OPTICS BY THE NUMBERS LOttica Attraverso i Numeri Michael Scalora U.S. Army Research, Development, and Engineering Center Redstone Arsenal, Alabama, 35898-5000.

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1 OPTICS BY THE NUMBERS LOttica Attraverso i Numeri Michael Scalora U.S. Army Research, Development, and Engineering Center Redstone Arsenal, Alabama, 35898-5000 & Universita' di Roma "La Sapienza" Dipartimento di Energetica Rome, April-May 2004

2 Integrazioni Numeriche di Equazioni differenziali di Primo Grado Soluzione Numeriche di Equazioni Nonlineari: Predictor-Corrector Algorithm

3 Ritorniamo alla tipica equazione differenziale di primo grado che abbiamo gia visto, e risolviamo. La soluzione puo anche essere espressa cosi: p(t) Lintegrale rappresenta larea sotto la curva p(t). Il problema numerico: come meglio stimarla 0 t

4 Se ci limitiamo ad intervalli infinitesimali... Dato un punto di partenza diverso da zero La funzione p(t) puo essere approssimata come una costante data dal valore allinizio dellintervallo...

5 } } Taylor expansion dellesponenziale La soluzione approssimata e… …mentre la soluzione esatta e… Il confronto rivela un errore dato dalla differenza delle due soluzioni…

6 Stimato con un errore dellordine t 2, lintegrale e larea del rettangolo. invece rappresenta la sottostima dellintegrale, che per funzioni che variano rapidamente puo essere notevole. t p(t 0 ) } }

7 t p(t 0 + t) } How can we increase the accuracy of the solution? +

8 Solve for p(t 0 + t)…

9 Nella gran parte dei casi, una soluzione con un errore del terzo ordine e piu che sufficiente. Taylor expansion confrontando con la soluzione esatta...

10 Simple example: First order accurate solution Second order accurate solution Exact solution

11 x(0)=1 First order solution Second order solution

12 x(0)=1

13

14 First order solution Second order solution

15 t f [x(t 0 )] f [x(t 0 + t)] Lets look at the more generic equation…

16 t f [x(t 0 )] f [x(t 0 + t)] …quindi rappresenta un punto al centro dellintervallo, che stima larea con accuratezza al secondo ordine.

17 Soluzione esatta… Risolviamo numericamente… Example

18 Per semplicita, riscriviamo cosi…. …e sostituiamo x sul lato destro…

19 Confrontiamo con unespanzione di Taylor…

20 La soluzione e accurata al secondo ordine, ma la procedura non e ne conveniente, (come nel caso di equazioni nonlineari:) o efficiente, se si devono calcolare derivate per lespanzione di Taylor:

21 Invece, adottiamo il Predictor-Corrector algorithm (1)Prediction Step: obtain a First-Order solution at t 0 + t…

22 (2)…and use it to c orrect (or find) the solution by averaging the values of the functions at the beginning and at the end of the interval… t

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24 …which is just a Taylor expansion for ANY function Therefore, the correction step… …always finds a second order accurate (error is of order t 3 ) solution to the generic differential equation

25 Back to our example…

26 Predictor-Corrector da una soluzione accurata al secondo ordine

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28 Sommario Integrazioni Numeriche di Equazioni differenziali di Primo Grado Soluzione Numeriche di Equazioni Nonlineari: Predictor-Corrector Algorithm PC method da soluzioni accurate al secondo ordine cioe lerrore e del terzo ordine: basta nella maggior parte dei casi.