1 Metodi di Ricostruzione in fisica Subnucleare Corso di Metodologie Informatiche Per la Fisica Nucleare e Subnucleare la Fisica Nucleare e Subnucleare.

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1 1 Metodi di Ricostruzione in fisica Subnucleare Corso di Metodologie Informatiche Per la Fisica Nucleare e Subnucleare la Fisica Nucleare e Subnucleare A.A. 2009/2010 II Lezione, 9/11/09 S.Arcelli

2 2 Sommario della scorsa lezione Concetti introduttivi: Cosa si intende in generale per ricostruzioneCosa si intende in generale per ricostruzione Ricostruzione di tracce cariche: track finding e fittingRicostruzione di tracce cariche: track finding e fitting Come si qualifica una procedura di ricostruzione:Come si qualifica una procedura di ricostruzione: (efficienza, frazione di fakes, qualità della stima dei parametri...) (efficienza, frazione di fakes, qualità della stima dei parametri...)

3 3 In questa lezione: Metodi di riconoscimento di traccia:Metodi di riconoscimento di traccia: Metodi Globali Template Matching, MST, Fuzzy Radon & Hough Transform, Neural NetworksMetodi Globali Template Matching, MST, Fuzzy Radon & Hough Transform, Neural Networks Metodi Locali: il track followingMetodi Locali: il track following

4 4 Fuzzy Radon Transform Basato sul fatto che la densità ρ (x) della popolazione nel Pattern Space può essere espressa come il seguente integrale: Densità di popolazione nel Feature Space,(delta- functions in corrispondenza dei parametri p della traccia) Funzione di risposta nel Pattern Space (x) per una traccia descritta da un set p di parametri (equazioni del moto + risoluzione)

5 5 Fuzzy Radon Transform Ovvero: 0

6 6 Il metodo consiste nel calcolare la trasformazione inversa, che fornisce la densità di popolazione nello spazio delle Feature, in base alla densità osservata nel pattern space e al modello di traccia+ evenuali effetti di risoluzione, che fissano Fuzzy Radon Transform = Fuzzy Radon Transform Ci si aspetta che i candidati di traccia generino nello spazio delle Feature dei massimi locali nella trasformata.

7 7 Fuzzy Radon Transform Esempio: una traccia in un semplice sistema di tracking con 10 layer equidistanti, in assenza di campo magnetico: x y y0 La generica retta che passa dal punto misurato (x i,y i ) è scrivibile come: Questa è una retta nello spazio dei parametri (k,d)=(tan,y 0 ), le Feature che descrivono le possibili tracce nel rivelatore, con: Ordinata allorigine Coefficiente angolare

8 8 Fuzzy Radon Transform Ogni punto misurato dà origine ad una retta nello spazio delle Features. Se i punti misurati appartengono ad una stessa traccia (sono collineari), le corrispondenti rette nello spazio (k,d) si incontreranno in un punto. Si ha un massimo nella Fuzzy Radon Transform: esempio di una traccia dritta (B=0): y0 tan

9 9 Fuzzy Radon Transform Tre tracce dritte (B=0) nel sistema di tracking: Massimi ancora ben distinguibili, ma sviluppo di massimi locali... occorre rifinire il criterio di selezione dei picchi. tan y0

10 10 Fuzzy RadonTransform- (parametrizzazione alternativa) Parametrizzazione alternativa dellequazione della retta, per evitare valori divergenti per angoli prossimi a 90 °: r=distanza minima tra origine e retta =angolo polare del vettore origine-punto di minima distanza x y r

11 11 Fuzzy Radon Transform Applicazioni anche a situazioni più complesse: due tracce molto vicine, in rivelatore a geometria cilindrica e campo magnetico assiale (piccola differenza in impulso, stesso punto di produzione) Tracce ancora facilmente distinguibili nello spazio (, ), se leffetto di risoluzione è adeguatamente descritto (qui legato alla curvatura della traccia, angolo azimutale di produzione, angolo polare della traccia, =risoluzione rivelatore) J. Blom et al, A fuzzy Radon Transform for track Recognition, Proc. CHEP 94, San Francisco)

12 12 Hough Transform Caso semplificato della Fuzzy Radon Transform in cui non si tiene conto esplicitamente degli effetti di risoluzione. Molto più popolare...Utilizzato per la prima volta in esperimenti in Camere a Bolle (Hough, 1959). La ricerca di massimi nella distribuzione trasformata nel Feature space si fa analizzando istogrammi (dati binnati). Ogni punto misurato incrementa una serie di celle nellistogramma sullo spazio dei parametri (la scelta del binning e del range dellistogramma deve essere fatta secondo criteri appropriati...).

13 13 Hough Transform-Esempio Tracce cariche in un sistema di tracciamento nella proiezione trasversa xy, campo magnetico uniforme lungo z (traiettorie=archi di circonferenza passanti per lorigine, tracce primarie ) Applicando la trasformazione: E tenendo presente che le tracce sono archi di circonferenza:

14 14 Hough Transform- spazio trasformato Si ottengono delle rette: N.B. quanto minore è limpulso, tanto meno le tracce trasformate puntano verso la nuova origine

15 15 Hough Transform-Esempio Entries Larghezza dei picchi dipende dalla risoluzione e dallimpulso Tracce di basso momento più difficilmente individuabili Analisi della distribuzione in angolo nello spazio trasformato (1-D Hough Transform)

16 16 Hough Transform-Esempio Equazioni parametriche dei punti misurati (x,y) (r, ): Archi di cerchio descritti in termini dei parametri (1/R, ): 1/R Istogramma 2D:

17 17 Hough Transform In questo modo (versione 2-D), si riesce a recuperare la sensibilità a tracce di basso momento, utilizzando anche linformazione del parametro d impatto nelle coordinate trasformate In questo modo (versione 2-D), si riesce a recuperare la sensibilità a tracce di basso momento, utilizzando anche linformazione del parametro d impatto nelle coordinate trasformate Stima dellimpulso della traccia, che, ad esempio, mi dà linformazione se nellevento sono state prodotte tracce di alta energia (algoritmi di High Level Trigger). Stima dellimpulso della traccia, che, ad esempio, mi dà linformazione se nellevento sono state prodotte tracce di alta energia (algoritmi di High Level Trigger). E spesso usato per avere un metodo di track finding veloce, efficace nel discriminare sul fondo e non troppo sensibile ad inefficienze, ma con richieste di precisione non stringenti sulla stima dei parametri di traccia. Utilizzato in HLT (as es. ALICE), come seed finder per procedure di tracking locale (OPERA, HERA-B,...).

18 18 Hough Transform Se la ricognizione di traccia deve essere in 3D nel pattern space (xyz), perchè la granularità del rivelatore non è sufficiente per la separazione in una proiezione 2D, si puo segmentare la ricerca in intervalli dellaltra proiezione (ad es, ricerca in xy in diversi intervalli dell angolo polare lungo z) Se la ricognizione di traccia deve essere in 3D nel pattern space (xyz), perchè la granularità del rivelatore non è sufficiente per la separazione in una proiezione 2D, si puo segmentare la ricerca in intervalli dellaltra proiezione (ad es, ricerca in xy in diversi intervalli dell angolo polare lungo z) Possibile lanalisi anche con più parametri, ma la individuazione dei massimi diventa sempre più complessa. Di solito ci si limita a 2-D nel Feature Space Possibile lanalisi anche con più parametri, ma la individuazione dei massimi diventa sempre più complessa. Di solito ci si limita a 2-D nel Feature Space Tempo di elaborazione: dipende dal numero di misure, dalla dimensionalità del feature space, dal binning Tempo di elaborazione: dipende dal numero di misure, dalla dimensionalità del feature space, dal binning

19 19 Neural Networks Techniques: NN: modellizzazione matematica ispirata alle connessioni e alla funzionalità dei neuroni in sistemi biologici. Concetti di base: I nodi, artificial neurons I nodi, artificial neurons Le connessioni, relazioni tra in nodi Le connessioni, relazioni tra in nodi Funzione di trasferimento, che in base allinput che arriva su un nodo da tutti gli altri nodi, ne determina loutput (elaborazione pesata dellinput+meccanismo di thresholding) Funzione di trasferimento, che in base allinput che arriva su un nodo da tutti gli altri nodi, ne determina loutput (elaborazione pesata dellinput+meccanismo di thresholding) Applicando un processo di apprendimento su campioni di riferimento per il training della rete, si determinano i pesi massimizzando una funzione che caratterizza la qualità decisionale del meccanismo

20 20 Neural Networks Techniques Hopfield Network: Topologia fully coupled, interazioni simmetriche Topologia fully coupled, interazioni simmetriche Lo stato S del neurone è di due tipi: se il neurone è attivato, S i =1, altrimenti S i =0. Lo stato S del neurone è di due tipi: se il neurone è attivato, S i =1, altrimenti S i =0. Funzione di trasferimento: Funzione di trasferimento: Energy Function: Energy Function: = Fattore di soglia = Pesi

21 21 Neural Networks Techniques: Denby-Peterson Model Lidea è di associare un neurone S ij ad ogni possibile connessione tra due hit i e j nel rivelatore (segmenti di traccia): Se il neurone è attivato, S ij =1, altrimenti S ij =0. Se S ij =1, implica che i due hit facciano parte della stessa traccia. Se il neurone è attivato, S ij =1, altrimenti S ij =0. Se S ij =1, implica che i due hit facciano parte della stessa traccia. Si deve poi definire una interazione fra neuroni, V, per cui nello stato finale lenergia totale del sistema è minima (solo neuroni che condividono un hit possono interagire). Si deve poi definire una interazione fra neuroni, V, per cui nello stato finale lenergia totale del sistema è minima (solo neuroni che condividono un hit possono interagire). V>0 V<0

22 22 Potenziale di interazione: Potenziale di interazione: Energy function: Energy function: update dello stato finchè non si trova un minimo assoluto (diversi algoritmi per la minimizzazione). Denby-Peterson Model djl dij ijl j l i C.Peterson, Track Finding with Neural Networks, NIM A 279 (1989) 537,)

23 23 Denby-Peterson Model Per costruzione dipende molto poco da un definito modello di traccia, e trova efficientemente sia tracce dritte che debolmente curve, che sparpagliate. Piuttosto robusta rispetto a noise e inefficienze. Per costruzione dipende molto poco da un definito modello di traccia, e trova efficientemente sia tracce dritte che debolmente curve, che sparpagliate. Piuttosto robusta rispetto a noise e inefficienze. E piuttosto pesante dal punto di vista computazionale, tipicamente il tempo di elaborazione va come N 3. Ha scarsa efficienza nel separare tracce vicine. E piuttosto pesante dal punto di vista computazionale, tipicamente il tempo di elaborazione va come N 3. Ha scarsa efficienza nel separare tracce vicine. Funziona bene in condizioni di bassa densità di traccia. Ad esempio, utilizzato per il tracking nella TPC dellesperimento ALEPH (al LEP in collisioni e + e - ). Ci sono estensioni (modifica della energy function) che funzionano ragionevolmente anche ad alta densità di traccia (HERA-b) Funziona bene in condizioni di bassa densità di traccia. Ad esempio, utilizzato per il tracking nella TPC dellesperimento ALEPH (al LEP in collisioni e + e - ). Ci sono estensioni (modifica della energy function) che funzionano ragionevolmente anche ad alta densità di traccia (HERA-b)

24 24 Metodi di Track Finding Locali I candidati di traccia sono selezionati individualmente uno dopo laltro (potenziale bias, ma una buona procedura è indipendente dallordine in cui vengono elaborati i candidati di traccia...): Si inizia sulla base di un numero limitato di punti misurati (track seeds) opportunamente scelti. Si procede nella ricerca di altri hits da associare al candidato di traccia estrapolando (o interpolando), sulla base di un modello di traccia più o meno rifinito. Si inizia sulla base di un numero limitato di punti misurati (track seeds) opportunamente scelti. Si procede nella ricerca di altri hits da associare al candidato di traccia estrapolando (o interpolando), sulla base di un modello di traccia più o meno rifinito. Alcuni esempi: Track Following Track Following Track Road Track Road Kalman Filter (metodo di Track Finding/Fitting simultaneo!) Kalman Filter (metodo di Track Finding/Fitting simultaneo!)

25 25 Track Following Metodo di tipo percettivo, ottimale in condizioni di prossimità e continuità dei segnali delle tracce nel Metodo di tipo percettivo, ottimale in condizioni di prossimità e continuità dei segnali delle tracce nel sistema di tracking sistema di tracking Forte ridondanza nelle misure (condizione di base nel design degli apparati moderni, caratterizzati da granularità e precisioni elevate). Se ben impostato, più efficiente in termini di velocità dei metodi globali (localizzazione della ricerca) Il track following è ora uno dei metodi di ricognizione di traccia più diffusi (essenzialmente nel contesto del Kalman Filter).

26 26 Track Following Un metodo di generazione dei seed di traccia, ovvero candidati rudimentali, creati in base a un set limitato di punti misurati, da cui iniziare il processo di track finding Un metodo di generazione dei seed di traccia, ovvero candidati rudimentali, creati in base a un set limitato di punti misurati, da cui iniziare il processo di track finding Una descrizione parametrica della traiettoria che permetta di estrapolare il candidato traccia da un layer di misura allaltro durante il track following Una descrizione parametrica della traiettoria che permetta di estrapolare il candidato traccia da un layer di misura allaltro durante il track following Un criterio qualitativo, secondo cui distinguere candidati Un criterio qualitativo, secondo cui distinguere candidati di tracce buone da falsi candidati di traccia, ed eventualmente interrompere lelaborazione del candidato di tracce buone da falsi candidati di traccia, ed eventualmente interrompere lelaborazione del candidato Ingredienti principali:

27 27 Track Following-Generazione dei Seed Devono fornire una prima stima (locale) dei parametri (direzione, curvatura) del candidato di traccia, non troppo lontana dai parametri finali Devono fornire una prima stima (locale) dei parametri (direzione, curvatura) del candidato di traccia, non troppo lontana dai parametri finali Deve essere efficiente (se non trovo liniziatore posso perdere la traccia); occorre tenere un certo livello di ridondanza ( considerare la possibilità di hit mancanti, track faults ) Deve essere efficiente (se non trovo liniziatore posso perdere la traccia); occorre tenere un certo livello di ridondanza ( considerare la possibilità di hit mancanti, track faults ) Non deve essere troppo complessa (deve essere ragionevolmente veloce). Non deve essere troppo complessa (deve essere ragionevolmente veloce).

28 28 Track Following-Generazione dei Seed Seeding in layer vicini Seeding in layer vicini Seeding in layer distanti Seeding in layer distanti Diverse filosofie nella costruzione dei seed, che dipendono significativamente dalle condizioni sperimentali (struttura del rivelatore e sue caratteristiche, occupancy,..). Si cerca di partire da condizioni favorevoli, in regioni pulite del rivelatore.

29 29 Track Following Seeding in layer vicini In generale, sui layer più esterni del sistema di tracking, dove la densità di tracce è minore Non sempre vero! Dipende da come è fatto il sistema di tracking. Ad esempio, in CMS il seeding usa layer interni (Pixel, precisione O(10 μ m), alta granularità, occupancy ~10 -4 ) Rispetto al caso seguente, il braccio di leva nel determinare la direzione è minore, ma ho meno combinatorio.

30 30 Track Following Seeding in layer distanti Miglior braccio di leva, ma occorre considerare anche gli effetti dello scattering multiplo Più combinatorio Si preferisce il primo approccio, in generale.

31 31 Generazione dei Seed-considerazioni Spesso si utilizza il vincolo del vertice primario (che aggiunge un punto con grande braccio di leva!) Spesso si utilizza il vincolo del vertice primario (che aggiunge un punto con grande braccio di leva!) Questo può essere inefficiente nel ricostruire tracce di Questo può essere inefficiente nel ricostruire tracce di secondari che vengono da decadimenti. Necessario complementare con seeding dedicato, se si è interessati a questo tipo di segnali. secondari che vengono da decadimenti. Necessario complementare con seeding dedicato, se si è interessati a questo tipo di segnali. Il seeding ai layer esterni è invece inefficiente nel trovare Il seeding ai layer esterni è invece inefficiente nel trovare la particella genitrice in un decadimento la particella genitrice in un decadimento IP Seeding

32 32 Generazione dei Seed- altre considerazioni Quanti più punti si utilizzano nel seeding, tanto più si limita il trasporto di falsi candidati di traccia. Quanti più punti si utilizzano nel seeding, tanto più si limita il trasporto di falsi candidati di traccia. Occorre tenere presente che alcuni canali nella regione di seeding possono essere inefficienti. Fare la ricerca utilizzando più combinazioni di piani. Occorre tenere presente che alcuni canali nella regione di seeding possono essere inefficienti. Fare la ricerca utilizzando più combinazioni di piani. Compromesso fra velocità e efficienza... Compromesso fra velocità e efficienza...

33 33 Track Following-Propagazione Trovati i seed, occorre propagarli attraverso il detector. Necessario un prototipo di modello di traccia che permetta di estrapolare, sulla base della stima preliminare della direzione data dal seed, il candidato di traccia sul layer di misura successivo, con la relativa incertezza.

34 34 Track Following-Propagazione In generale, Il modello di traccia definitivo, utilizzato in fase di track fitting per la stima finale dei parametri di traccia, deve esser il più accurato possibile: parametrizzazione della soluzione delle equazioni del moto di una particella carica e trattazione degli effetti del materiale (MS, perdita di energia) Nel track following in generale, si utilizzano anche metodi approssimati (semplici rette o parabole utilizzando linformazione degli ultimi punti accumulati) Nel Kalman Filter, anche in questa fase si utilizza il modello definitivo

35 35 Track Following-Approcci Possibili Naive Track Following: Nel layer n-simo di propagazione, si associa lhit più vicino allestrapolazione della traiettoria. La propagazione prosegue finché non si trovano più hit. Sensibile a hit che non appartengono alla traccia, a rumore ed inefficienze (soprattutto nelle prime fasi della propagazione). Può essere usato se la densità di traccia lo permette, e se in propagazione ho buona precisione sullestrapolazione.

36 36 Track Following-Approcci Possibili Combinatorial Track Following: ad ogni layer si considerano più hit compatibili entro una tolleranza relativamente grande da questi si genera un albero di nuovi candidati di traccia. la selezione del candidato migliore é fatto in fase finale, ad esempio con un fit di traccia su ciascun candidato. Metodo molto efficiente, ma molto impegnativo dal punto di vista computazionale

37 37 Track Following-Arbitration Si limita il numero di candidati ad un numero massimo Possibilità di un certo numero di hits mancanti (track faults), consecutivi o totali ( ) Quali candidati scegliere, si decide in base alla qualità della traccia (numero di faults, numero di hit già accumulati, 2 ) Arbitration: criteri usati per trovare un compromesso tra i due tipi estremi di track following. Ad ogni step di propagazione, si consente la creazione di candidati multipli come nel combinatorial track finding: tuttavia, i candidati traccia sono fatti evolvere in parallelo, e ad ogni step:

38 38 Track Following-Arbitration Seed T1 Candidato accettato Candidati Eliminati N max faults =1, N max cand =3

39 39 Track Road Utilizzando hits agli estremi della traccia (e un punto intermedio centrale per tracce curve), si definisce la strada entro una certa tolleranza, assumendo un modello di traccia (rette o eliche). Gli hit compatibili con la track road sono associati. Utilizzando hits agli estremi della traccia (e un punto intermedio centrale per tracce curve), si definisce la strada entro una certa tolleranza, assumendo un modello di traccia (rette o eliche). Gli hit compatibili con la track road sono associati. Più lento del Track Following (più combinatorio), ed è utilizzato nel caso di bassa densità di traccia, grande distanza fra i piani di misura del rivelatore e per rivelare tracce con un basso numero di hit. Più lento del Track Following (più combinatorio), ed è utilizzato nel caso di bassa densità di traccia, grande distanza fra i piani di misura del rivelatore e per rivelare tracce con un basso numero di hit. Basato sull interpolazione piuttosto che sull estrapolazione: