ESTENSIONI SEMPLICI e TEOREMA DELL’ELEMENTO PRIMITIVO

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1 ESTENSIONI SEMPLICI e TEOREMA DELL’ELEMENTO PRIMITIVO

2 Estensioni semplici: proprietà Teorema Dell’ Elemento
Primitivo: obiettivo provare che ogni estensione di grado finito è semplice.

3 Estensioni di campi DEFINIZIONE
Un ampliamento o un’ estensione di un campo F è un qualunque campo K che contenga F. Il campo R dei reali è un’estensione di Q. Il campo dei complessi C è un ampliamento di R e Q.

4 Dato un campo F ed una sua estensione K , vediamo
come è possibile costruire degli ampliamenti intermedi tra K ed F. Sia S un sottoinsieme di K. Indicheremo con F(S) l’intersezione di tutti i sottocampi di K contenenti F ed S, ovvero il più piccolo sottocampo contenente F ed S. Si dice che il campo F(S) è stato ottenuto aggiungendo il sottoinsieme S.

5 Se si dice che è un’estensione
semplice del campo . Chi sono esattamente gli elementi di ? PROPOSIZIONE Sia un’estensione di e sia Allora

6 DIMOSTRAZIONE Poniamo Pertanto dato che è un campo che contiene ed . Vale anche l’inclusione inversa, , poiché gli elementi di devono stare in qualunque campo contenente ed .

7 ESEMPI DI ESTENSIONI SEMPLICI
1) Sia e Risulta

8 2) Sia ed Risulta Poiché , le espressioni in si possono ridurre nel seguente modo

9 sono entrambi elementi di . Quindi gli elementi di
Ma e sono entrambi elementi di Quindi gli elementi di possono scriversi tutti nella forma con

10 Osserviamo che il diverso comportamento delle due
In definitiva Osserviamo che il diverso comportamento delle due estensioni dipende dalla natura dell’elemento che si sta aggiungendo. DEFINIZIONE Sia un campo e un’ estensione di . Un elemento si dice algebrico su se esiste un polinomio non nullo tale che

11 Un elemento si dice trascendente su se non
è algebrico. Se ed gli elementi di algebrici su si chiamano numeri algebrici . Inoltre, possiamo pensare ogni campo come spazio vettoriale su un suo qualsiasi sottocampo .

12 DEFINIZIONE Dato un campo ed una sua estensione si definisce grado dell’estensione sul campo , e si indica con , la dimensione di come spazio vettoriale su . Un’estensione di un campo si dice finita se il suo grado è finito. Si dice infinita in caso contrario. TEOREMA Dati un’estensione di un campo ed un elemento , è algebrico se e solo se è un’ estensione finita.

13 Ora, sia Costruiamo l’estensione e calcoliamo il suo grado su . Aggiungeremo prima , ottenendo l’estensione , e poi aggiungeremo l’elemento a

14 è algebrico su , di grado 2, dato che il suo
polinomio minimo è Ora aggiungiamo a Il polinomio è irriducibile su Pertanto l’estensione ha grado 2 su In definitiva

15 e una base di su è , una base di
Dato che una base di su è e una base di su è , una base di su è data da e

16 TEOREMA algebrici su formano un sottocampo di . DIMOSTRAZIONE
Sia un’estensione di . Allora gli elementi di algebrici su formano un sottocampo di . DIMOSTRAZIONE Basta provare che, se e sono algebrici su , lo sono anche Sia di grado e di grado .Allora Consideriamo

17 Essendo algebrico di grado su , esso sarà
Ne segue che Ora, appartengono tutti ad , cioè stanno tutti in , che è un’estensione finita di . Ne segue che sono tutti algebrici su .

18 L’ insieme di tutti i numeri algebrici su
costituisce il campo dei numeri algebrici ed è un’estensione di in cui ogni elemento è algebrico e quindi tuttavia risulta Supponiamo per assurdo che sia proviamo che esiste un elemento algebrico su e di grado maggiore di Prendendo è radice del polinomio

19 Dunque tale polinomio è il polinomio minimo per ,
che ha grado n+1. Risulta allora Questo contraddice il fatto che

20 Osserviamo che Notiamo anche che e sono elementi di e quindi Inoltre Ne segue che cioè

21 Teorema dell’Elemento Primitivo
Sia un campo di caratteristica zero oppure finito e sia un’estensione di grado finito di . Allora esiste tale che Un tale elemento prende il nome di elemento primitivo .

22 DIMOSTRAZIONE Se è un campo finito , è un’estensione di grado finito di Allora è un campo finito e quindi il gruppo è ciclico. Se è un generatore di tale gruppo, ogni elemento non nullo di è potenza di per cui ed è un’estensione semplice di . Sia, quindi, infinito e supponiamo n=2. E’ sufficiente provare che se allora per un opportuno .

23 dimensione di su è finita, abbiamo che è un’estensione algebrica di .
Siano Osserviamo che, poiché la dimensione di su è finita, abbiamo che è un’estensione algebrica di . Quindi, in particolare, e sono algebrici su . Siano e i polinomi minimi rispettivamente di e su e sia il campo di spezzamento di su . Allora esistono e tali che

24 Inoltre, sono a due a due distinte come anche
, poiché i polinomi e sono irriducibili su un campo di caratteristica zero. Ora, essendo una radice di coincide con una delle radici , ed essendo una radice di coincide con una delle radici . Senza perdere di generalità, assumiamo e L’idea è di trovare un elemento tale che

25 Come scegliamo un elemento arbitrario dell’insieme
Questo insieme è non vuoto poiché è infinito, invece l’insieme che si sottrae a è finito. Per come è scelto vale

26 cioè Poniamo Ovviamente così per dimostrare che basta provare l’altra inclusione, cioè (*) Poniamo Sia il polinomio minimo di su . Vogliamo dimostrare che è lineare.

27 Infatti, se proviamo ciò e
quindi Vale , pertanto in Poniamo Vale quindi in Pertanto ogni radice di è radice sia di che di . Ora le radici di sono , inoltre

28 se si ha Ne segue che è l’unica radice comune di ed . Pertanto è l’unica radice di Segue che è potenza del polinomio Però e sono a due a due distinte. Ne che segue dunque

29 Da ciò segue che anche Così abbiamo provato che e e quindi che Da (*), per induzione su n si ottiene che se allora esiste tale che Allora vale la tesi, perchè, essendo finita, esistono tali che

30 Abbiamo così provato che ogni estensione finita
di un campo di caratteristica zero è semplice. ESEMPIO Sia e siano con

31 Per c=1 la condizione è soddisfatta per i=1,2 e j=2,3. Applicando il teorema segue che

32 Donatella Passabì