Dipartimento di Economia

Presentazione sul tema: "Dipartimento di Economia"— Transcript della presentazione:

1 Dipartimento di Economia
Università degli Studi di Cagliari ___________________________ CORSO DI ECONOMETRIA Prof. Paolo Mattana Lez. 7 – Il modello multivariato

2 IL MODELLO MULTIVARIATO
Finora: Abbiamo trovato uno stimatore per la relazione fra X e Y; Abbiamo sviluppato regole decisionali che permettono di usare lo stimatore per “testare” ipotesi sulla relazione tra X e Y; Ma abbiamo sempre preso in considerazione una sola X (ed un solo beta, coefficiente angolare) Il mondo è spesso più complicato!! Cosa succede se Y ha piu’ di una “causa”?

3 IL MODELLO MULTIVARIATO
L’estensione al caso multivariato è semplice Invece di avere a che fare con lo spazio in due dimensioni dobbiamo considerare lo spazio multi-dimensionale Se abbiamo X1 e X2, allora stimiamo i parametri di un piano in mezzo ad una nuvola (di punti) tridimensionale. Oltre 3 dimensioni ….non possiamo visualizzare.

4 IL MODELLO MULTIVARIATO
L’equazione da stimare diventa (in notazione scalare): dove le Xj sono le variabili indipendenti (o regressori) e i beta sono parametri (sconosciuti) oggetto di stima. La logica OLS è la stessa NB: qual è ora l’interpretazione dei beta? Possono essere visti come derivate parziali: misurano cioè l’effetto sulla variabile dipendente di variazioni delle relative variabili indipendenti (ceteris paribus).

5 IL MODELLO MULTIVARIATO
NB: Dare le dimostrazioni delle proprietà degli stimatori OLS con questa notazione è inutilmente complicato. Passaggio alla notazione matriciale Possiamo rappresentare le derivazioni in termini di algebra lineare L’equazione generica da stimare diventa: dove X è un vettore i cui componenti valgono sempre uno.

6 IL MODELLO MULTIVARIATO
In termini scalari abbiamo: NB: Stiamo post-moltiplicando perchè, per le proprietà delle matrici, solo così ri-otteniamo il modello in forma scalare

7 IL MODELLO MULTIVARIATO
Ripassare: operazioni con le matrici; trasposizione di matrici inversione di matrici …in particolare

8 IL MODELLO MULTIVARIATO
Matrice inversa Data una matrice quadrata A, , definiamo la matrice inversa B tale che AB = I (= matrice identità) L’inversa esiste solo se Una matrice invertibile è detta non-singolare Una matrice non invertibile è detta singolare

9 IL MODELLO MULTIVARIATO
Una matrice importante: = SSR

10 IL MODELLO MULTIVARIATO
Altra importante matrice: Come è fatta nel caso trivariato?

11 IL MODELLO MULTIVARIATO
Problema dal punto di vista matematico nel contesto multivariato: Abbiamo bisogno di trovare il vettore dei beta che minimizza e’e=RSS Calcoliamo le derivate parziali rispetto ad ogni elemento di beta

12 IL MODELLO MULTIVARIATO
Imponendo che le derivate siano uguali a 0 otteniamo Ovviamente generiamo k equazioni diverse (dove k è sconosciuto)

13 IL MODELLO MULTIVARIATO
Otteniamo Dividiamo per esiste solo se non è singolare (ha rango pieno) Ciò significa che nessuna riga o colonna di X è una combinazione lineare di un’altra riga o colonna di X.

14 IL MODELLO MULTIVARIATO
Ciascun elemento del vettore beta è una pendenza associata ad una X. Esattamente come in un contesto bivariato, tranne per il fatto che 1 (generico) rappresenta la variazione attesa di Y per una unità di incremento di X1, (tenendo costanti X2…Xn); Quindi il coefficiente generico i rappresenta l’effetto diretto di Xi su Y (controllando per le diverse altre cause)

15 IL MODELLO MULTIVARIATO
Il coefficiente 1 è calcolato sulla base dell’area in giallo che si sovrappone a quella in blu, ma non a quella in rosso. L’area centrale non è presa in considerazione. Non sappiamo quale variabile la spieghi Problema (serio) della multicollinarità (studieremo bene) X1 Y X2

16 IL MODELLO MULTIVARIATO
Tutto il discorso fatto per il modello bivariato si applica anche qui Bisogna aggiungere l’assenza di multicollinearità OLS è BLUE se:

17 IL MODELLO MULTIVARIATO
NB: è una matrice Diversa da (Sum of squared errors) Gli elementi della diagonale principale sono le varianze di e1, e2,…en Gli elementi fuori diagonale sono le covarianze

18 IL MODELLO MULTIVARIATO
Forma desiderabile della matrice varianza – covarianza dove I è la matrice identità

19 IL MODELLO MULTIVARIATO
Violazione dell’assunzione Gli elementi sulla diagonale non sono costanti (Eteroschedasticità); Gli elementi fuori diagonale sono diversi da zero (Autocorrelazione) Abbiamo già visto (nel caso bivariato) che sono due distinti problemi che si manifestano con differenti tipi di dati

20 IL MODELLO MULTIVARIATO
ETEROSCHEDASTICITA’ E’ un problema che si trova in dati cross-section (specialmente dati aggregati); L’accuratezza delle misurazioni può differire tra le unità prese in considerazione; L’errore può essere proporzionale alla grandezza dell’unità presa in considerazione (esempio PIL). COME E’ FATTA LA MATRICE VAR/COV DEGLI ERRORI?

21 IL MODELLO MULTIVARIATO
AUTOCORRELAZIONE È un problema tipico delle serie temporali Può essere generato da errori di misura (autocorrelati) forma funzionale errata struttura dinamica COME E’ FATTA LA MATRICE VAR/COV DEGLI ERRORI?