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Controllare la prospettiva
Daniele Marini
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Calcolo analitico P(x,y,z) P(xv,yv) Centro di proiezione
Piano di proiezione
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... in sezione ... P(x,y,z) yv Centro di proiezione
Piano di proiezione y/yv = z/d yv = y/(z/d) x/xv = z/d xv = x/(z/d)
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Frames Il frame è un contesto di:
sistema di riferimento e trasformazioni geometriche associate Usualmente si distinguono due frame principali: World frame, nel quale si descrivono e rappresentano gli oggetti modellati Camera frame, nel quale si definisce il sistema di riferimento necessario alla creazione della proiezione
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Camera frame Quasi tutti gli ambienti e le librerie adottano la metafora della macchina fotografica: la formazione dell’immagine piana a partire dal modello 3D avviene con un principio di proiezione simile a quello della fotografia L’obiettivo non è modellato (foro stenopeico) Il sistema di riferimento del camera frame si assume fisso: Origine in basso a sinistra del fotogramma X crescente a destra Y crescente in verticale Z entrante o uscente dalla macchina fotografica
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Prospettiva canonica Camera frame orientato come il world frame
Asse ottico coincidente con asse z, entrante nell’obiettivo Per portare una scena nella configurazione canonica è necessaria una catena di trasformazioni da applicare conoscendo i parametri principali
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I parametri di controllo
PRP Projection Reference Point o COP Center of Projection View Plane VPN View Plane Normal VUP View UP DOP Direction of Projection (per le proiezioni parallele) VRP View Reference Point CW center of the window
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Orientare il piano di proiezione
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Definire la viewport e la window
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Definire il centro di proiezione
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Se la proiezione è parallela
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Trasformazioni normalizzate
Dati VPN, VUP si ottiene la view orientation matrix V La forma della V è: V=TR con T traslazione nel VRP, R rotazione opportuna per orientare la view rispetto alla configurazione canonica
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Matrice canonica di trasformazione prospettica
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Dalle coordinate omogenee allo spazio 3D
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Matrice canonica di proiezione parallela ortogonale
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Funzioni di OpenGL - proiezione parallela ortogonale
glOrtho(xmin, xmax, ymin, ymax, near, far); near e far possono essere anche negativi: non c’e’ divisione per 0
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Trasla origine del view volume nell’origine del view volume canonico
Riscala il view volume P è la matrice di proiezione zmax = far zmin = near completata la trasformazione si può chiamare la glOrtho
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glOrtho(xmin, xmax, ymin, ymax, near, far);
traslazione al centro del view volume scalatura
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Proiezioni parallele oblique
q, f Angoli del fascio di proiettori con la normale al piano di proiezione y DOP x z
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Proiezioni parallele oblique
orientare la direzione di proiezione in modo che sia parallela a z, con trasformazione di shear controllata dagli angoli q, f rinormalizzare il view volume con scala e traslazione (come sopra) proiettare con la matrice ortografica
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Trasformazione di shear e proiezione parallela ortogonale
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Proiezione parallela generica
Deformare il volume con shear per condursi a ortogonale Ricondursi alla configurazione canonica: normalizzazione Convertire il volume di vista in una configurazione standard: costruzione della matrice di proiezione: opera in “window coordinates” (comprendono z) Proiettare il volume deformato Il volume canonico per la proiezione parallela è normalizzato in -1,+1
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Angolo di visione e frustum
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Funzioni di OpenGL glFrustum(xmin, xmax, ymin, ymax, near, far);
gluPerspective(fovy, aspect, near, far); Aspect = larghezza/altezza della window Fov:
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Prospettiva generica Metodo della projection normalization
Creare la matrice di normalizzazione Deformare lo spazio Proiettare in modo ortografico
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Prospettiva generica (cont)
Si suppone di proiettare in modo canonico con la distanza del centro di proiezione d=-1 lungo l’asse z la matrice Mpersp diventa:
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Prospettiva generica (cont)
applichiamo a un punto la matrice non singolare N (simile a Mpersp)
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Prospettiva generica (cont)
dobbiamo determinare a, b assumiamo un angolo di visione di 90° quindi i piani di clipping laterali sono: x=+-z y=+-z dopo la trasformazione i piani diventano: x=+-1 y=+-1 i piani di clipping frontale e di sfondo siano: zmin<zmax<0 vogliamo imporre che siano in -1 e +1 per avere il volume canonico
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Prospettiva generica (cont)
zmin e zmax dopo la trasformazione diventano:
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Prospettiva generica (cont)
la matrice N viene chiamata matrice di normalizzazione prospettica
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Prospettiva generica (cont)
se il frustum non fosse simmetrico e a 90° ci si può ricondurre a questo caso con una trasformazione di shear
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Altri schemi Lo schema illustrato è tipico delle librerie PHIGS, GKS 3D OpenGl offre anche un altro approccio: lookAt Nei simulatori di volo si adotta lo schema “roll, pitch, yaw”
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LookAt E’ un metodo più diretto e più naturale:
la camera è localizzata in un punto e (eypoint - o punto di vista) specificato nel world frame La camera è orientata nella direzione individuata dal vettore congiungente e con il punto a (at point - punto osservato) I punti e ed a individuano il VRP e la VPN Gli ultimi tre parametri identificano il VUP gluLookAt(eyex, eyey, eyez, aty, atx, atz, upx, upy, upz);
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Roll, pitch (head), yaw
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