore di  dal campione Dobbiamo però usare la distribuzione t

27 L’INFERENZA STATISTICA
La t è una FDP che presenta una forma schiacciata rispetto alla Z E’ stata calcolata dal matematico inglese Gosset (1908), che la pubblicò sotto lo pseudonimo di Student La sua forma esatta dipende dai gradi di libertà: GdL = n – parametri da stimare dove n è la dimensione del campione I valori della t sono tabulati (oppure si può usare la rete…)

28 DISTRIBUZIONE t Per campioni molto grandi, il valore di s oscilla poco intorno al suo valore medio . Quindi per valori molto grandi la distribuzione t si avvicina molto a quella di Z ed arriva a coincidere per infiniti gradi di libertà. Per piccoli campioni le differenze sono notevoli, data l’oscillazione casuale di s intorno a  NB: In generale, la distribuzione t è rilevante ogniqualvolta si abbia: .

29 DISTRIBUZIONE t Parte della distribuzione che cade all’esterno dei valori tabulati  0.5 0.1 0.05 0.01 1 1.0 6.3 12.7 63.7 2 .81 2.9 4.3 9.9 Gradi di libertà … … … … … 13 .69 1.8 2.2 3.0 14 .69 1.7 2.15 3.0 15 etc Valore critico di t per df=14 (con valore critico al 5%)

30 DISTRIBUZIONE t Usiamo 2.15 al posto di 1.96. NB: i valori tabulati della distribuzione t sono più grandi di quelli della distribuzione normale Quindi, per n = 15, l’intervallo di confidenza del 95% sarà pari a:

31 L’INFERENZA STATISTICA
Esercizio 3.6 Affitto medio Intervallo al 99% Campione grande Tavole normale standardizzata 2)

32 L’INFERENZA STATISTICA
Trovare ora la dimensione del campione che comporta un Intervallo di confidenza di 2$

33 L’INFERENZA STATISTICA
Esercizio 3.5 Gli onorari orari in un campione di 40 studi risultano in media pari a 25$ con s = 3,7. Si ottenga un intervallo di confidenza al 95% per tutti i professionisti. i) Suppongo che il campione sia "grande" posso trovare una Z ~N(0,1) tale che:

34 L’INFERENZA STATISTICA
ii) Controllo le tavole (già sappiamo che 1 = - 1,96 ; 2 = 1,96) iii) Se il campione è piccolo, cosa succede?

35 RIEPILOGANDO…. Cosa sappiamo sulla distribuzione della popolazione? Normale Non normale Conosciamo σ? Dimensione del campione Grande? Piccola? No Si Dimensione del campione Stop Piccola Grande

36 DISTRIBUZIONE CHI-QUADRATO
Se Z1, Z2,…., Zn sono N(0, 1), allora: Es: sotto H0 si distribuisce secondo un Infatti: Useremo spesso per fare RSSR - RSSUUR URL utile:

37 DISTRIBUZIONE CHI-QUADRATO
(v = 1 o 2) (v = 3 o 5) NB: la distribuzione approssima una normale man mano che v sale

38 DISTRIBUZIONE “ F “ di Fischer
Se u e v sono due variabili casuali distribuite indipendentemente secondo un , allora: si distribuisce secondo una F con u GL al numeratore e v GL al denominatore Es: sotto H0 URL utile:

39 DISTRIBUZIONE “ F “ di Fischer
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 d.f.N = 8 d.f.D = 20 1 2 3 4 5

40 L’INFERENZA STATISTICA
Hypothesis testing In questo caso si suggeriscono alcune ipotesi su θ e si accetta o si rifiuta questa ipotesi sulla base dei dati Teoria Deduzione Ipotesi La teoria è collegata all’ipotesi attraverso la deduzione logica. Deduciamo le ipotesi a partire dalla teoria Se la teoria è vera, l’ipotesi sarà vera

41 TEST DELLE IPOTESI Nei modelli statistici distinguiamo due tipi di ipotesi Quelle riguardanti la struttura del modello: Forma della distribuzione; Modelli di campionamento. Quelle riguardanti i valori assunti dai parametri del modello data la sua struttura.

42 TEST DELLE IPOTESI I test sull’adeguatezza della struttura del modello sono detti Test diagnostici O Test di cattiva specificazione I test sui parametri sono detti Test di specificazione

43 TEST DELLE IPOTESI Definizioni Ipotesi nulla: (H0) ipotesi (tentativo) intorno a un parametro della popolazione Ipotesi alternativa: (H1) solitamente il complemento rispetto all’universo Statistica: Una statistica è una quantità numerica calcolata in un campione. Livello di significatività: il livello di significatività è il criterio usato per rigettare l’ipotesi nulla

44 TEST DELLE IPOTESI Approccio di Neyman – Pearson (1933) Specificare un ipotesi nulla (H0) e un ipotesi alternativa (H1) Scegliere un livello di significatività α Calcolare una statistica Calcolare il p value della distribuzione appropriata sotto H0 Confrontare il p value con α se p value ≤ α rifiutiamo l’ipotesi nulla; se p value > α non rifiutiamo l’ipotesi nulla.

45 TEST DELLE IPOTESI I test di significatività statistica si conducono per stabilire se una ipotesi nulla può essere accettata Se H0 è rifiutata significatività statistica Se H0 è non rifiutata assenza di significatività statistica La scelta di α determina la probabilità di errore di Iª specie NB: La significatività statistica di un coefficiente non implica la sua significatività pratica.

46 TEST DELLE IPOTESI Errore di Iª specie (α): Probabilità di rigettare l’ipotesi nulla quando è vera Errore di IIª specie (β) Probabilità di non rigettare l’ipotesi nulla quando è falsa