Il problema: un percorso ad ostacoli

Presentazione sul tema: "Il problema: un percorso ad ostacoli"— Transcript della presentazione:

1 Il problema: un percorso ad ostacoli
Spunti per insegnare ad affrontare e risolvere problemi matematici 19 marzo 2013 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

2 Lunghezza di una linea limitata
Intuitivamente: linea limitata è una linea nella quale è possibile individuare un primo punto e un ultimo punto, tra i quali sono compresi tutti gli altri punti della linea. Esempi di linee limitate: segmenti, circonferenze, archi di circonferenza, ellissi, … Esempi di linee non limitate: rette, semirette, iperboli, parabole, … hanno una qualità chiamata “lunghezza” che è una grandezza estensiva non è definita la loro lunghezza Concetto definito a partire dai segmenti Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

3 Lunghezza di un segmento
relazione fondante: congruenza tra due segmenti, realizzata concretamente tramite il trasporto rigido la congruenza è una relazione di equivalenza: P. riflessiva: ogni segmento x è congruente a se stesso x  x P. simmetrica: se un segmento x è congruente a un segmento y, allora y è congruente a x x  y  y  x P. transitiva: se un segmento x è congruente a un segmento y e y è congruente ad un segmento z, allora anche x è congruente a z x  y e y  z  x  z Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

4 mediante trasporto rigido si verifica che: a  e  f b  d  h c  g
segmenti tra loro congruenti formano una classe di equivalenza ℓ1 ℓ2 ℓ3 la proprietà che accomuna segmenti appartenenti alla stessa classe di equivalenza, cioè uguali rispetto al movimento rigido, si chiama lunghezza a b c d e f g h Segmenti congruenti definiscono la stessa lunghezza, rappresentata da un segmento qualunque della classe Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

5 Insieme di rette del piano Insieme di segmenti del piano
Analogia nel procedimento definitorio del concetto di lunghezza di un segmento e di quello di direzione di una retta: Insieme di rette del piano Insieme di segmenti del piano relazione di equivalenza: parallelismo relazione di equivalenza: congruenza Ripartizione in classi di parallelismo Ripartizione in classi di congruenza associazione ad ogni classe di una proprietà astratta associazione ad ogni classe di una proprietà astratta Definizione di direzione Definizione di lunghezza Due rette o sono uguali o sono diverse rispetto alla direzione Due segmenti o sono uguali o sono diversi rispetto alla lunghezza Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

6 Non ha alcun significato la somma di due direzioni
Differenze tra la “qualità” direzione di una retta e la “qualità” lunghezza di un segmento Rette aventi direzione diversa non possono essere “ordinate” rispetto alle relative direzioni Segmenti aventi lunghezza diversa possono essere “ordinati” rispetto alle relative lunghezze Non ha alcun significato la somma di due direzioni Ha senso determinare la somma di due lunghezze Non ha alcun significato parlare di multipli e sottomultipli di una direzione Ha senso parlare di multipli e di sottomultipli di una lunghezza La lunghezza è una grandezza estensiva La direzione non è una grandezza Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

7 Addizione tra lunghezze
addizione tra segmenti: siano AB e BC due segmenti tra loro adiacenti; si chiama segmento somma di AB con BC il segmento AC e si scrive AC = AB + BC A B C l’addizione tra segmenti è definita solo se i segmenti sono fra loro adiacenti; se i segmenti non sono adiacenti il segmento somma non è definito. Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

8 addizione tra lunghezze: fondata su
possibilità di sommare due segmenti adiacenti possibilità di rappresentare una lunghezza con uno qualunque degli infiniti segmenti appartenenti alla classe di equivalenza associata alla lunghezza Siano ℓ1 e ℓ2 due lunghezze; scelto un segmento AB come rappresentante di ℓ1, si prenda come rappresentante per ℓ2 un segmento BC adiacente ad AB. Si definisce somma di ℓ1 con ℓ2 la lunghezza rappresentata dal segmento AC ℓ1 + ℓ2 = ℓAC Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

9 Non ha senso la somma di segmenti AB + BC + CD + DE
Lunghezza di una spezzata: è la lunghezza somma delle lunghezze dei lati della spezzata Non ha senso la somma di segmenti AB + BC + CD + DE A E D C B Ha senso la somma delle lunghezze ℓAB + ℓBC + ℓCD + ℓDE e il risultato è la lunghezza della spezzata ABCDE Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

10 Lunghezza di una linea curva (da “Nel mondo della geometria” vol
Lunghezza di una linea curva (da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson da pag. 55 a pg. 60) Nel caso di linee che non sono segmenti e non sono spezzate la definizione rigorosa di lunghezza comporta il ricorso a processi infinitesimali, ossia l’approssimazione della linea con spezzate che sono progressivamente più “prossime” alla linea e hanno i vertici sulla linea o sono ad essa tangenti, come mostrano i seguenti disegni La lunghezza della linea è il limite a cui tende la successione delle lunghezze delle spezzate così costruite, quando tende ad infinito il numero dei lati delle spezzate. Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

11 I concetti di lunghezza, area, volume (da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson da pag. 55 a pg. 60) Nella pratica la lunghezza di una linea con elementi curvi si determina o tramite rettificazione, per esempio con cordicelle, oppure con il curvimetro, ruota graduata in centimetri da fare scorrere sulla linea. Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

12 Curvimetri Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

13 La lunghezza e la sua misura (da “Nel mondo della geometria” vol
La lunghezza e la sua misura (da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson da pag. 82 a pg. 86) Itinerario didattico 6.1 Confronto di lunghezze 6.1.1 Confronto diretto di lunghezze 6.1.2 Confronto indiretto di lunghezze con l’uso di un medio termine 6.2 Misurazione di lunghezze con unità di misura arbitrarie 6.2.1 Utilizzo di unità di misura di un solo tipo 6.2.2 Utilizzo contemporaneo di più unità di misura 6.3 Misurazione di lunghezze con unità di misura convenzionali 6.3.1 Utilizzo del metro 6.3.2 Costruzione dei sottomultipli del metro 6.3.3 Costruzione dei multipli del metro 6.4 Il concetto di perimetro 6.4.1 Determinazione della lunghezza di una linea limitata 6.4.2 Determinazione del perimetro di un poligono 6.4.3 Determinazione della lunghezza di una circonferenza Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

14 Pluralità di manifestazioni e di espressioni per la lunghezza
La lunghezza e la sua misura (da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson da pag. 82 a pg. 86) La lunghezza è senza alcun dubbio la grandezza di cui gli alunni hanno maggiore esperienza extrascolastica, sia per quanto riguarda la grandezza in sé sia per quanto riguarda la relativa misura. Pluralità di manifestazioni e di espressioni per la lunghezza altezza spessore altitudine o profondità distanza lunghezza larghezza Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

15 La lunghezza e la sua misura (da “Nel mondo della geometria” vol
La lunghezza e la sua misura (da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson da pag. 82 a pg. 86) Dal linguaggio comune: “quanto è lungo quel film?” non si intende sapere quant’è la lunghezza della pellicola, ma quanto dura la proiezione del film. “in un tema non conta la lunghezza” ci si riferisce al numero di pagine scritte, numero che può essere considerato una misura di area. Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

16 La lunghezza e la sua misura (da “Nel mondo della geometria” vol
La lunghezza e la sua misura (da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson da pag. 82 a pg. 86) vicino Visualizziamo in modo sintetico le diverse terminologie con cui può essere espressa la lunghezza, con un albero Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

17 6.1.1 Confronto diretto di lunghezze (da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson da pag. 82 a pg. 86) Condizione necessaria affinché una “qualità” possa essere definita grandezza è che due enti possano essere confrontati rispetto a questa “qualità” in modo da stabilire se rispetto ad essa sono uguali o non sono uguali; inoltre, nel caso di non uguaglianza, deve essere possibile confrontare i due enti, così da stabilire quale di essi “possiede” più o meno intensamente la “qualità” (stabilire relazioni d’ordine) Confronto diretto, ossia l’accostamento o la sovrapposizione dei due enti di cui si vuole confrontare la lunghezza. Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

18 Confronto diretto nella vita quotidiana
fa allineare in ordine crescente di altezza: per eseguire il comando non è necessario sapere quanto ciascuno è alto, basta accostarsi spalla a spalla e vedere la spalla di quale bambino sopravanza quella dell’altro; verificare se un mobile passa o non passa da una porta per larghezza o per altezza; se un libro sta sul ripiano di una libreria a mensole; se uno scatolone passa o meno sotto il letto;… Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

19 6.1.1 Confronto diretto di lunghezze (da “Nel mondo della geometria” vol. 5 a cura di C. Colombo Bozzolo, Angela Costa e Carla Alberti Erickson da pag. 82 a pg. 86) La semplicità della richiesta di un confronto diretto non è, però, sinonimo di banalità in quanto gli alunni devono rendersi conto che per effettuare il confronto è necessario fare coincidere il “punto di partenza” dei due enti. Inoltre, essi sperimentano che ha senso il confronto di lunghezze solo per i corpi rigidi, nel senso di corpi che non sono estensibili ed elastici, mentre possono essere flessibili e “non diritti”: date due cordicelle è possibile stabilire quale è più lunga, tendendole, mentre la medesima operazione è priva di significato nel caso di due elastici. Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

20 Riflessioni sul linguaggio
Un oggetto non è lungo o corto, alto o basso, largo o stretto, … in assoluto, ma è più o meno lungo, più o meno corto, …. di un altro. Alla varietà nei modi di esprimere la lunghezza si aggiunge la presenza di termini, per lo più aggettivi, propri per indicare la “mancanza” di lunghezza: più corto, più stretto, più basso, … Anche in questo caso si tratta di un linguaggio fortemente connesso alle situazioni reali, nelle quali si distingue anche il caldo dal freddo, pur avendo esistenza fisica solo il calore e il freddo è assenza di calore, non ha esistenza in sé. È importante guidare gli alunni a formulazioni nelle quali sia ben chiara la grandezza rispetto alle quali due oggetti vengono confrontati, anche per non indurre l’idea errata di due diversi ordinamenti opposti e presenti contemporaneamente: quello delle lunghezze e quello delle “strettezze”; all’espressione “la cannuccia rossa è più corta della cannuccia verde” è, dunque, preferibile sostituire “la cannuccia rossa è meno lunga della cannuccia verde”. Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

21 Importante L’uguaglianza o la non uguaglianza di lunghezza non dipendono dalla posizione dei due corpi. Se si dispongono sul banco un pezzo di cannuccia A e un pezzo di cannuccia B, in modo che, per esempio, siano affiancate come mostra il disegno si rileva che B è più lunga di A. Se, poi, le stesse due parti di cannuccia vengono diversamente disposte, la relazione tra le loro lunghezze non cambia A B A B Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

22 La lunghezza L’unità di misura della lunghezza è il metro (m),
definito come la distanza percorsa dalla luce, nel vuoto, in un intervallo di tempo pari a 1/ di secondo. Il metro fu introdotto nel 1791, all’epoca della rivoluzione francese, come la quarantamilionesima parte di un meridiano terrestre. Il metro «campione», costituito da una barra di platino-iridio, è conservata all’Ufficio Internazionale di Pesi e Misure di Sèvres, vicino Parigi. Per quale ragione nel 1983 si decise di cambiare la definizione del metro? Perché un metro costruito con la definizione attuale in qualunque laboratorio del mondo ha sempre la stessa lunghezza? Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013 22

23 Misurare è un problema perché …
Riflettiamo… Misurare è un problema perché … è certo che si commettono errori diverso è misurare nelle scienze sperimentali dal misurare in matematica Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

24 ogni misura è affetta da errore
È impossibile determinare la misura “vera” di una grandezza ogni misura è affetta da errore Teoria degli errori Errori casuali causati da molteplici fattori (vibrazioni,…) non eliminabili sia in eccesso sia in difetto Errori sistematici difetti negli strumenti eliminabili o in eccesso o in difetto Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

25 in matematica ha uno 0 “inutile”: 7,0 dag = 7 dag
Qualche esempio: Se si usa una bilancia con la sensibilità al grammo, è necessario esprimere le misure di massa fino alla cifra dei grammi: 3,46 hg ,235 kg ,0 dag La scrittura 7,0 dag letta in matematica ha uno 0 “inutile”: 7,0 dag = 7 dag nelle scienze sperimentali contiene indicazione della sensibilità dello strumento l’equivalenza 15 kg = g è corretta dal punto di vista matematico scorretta dal punto di vista sperimentale: 15,00 kg = g l’equivalenza 600 g = 0,6 kg è corretta dal punto di vista matematico e da quello sperimentale Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

26 ENTE (GEOMETRICO) GRANDEZZA (qualità estensiva) MISURA
Tre sono i “livelli” attraverso relazione di equivalenza fissata unità di misura ENTE (GEOMETRICO) GRANDEZZA (qualità estensiva) MISURA segmento (linea limitata) numero lunghezza congruenza poligono (figura piana limitata) numero area equiestensione angolo ampiezza numero congruenza figura solida volume numero equiestensione Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

27 ? ? ? ? ? È giusto o sbagliato dire …
Il lato di un quadrato misura 5 cm ? L’area di un triangolo misura 38 m2 ? Il perimetro di un rettangolo è lungo 20 cm ? L’angolo retto misura 90° ? Il volume di un cubo è 64 cm3 ? Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

28 Quali unità di misura? Sistema Internazionale di Unità (SI)
(XI Conferenza Generale di Pesi e Misure – 1960) Precisa: grandezze, unità di misura e simboli ammessi multipli e sottomultipli regole di scrittura Legge dello Stato Italiano: Legge n. 122 del D.P.R. n. 802 del Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

29 SI: grandezze, unità di misura e simboli
Grandezze fondamentali: 7 grandezze indipendenti l’una dall’altra GRANDEZZA UNITÀ MISURA SIMBOLO lunghezza metro m massa chilogrammo kg intervalli di tempo secondo s temperatura kelvin K intensità corrente ampere A intensità luminosa candela intern. cd quantità di sostanza mole mol Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

30 Grandezze derivate: tutte le grandezze non fondamentali
sono definite a partire dalle grandezze fondamentali oppure da altre non fondamentali già definite Esempi - La velocità è il rapporto tra la variazione dello spazio percorso (lunghezza) e l’intervallo di tempo in cui è avvenuta tale variazione. - L’accelerazione è il rapporto tra la variazione della velocità e l’intervallo di tempo in cui è avvenuta tale variazione. le loro unità di misura sono derivate da quelle delle corrispondenti grandezze fondamentali Esempi - Per la velocità: 1 m/s - Per l’accelerazione: 1 m/s2 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

31 GRANDEZZA UNITÀ MISURA SIMBOLO
Unità tollerate: per alcune grandezze del SI sono annesse ammesse a tempo indeterminato unità di misura diverse da quelle convenzionali GRANDEZZA UNITÀ MISURA SIMBOLO volume litro L, l, ℓ Unità di misura di volume Unità di misura di capacità 1m3 1kl 1hl 1dal 1dm3 1l 1dl 1cl 1cm3 massa tonnellata t area ara a 1 a = 10 dam2 1 ha = 102 a = 10 hm2 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

32 SI: multipli e sottomultipli di un’unità di misura
FATTORE NOME SIMBOLO vengono precisati i valori dei multipli e dei sottomultipli ammessi, il loro nome, da premettere a quello dell’unità, e il loro simbolo, da premettere a quello dell’unità M U L T I P 1012 tera T 1015 peta P 109 giga G 106 mega M 1018 exa E 103 kilo k 102 etto h 101 deca da 1 unità Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

33 FATTORE NOME SIMBOLO 1 unità S O T M U L I P 103 milli m 102 centi c
101 deci d 1012 pico p 1015 femto f 1018 atto a 106 micro  109 nano n Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

34 secondo (1”)= 1/60 (di primo)
Multipli e sottomultipli tollerati: sono consentiti per alcune unità di misura multipli e sottomultipli non del tutto decimali, ma sessagesimali GRANDEZZA UNITÀ SOTTOMULTIPLI Ampiezza angolo grado (1°) primo (1’)= 1/60 (di grado) secondo (1”)= 1/60 (di primo) Intervalli di tempo secondo (1s) MULTIPLI minuto (1 min)= 60 s ora (1h)= 60 min Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

35 SI: alcune regole di scrittura
Se l’unità di misura non è riferita ad un valore numerico scritto in cifre, allora l’unità va scritta per esteso Alcuni metri Alcuni m Sbagliato! Giusto! L’unità di misura segue il valore numerico cui si riferisce, tranne nel caso dei simboli monetari s 12 5 € 12 s € 5 Sbagliato! Giusto! 7 kg. 3h 15min 9 sec 2 mt. 7 kg 9 s 2 m I simboli delle unità di misura non vanno puntati (sono simboli non abbreviazioni), vanno scritti in riga con il valore, non ammettono altra scrittura da quella indicata nel SI. Sbagliato! Giusto! Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

36 Il lato di un quadrato misura 5 cm
Il soggetto è un ente geometrico Sbagliato! Il verbo fa riferimento a un numero Il lato di un quadrato misura 5 cm È una lunghezza, quindi una grandezza Formulazioni corrette: Il lato di un quadrato è lungo 5 cm La lunghezza del lato di un quadrato è 5 cm La misura, in centimetri, della lunghezza del lato di un quadrato è 5 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

37 L’area di un triangolo misura 38 m2
Il soggetto è una grandezza Sbagliato! Il verbo fa riferimento a un numero L’area di un triangolo misura 38 m2 È un’area, quindi una grandezza Formulazioni corrette: L’area di un triangolo è 38 m2 Un triangolo ha area 38 m2 La misura, in metri quadrati, dell’area di un triangolo è 38 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

38 Il perimetro di un rettangolo è lungo 20 cm
Il soggetto è una grandezza Sbagliato! Il predicato esprime una proprietà del soggetto Il perimetro di un rettangolo è lungo 20 cm È una lunghezza, quindi una grandezza Formulazioni corrette: Il perimetro di un rettangolo è 20 cm Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

39 L’angolo retto misura 90°
È un’ampiezza, quindi una grandezza Il soggetto è un ente geometrico Sbagliato! L’angolo retto misura 90° Il verbo fa riferimento a un numero Formulazioni corrette: L’angolo retto è ampio 90° L’ampiezza dell’angolo retto è 90° La misura, in gradi, dell’angolo retto è 90 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

40 Il volume di un cubo è 64 cm3 Giusto! È una grandezza
È una grandezza (la stessa) Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

41 Lunghezza del segmento:
I tre diversi “livelli” andrebbero distinti non solo verbalmente, ma anche simbolicamente: un simbolo per indicare l’ente geometrico un altro simbolo per indicare la grandezza associata all’ente un altro simbolo per indicare la misura della grandezza rispetto ad una certa unità fissata Segmento: AB Lunghezza del segmento: [AB] = 12 cm Un segmento AB è lungo 12 cm Misura, in centimetri, della lunghezza del segmento: [AB]cm = 12 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

42 è l’ampiezza della 400a parte dell’angolo giro
Sistema centesimale Angoli notevoli: angolo giro: è ampio 400g angolo piatto: è ampio 200g angolo retto: è ampio 100g Unità di misura: grado centesimale 1g è l’ampiezza della 400a parte dell’angolo giro Sistema in radianti Angoli notevoli: angolo giro: è ampio 2π angolo piatto: è ampio π angolo retto: è ampio π/2 Unità di misura: radiante 1rad è l’ampiezza dell’angolo che posto al centro di una circonferenza individua un arco lungo come il raggio della circonferenza  La definizione di un angolo non può essere legata alla misura dell’ampiezza dell’angolo stesso Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

43 PICCOLI ARTISTI CONFRONTO DIRETTO DI LUNGHEZZE IL BOCCASCENA
Luca e Silvia hanno trovato su una rivista di bricolage il modellino di un teatrino e vogliono provare a costruirlo per poter rappresentare con i burattini a dita una commediola. Potrai costruire anche tu un piccolo teatrino utilizzando i pezzi che troverai nella pagina seguente. Segui attentamente le istruzioni e… all’opera! IL BOCCASCENA Ritaglia le strisce, incollale su un cartoncino e uniscile secondo il modello. Come hai fatto a stabilire con sicurezza quali strisce vanno usate per le colonne? - La striscia che serve per la trave è …………………………….. delle strisce che servono per le colonne - Le due strisce che servono per le colonne hanno ………… Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

44 Ritaglia le strisce, confrontale e colorale seguendo le indicazioni:
IL SIPARIO Ritaglia le strisce, confrontale e colorale seguendo le indicazioni: strisce di uguale lunghezza devono avere uguale colore le strisce più lunghe vanno colorate di verde le strisce più corte vanno colorate di blu le altre strisce vanno colorate di giallo. * Indica con una crocetta la risposta esatta. Come sono le strisce gialle rispetto alle strisce blu? Più lunghe Meno lunghe Lunghe uguali Come sono le strisce gialle rispetto alle verdi? Le strisce gialle sono……………………………… di quelle verdi e …………………….. di quelle blu. Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

45 Tutte le porte hanno uguale altezza? ………..
IL FONDALE Come fondale Silvia e Luca hanno preparato un grande castello che potrai comporre seguendo le istruzioni. Ritaglia porte e finestre; confrontale per rispondere alle seguenti domande. Tutte le porte hanno uguale altezza? ……….. Tutte le porte hanno uguale larghezza? ……….. Tutte le finestre hanno uguale larghezza? ……… Tutte le finestre hanno uguale altezza? ……… Ritaglia le torri, confrontale e completa La torre n°1 è larga come la torre …… La torre n°1 è alta come la torre …… La torre n°2 è ……………………. larga della torre n°4. La torre n°2 è ……………………alta della torre n°3. Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

46 LA PAGLIUZZA Luca Sara Valentina Marco
Valentina, Sara, Marco e Luca sono stati colpiti da un particolare della fiaba “Il gatto con gli stivali”: il papà, quando deve decidere cosa lasciare in eredità ai figli, fa estrarre a ciascuno di loro una pagliuzza. I quattro bambini per stabilire, senza litigare chi partirà per primo nella gara a cronometro della corsa veloce, decidono di affidarsi alla sorte utilizzando lo stesso metodo. Siccome non è facile trovare delle pagliuzze, utilizzano quattro cannucce di diversa lunghezza. Chi estrarrà la cannuccia più lunga sarà il primo a correre. Luca Sara Valentina Marco Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

47 Misure arbitrarie Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

48 OBIETTIVO COSTRUZIONE DEL CONCETTO DI ANGOLO
CONTENUTI Congruenza * e confronto di angoli : concetto di ampiezza Classificazione e denominazione di angoli Misura di ampiezze angolari * Assumiamo la congruenza di angoli (coincidenza di vertici e di lati) come nozione primitiva da verificare, a questo livello, con il trasporto rigido di modelli. Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

49 L’ampiezza angolare Per potere confrontare angoli è indispensabile che gli alunni abbiano ben compreso che l’ampiezza di un angolo è indipendente dalla lunghezza dei suoi lati. Un’attività che nell’esperienza delle insegnanti del Nucleo si è mostrata particolarmente significativa in proposito è quella denominata “L’intruso”. Per tale attività si devono predisporre per ogni bambino quattro cerchi, in cartoncino, di raggio diverso e di colore diverso (per esempio, uno rosso, uno verde, uno blu e uno giallo). Ciascun cerchio è da dividere in quattro settori circolari: due con l’angolo retto (nelle figure, quelli contraddistinti dai numeri 1 e 3), uno con l’angolo acuto (quelli contraddistinti dal numero 4), uno con l’angolo ottuso (contraddistinto dal numero 2). Nel disegno sono raffigurati quattro possibili cerchi distinti per la trama dello sfondo. Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

50 Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

51 L’insegnante chiede, poi, ai bambini di
I fase L’insegnante chiede, poi, ai bambini di - ricomporre l’angolo giro usando i settori dello stesso colore; Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

52 - ricomporre l’angolo giro utilizzando per ogni cerchio tre settori di uno stesso colore e uno di colore diverso, in modo che questo possa inserirsi senza sovrapporsi agli altri e senza lasciare spazi vuoti; tale settore è “l’intruso”; - controllare il numero che contrassegna l’intruso e il numero del pezzo che è stato sostituito, quindi sovrapporre i due pezzi facendo combaciare il vertice e i lati. Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

53 Le conclusioni alle quali si devono guidare i bambini sono:
gli intrusi “si comportano bene”, non spingono e non lasciano spazio vuoto perché hanno la stessa ampiezza dei pezzi che vanno a sostituire; il pezzo contrassegnato dal numero 1 può essere sostituito da pezzi di diverso colore contrassegnati dallo stesso numero oppure dal numero 3, in quanto i pezzi con il numero 1 e con il numero 3 hanno la stessa ampiezza angolare, in particolare sono angoli retti. Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

54 Relazioni tra angoli confronto diretto confronto indiretto
Per confrontabilità si intende la possibilità di stabilire se due grandezze sono uguali oppure no e, nel caso non lo siano, quale è maggiore dell’altra. Nel caso degli angoli il confronto delle ampiezze avviene tramite il trasporto rigido, nozione tradotta operativamente con l’uso di modelli su carta o cartoncino e di strumenti come carta trasparente e compasso. Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

55 La fase successiva nel percorso finalizzato all’introduzione della misura dell’ampiezza di un angolo è quella del confronto indiretto con un medio termine. Terza fase è quella del confronto indiretto tramite uno strumento che consenta di stabilire l’uguaglianza o la disuguaglianza tra le ampiezze di due angoli, non di misurare tali ampiezze. Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

56 Utilizzo del cosiddetto “confrontatore”
Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

57 Dati due angoli a confrontare rispetto alle loro ampiezze, si procede nel modo seguente:
si pone il punto V sul vertice di un angolo e la freccia f1 su uno dei suoi lati si sposta la freccia f2 fino a fare sovrapporre il segmento tracciato su di essa sul secondo lato dell’angolo si trasporta rigidamente il confrontatore, senza alterare la posizione della freccia mobile, sull’altro angolo, in modo che V coincida con il suo vertice e la freccia f1 con uno dei due lati osservando la posizione del segmento tracciato su f2 rispetto al secondo lato dell’angolo si stabilisce la relazione tra le ampiezze dei due angoli dati. Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

58 La misura dell’ampiezza angolare rispetto ad unità di misura arbitrarie
Assumendo l'angolo retto come unità di misura si ha che l'angolo piatto è ampio 2 angoli retti e l'angolo giro 4. Assumendo l'acutone come unità di misura si ha che l'angolo retto è ampio 4 acutoni, l'angolo piatto 8 e l'angolo giro 16. Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

59 Per rendere sempre più precisa la misura dell’ampiezza degli angoli, si può preparare un goniometro con l'angolo "unità di misura" meno ampio dell'acutone, detto, arbitrariamente, acutino. Nel goniometro presentato nella figura seguente è stato scelto come acutino l’angolo pari a 1/9 dell’angolo retto, ossia a 1/36 dell'angolo giro, al fine di facilitare l'introduzione successiva dell’angolo grado come la decima parte di questo angolo. Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

60 Unità di misura convenzionali
L’osservazione dei goniometri in commercio porta ad introdurre l’unità di misura convenzionale dell’ampiezza degli angoli: è l’ampiezza dell’angolo ottenuto suddividendo in 90 parti congruenti l’angolo retto, quindi in 360 parti congruenti l’angolo giro. Questo angolo è detto angolo grado e la sua ampiezza è indicata con 1°. Clara Colombo Bozzolo -Patrizia Dova - Marinella Del Torchio Mathesis Varese marzo maggio 2013

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