Fine La Torre di Hanoi.

Presentazione sul tema: "Fine La Torre di Hanoi."— Transcript della presentazione:

1 fine La Torre di Hanoi

2 fine Il gioco della Torre di Hanoi fu inventato dal matematico francese Eduard Lucas nel 1883, inizialmente con una torre di otto dischi

3 fine Il problema della Torre di Hanoi deriva da una antica leggenda indiana che recita così: «nel grande tempio di Brahma a Benares, su di un piatto di ottone, sotto la cupola che segna il centro del mondo, si trovano 64 dischi d'oro puro che i monaci spostano uno alla volta infilandoli in un ago di diamanti, seguendo l'immutabile legge di Brahma: nessun disco può essere posato su un altro più piccolo.

4 fine All'inizio del mondo tutti i 64 dischi erano infilati in un ago e formavano la Torre di Brahma. Il processo di spostamento dei dischi da un ago all'altro è tuttora in corso. Quando l'ultimo disco sarà finalmente piazzato a formare di nuovo la Torre di Brahma in un ago diverso, allora arriverà la fine del mondo e tutto si trasformerà in polvere».

5 fine Costruiamo il gioco Materiale: 3 pioli, una tavoletta di legno in cui inserire i pioli, dischi forati al centro di diametro diverso. Preparazione: infilare i dischi in un piolo, in ordine decrescente di diametro Obiettivo: Spostare l’intera torre da un piolo ad un altro nel minor numero di mosse

6 Giochiamo HANOI Regole:
fine Giochiamo Regole: Spostare un disco alla volta, da un piolo ad un altro Non sovrapporre mai un disco ad uno di diametro minore HANOI

7 Qual é il numero minimo di mosse per spostare la Torre?
fine Qual é il numero minimo di mosse per spostare la Torre? Facendo una mossa al secondo, quanto tempo almeno sarebbe necessario per ricostruire la Torre di Brahma, con 64 dischi?

8 Iniziamo con qualche disco
fine Iniziamo con qualche disco Con 1 disco numero minimo di mosse? Contatore mosse

9 Iniziamo con qualche disco
fine Iniziamo con qualche disco Con 1 disco OK numero mosse: M1=1 Contatore mosse 1

10 Iniziamo con qualche disco
fine Iniziamo con qualche disco Con 2 dischi numero minimo di mosse? numero mosse: M2=? Contatore mosse

11 Iniziamo con qualche disco
fine Iniziamo con qualche disco Con 2 dischi numero minimo di mosse? Contatore mosse 1

12 Iniziamo con qualche disco
fine Iniziamo con qualche disco Con 2 dischi numero minimo di mosse? Contatore mosse 2

13 Iniziamo con qualche disco
fine Iniziamo con qualche disco Con 2 dischi OK Contatore mosse 3

14 Iniziamo con qualche disco
fine Iniziamo con qualche disco Con 2 dischi OK numero mosse: M2=3 Contatore mosse 3

15 Iniziamo con qualche disco
fine Iniziamo con qualche disco Con 3 dischi numero minimo di mosse? numero mosse: M3=? Contatore mosse

16 Iniziamo con qualche disco
fine Iniziamo con qualche disco Con 3 dischi numero minimo di mosse? Contatore mosse 1

17 Iniziamo con qualche disco
fine Iniziamo con qualche disco Con 3 dischi numero minimo di mosse? Contatore mosse 2

18 Iniziamo con qualche disco abbiamo effettuato 3 mosse
fine Iniziamo con qualche disco Con 3 dischi abbiamo effettuato 3 mosse Contatore mosse 3

19 Iniziamo con qualche disco abbiamo effettuato 4 mosse
fine Iniziamo con qualche disco Con 3 dischi abbiamo effettuato 4 mosse Contatore mosse 4

20 Iniziamo con qualche disco
fine Iniziamo con qualche disco Con 3 dischi Ah, a destra abbiamo una torre di 2 dischi, quindi M3 = M2 +1+ le mosse per spostare la torre di 2 dischi numero mosse: 3+1+3? 7 mosse? Contatore mosse 4

21 Iniziamo con qualche disco
fine Iniziamo con qualche disco Con 3 dischi continuiamo Contatore mosse 5

22 Iniziamo con qualche disco
fine Iniziamo con qualche disco Con 3 dischi continuiamo Contatore mosse 6

23 Iniziamo con qualche disco
fine Iniziamo con qualche disco Con 3 dischi OK Contatore mosse 7

24 Iniziamo con qualche disco
fine Iniziamo con qualche disco Con 3 dischi OK numero mosse: M3=7 Contatore mosse 7

25 Continuiamo con 4 dischi
fine Continuiamo con 4 dischi Con 4 dischi numero minimo di mosse? numero mosse: M4=? Contatore mosse

26 Continuiamo con 4 dischi
fine Continuiamo con 4 dischi Con 4 dischi numero minimo di mosse? Contatore mosse 1

27 Continuiamo con 4 dischi
fine Continuiamo con 4 dischi Con 4 dischi numero minimo di mosse? Contatore mosse 2

28 Continuiamo con 4 dischi
fine Continuiamo con 4 dischi Con 4 dischi numero minimo di mosse? Contatore mosse 3

29 Continuiamo con 4 dischi
fine Continuiamo con 4 dischi Con 4 dischi numero minimo di mosse? Contatore mosse 4

30 Continuiamo con 4 dischi
fine Continuiamo con 4 dischi Con 4 dischi numero minimo di mosse? Contatore mosse 5

31 Continuiamo con 4 dischi
fine Continuiamo con 4 dischi Con 4 dischi numero minimo di mosse? Contatore mosse 6

32 Continuiamo con 4 dischi
fine Continuiamo con 4 dischi Con 4 dischi Ah, al centro abbiamo una torre di 3 dischi, quindi M4 = M3 +? Finora abbiamo effettuato 7 mosse Contatore mosse 7

33 Continuiamo con 4 dischi
fine Continuiamo con 4 dischi Con 4 dischi Ah, al centro abbiamo una torre di 3 dischi, quindi M4 = M3 +1+? Contatore mosse 8

34 Continuiamo con 4 dischi
fine Continuiamo con 4 dischi Con 4 dischi Ah, al centro abbiamo una torre di 3 dischi, quindi M4 = M3 +1+ le mosse per spostare la torre centrale Il numero di mosse è 7+1+7? 15 mosse? Contatore mosse 8

35 Continuiamo con 4 dischi
fine Continuiamo con 4 dischi Con 4 dischi continuiamo Contatore mosse 9

36 Continuiamo con 4 dischi
fine Continuiamo con 4 dischi Con 4 dischi continuiamo Contatore mosse 10

37 Continuiamo con 4 dischi
fine Continuiamo con 4 dischi Con 4 dischi continuiamo Contatore mosse 11

38 Continuiamo con 4 dischi
fine Continuiamo con 4 dischi Con 4 dischi continuiamo Contatore mosse 12

39 Continuiamo con 4 dischi
fine Continuiamo con 4 dischi Con 4 dischi continuiamo Contatore mosse 13

40 Continuiamo con 4 dischi
fine Continuiamo con 4 dischi Con 4 dischi continuiamo Contatore mosse 14

41 Continuiamo con 4 dischi
fine Continuiamo con 4 dischi Con 4 dischi OK numero mosse: M4=? Contatore mosse 15

42 Continuiamo con 4 dischi
fine Continuiamo con 4 dischi Con 4 dischi OK numero mosse: M4=15 Contatore mosse 15

43 fine Riassumiamo … 1 3 2 7 3 15 4 ? 5 ? n

44 … confrontiamo il numero di mosse con le potenze di 2 …
fine … confrontiamo il numero di mosse con le potenze di 2 … 1 2 3 4 5 dischi 1 3 7 15 ? mosse Potenze di 2 2 22 23 24 25 2 4 8 16 32

45 … confrontiamo il numero di mosse con le potenze di 2 …
fine … confrontiamo il numero di mosse con le potenze di 2 … Ah! Il numero di mosse è una potenza di 2 meno uno 15 7 3 1 ? 4 2 5 8 16 32 22 23 24 25 Eh, sì. E l’esponente della potenza é il numero di dischi della torre

46 Per spostare una torre di D dischi, sono necessarie almeno
fine Congettura: Per spostare una torre di D dischi, sono necessarie almeno M = 2D - 1 mosse 15 7 3 1 ? 4 2 5 2-1 22 -1 23 -1 24 -1 25 -1 D 2D - 1

47 Principio (o Metodo) di Induzione Matematica (Assioma dell’Induzione)
fine Peano ci aiuta con il Principio (o Metodo) di Induzione Matematica (Assioma dell’Induzione) Il metodo si compone di due passi: 1. Verifica che la proprietà vale per un numero naturale (di solito, si prova per D = 0 o D = 1) 2. Dimostra che se la proprietà vale per un numero naturale d allora la proprietà vale per il successivo di d, cioè d+1 L’assioma afferma che: Se sono soddisfatte queste due condizioni, allora la proprietà vale per ogni numero naturale (a partire dal primo per cui è stata verificata, di solito 0 o 1 ).

48 Principio (o Metodo) di Induzione Matematica 21 - 1 = 1 OK
fine Applico nel nostro caso il Principio (o Metodo) di Induzione Matematica 1. Verifico che la proprietà vale per il numero naturale 1 (la prima torre che abbiamo costruito): il numero di mosse dato dalla formula é = 1 OK

49 fine 2. Dimostro che se la proprietà vale per un numero naturale d allora la proprietà vale per il successivo di d, cioè d+1.

50 se una torre di d dischi si sposta in 2d-1 mosse,
fine 2. Dimostro che se la proprietà vale per un numero naturale d allora la proprietà vale per il successivo di d, cioè d+1. Cioé, dimostro che se una torre di d dischi si sposta in 2d-1 mosse, allora una torre costruita con d+1 dischi si sposta in 2d+1-1 mosse

51 fine 2. Dimostro che se la proprietà vale per un numero naturale d allora la proprietà vale per il successivo di d, cioè d+1. Cioé, dimostro che se una torre di d dischi si sposta in 2d-1 mosse, allora una torre costruita con d+1 dischi si sposta in 2d+1-1 mosse 2d - 1 mosse

52 Aggiungiamo un disco. Quante mosse?
fine 2. Dimostro che se la proprietà vale per un numero naturale d allora la proprietà vale per il successivo di d, cioè d+1. Cioé, dimostro che se una torre di d dischi si sposta in 2d-1 mosse, allora una torre costruita con d+1 dischi si sposta in 2d+1-1 mosse Aggiungiamo un disco. Quante mosse?

53 Aggiungiamo un disco. Quante mosse?
fine 2. Dimostro che se la proprietà vale per un numero naturale d allora la proprietà vale per il successivo di d, cioè d+1. Cioé, dimostro che se una torre di d dischi si sposta in 2d-1 mosse, allora una torre costruita con d+1 dischi si sposta in 2d+1-1 mosse Aggiungiamo un disco. Quante mosse? Quelle per spostare la torre di d dischi, cioé 2d-1

54 Aggiungiamo un disco. Quante mosse?
fine 2. Dimostro che se la proprietà vale per un numero naturale d allora la proprietà vale per il successivo di d, cioè d+1. Cioé, dimostro che se una torre di d dischi si sposta in 2d-1 mosse, allora una torre costruita con d+1 dischi si sposta in 2d+1-1 mosse Aggiungiamo un disco. Quante mosse? Quelle per spostare la torre di d dischi, cioé 2d per l’ultimo disco

55 Aggiungiamo un disco. Quante mosse?
fine 2. Dimostro che se la proprietà vale per un numero naturale d allora la proprietà vale per il successivo di d, cioè d+1. Cioé, dimostro che se una torre di d dischi si sposta in 2d-1 mosse, allora una torre costruita con d+1 dischi si sposta in 2d+1-1 mosse Aggiungiamo un disco. Quante mosse? Quelle per spostare la torre di d dischi, cioé 2d le mosse per spostare di nuovo la torre di d dischi

56 Aggiungiamo un disco. Quante mosse?
fine 2. Dimostro che se la proprietà vale per un numero naturale d allora la proprietà vale per il successivo di d, cioè d+1. Cioé, dimostro che se una torre di d dischi si sposta in 2d-1 mosse, allora una torre costruita con d+1 dischi si sposta in 2d+1-1 mosse Aggiungiamo un disco. Quante mosse? Quelle per spostare la torre di d dischi, cioé 2d le mosse per spostare di nuovo la torre di d dischi, cioè 2d d-1.

57 Aggiungiamo un disco. Quante mosse?
fine 2. Dimostro che se la proprietà vale per un numero naturale d allora la proprietà vale per il successivo di d, cioè d+1. Cioé, dimostro che se una torre di d dischi si sposta in 2d-1 mosse, allora una torre costruita con d+1 dischi si sposta in 2d+1-1 mosse Aggiungiamo un disco. Quante mosse? Quelle per spostare la torre di d dischi, cioé 2d le mosse per spostare di nuovo la torre di d dischi, cioè 2d d-1 = 2* 2d -1 =

58 Fatto! La proprietà vale per ogni D !!!
fine 2. Dimostro che se la proprietà vale per un numero naturale d allora la proprietà vale per il successivo di d, cioè d+1. Cioé, dimostro che se una torre di d dischi si sposta in 2d-1 mosse, allora una torre costruita con d+1 dischi si sposta in 2d+1-1 mosse Aggiungiamo un disco. Quante mosse? Quelle per spostare la torre di d dischi, cioé 2d le mosse per spostare di nuovo la torre di d dischi, cioè 2d d-1 = 2* 2d -1 = 2d+1 -1 Fatto! La proprietà vale per ogni D !!!

59 fine Facendo una mossa al secondo, quanto tempo almeno sarebbe necessario per ricostruire la Torre di Brahma, con 64 dischi? Il numero di mosse é pari a 264-1, cioé ci vogliono secondi per spostare tutta la Torre E cioè ….(clicca qui)