Quante sono le diagonali di un poligono convesso?

Presentazione sul tema: "Quante sono le diagonali di un poligono convesso?"— Transcript della presentazione:

1 Quante sono le diagonali di un poligono convesso?
fine Quante sono le diagonali di un poligono convesso? Sfondo per le tue presentazioni

2 le diagonali di un poligono (convesso)?
fine Quante sono le diagonali di un poligono (convesso)? M d

3 le diagonali di un poligono (convesso)?
fine Quante sono le diagonali di un poligono (convesso)? M d

4 le diagonali di un poligono (convesso)?
fine Quante sono le diagonali di un poligono (convesso)? M d

5 le diagonali di un poligono (convesso)?
fine Quante sono le diagonali di un poligono (convesso)? M d

6 le diagonali di un poligono (convesso)?
fine Quante sono le diagonali di un poligono (convesso)? M d e poi? ? 1115 ? M ?

7 le diagonali di un poligono (convesso)?
fine Quante sono le diagonali di un poligono (convesso)? Proviamo a produrre una congettura? 3 3 3 x 6 = 18 3 3 3 3

8 le diagonali di un poligono (convesso)?
fine Quante sono le diagonali di un poligono (convesso)? Proviamo a produrre una congettura? 3 3 3 x 6 = 18 ma ogni diagonale è contata due volte! Quindi sono 18 : 2 = 9 3 3 3 3

9 le diagonali di un poligono (convesso)?
fine Quante sono le diagonali di un poligono (convesso)? E in generale? 3 3 3 x 6 = 18 ma ogni diagonale è contata due volte! Quindi sono 18 : 2 = 9 3 3 3 3

10 Quante sono le diagonali di un poligono (convesso)? E in generale?
fine Quante sono le diagonali di un poligono (convesso)? E in generale? 3 M (M - 3) ma ogni diagonale è contata due volte! Quindi sono d = M (M - 3) : 2 3 Ci sono M vertici e da ciascuno escono (M-3) diagonali

11 le diagonali di un poligono (convesso)? CONGETTURA
fine Quante sono le diagonali di un poligono (convesso)? CONGETTURA Se M è il numero dei vertici, il numero delle diagonali è d = M (M - 3) : 2

12 le diagonali di un poligono (convesso)? CONGETTURA
fine Quante sono le diagonali di un poligono (convesso)? CONGETTURA Se un poligono ha M vertici il numero delle diagonali è d = M (M - 3) : 2 Abbiamo una bella congettura. Se fossimo sicuri che è valida, potremmo affermare (senza disegnare) che un poligono con 37 vertici ha 37 x 34 : 2 = 37 x 17 = 629 diagonali

13 le diagonali di un poligono (convesso)? CONGETTURA
fine Quante sono le diagonali di un poligono (convesso)? CONGETTURA Se un poligono ha M vertici il numero delle diagonali è d = M (M - 3) : 2 Abbiamo una bella congettura. Se fossimo sicuri che è valida, potremmo affermare (senza disegnare) che un poligono con 37 vertici ha 37 x 34 : 2 = 37 x 17 = 629 diagonali Come possiamo dimostrare che la congettura vale per ogni M?

14 Principio (o Metodo) di Induzione Matematica (Assioma dell’Induzione)
fine Peano ci aiuta con il Principio (o Metodo) di Induzione Matematica (Assioma dell’Induzione) Il metodo si compone di due passi: 1. Verifica che la proprietà vale per un numero naturale (di solito, si prova per M = 0 o M = 1) 2. Dimostra che se la proprietà vale per un numero naturale m allora la proprietà vale per il successivo di m, cioè m+1 L’assioma afferma che: Se sono soddisfatte queste due condizioni, allora la proprietà vale per ogni numero naturale (a partire dal primo per cui è stata verificata, di solito 0 o 1 ).

15 Principio (o Metodo) di Induzione Matematica? Usiamo alcune metafore:
fine Che idea ‘sta sotto’ il Principio (o Metodo) di Induzione Matematica? Usiamo alcune metafore: la proprietà si propaga da un numero al successivo

16 Principio (o Metodo) di Induzione Matematica? Usiamo alcune metafore:
fine Che idea ‘sta sotto’ il Principio (o Metodo) di Induzione Matematica? Usiamo alcune metafore: la proprietà si propaga da un numero al successivo

17 Principio (o Metodo) di Induzione Matematica? Usiamo alcune metafore:
fine Che idea ‘sta sotto’ il Principio (o Metodo) di Induzione Matematica? Usiamo alcune metafore: la proprietà si propaga da un numero al successivo

18 Principio (o Metodo) di Induzione Matematica? Usiamo alcune metafore:
fine Che idea ‘sta sotto’ il Principio (o Metodo) di Induzione Matematica? Usiamo alcune metafore: la proprietà si propaga da un numero al successivo

19 Principio (o Metodo) di Induzione Matematica? Usiamo alcune metafore:
fine Che idea ‘sta sotto’ il Principio (o Metodo) di Induzione Matematica? Usiamo alcune metafore: la proprietà si propaga da un numero al successivo

20 Principio (o Metodo) di Induzione Matematica? Usiamo alcune metafore:
fine Che idea ‘sta sotto’ il Principio (o Metodo) di Induzione Matematica? Usiamo alcune metafore: la proprietà si propaga da un numero al successivo

21 Principio (o Metodo) di Induzione Matematica? Usiamo alcune metafore:
fine Che idea ‘sta sotto’ il Principio (o Metodo) di Induzione Matematica? Usiamo alcune metafore: la proprietà si propaga da un numero al successivo

22 Principio (o Metodo) di Induzione Matematica? Usiamo alcune metafore:
fine Che idea ‘sta sotto’ il Principio (o Metodo) di Induzione Matematica? Usiamo alcune metafore: la proprietà si propaga da un numero al successivo

23 e così via Che idea ‘sta sotto’ il
fine Che idea ‘sta sotto’ il Principio (o Metodo) di Induzione Matematica? Usiamo alcune metafore: la proprietà si propaga da un numero al successivo e così via

24 Principio (o Metodo) di Induzione Matematica? Usiamo alcune metafore:
fine Che idea ‘sta sotto’ il Principio (o Metodo) di Induzione Matematica? Usiamo alcune metafore: è come quando spingo una tessera del domino che fa cadere via via quelle che la seguono e così via

25 Principio (o Metodo) di Induzione Matematica? Usiamo alcune metafore:
fine Che idea ‘sta sotto’ il Principio (o Metodo) di Induzione Matematica? Usiamo alcune metafore: è come quando spingo una tessera del domino che fa cadere via via quelle che la seguono e così via

26 Principio (o Metodo) di Induzione Matematica
fine Applico nel nostro caso il Principio (o Metodo) di Induzione Matematica 1. Verifico che la proprietà vale per il numero naturale 3 (il primo della tabella) il triangolo non ha diagonali d = 3 (3 - 3) : 2 = 0. OK 2. Dimostro che se la proprietà vale per un numero naturale m allora la proprietà vale per il successivo di m, cioè m+1.  Fatto questo, sarà certo che la formula d = M (M - 3) : 2 vale per un poligono con un numero qualsiasi di vertici M (  3).

27 (m + 1) [(m + 1) - 3] : 2 diagonali
fine Procedo con il passo 2 2. Dimostro che se un poligono con m vertici ha m (m - 3) : 2 diagonali allora un poligono con m + 1 vertici ha (m + 1) [(m + 1) - 3] : 2 diagonali cioè faccio propagare la proprietà da un numero qualsiasi m al suo successivo (m + 1).

28 (m + 1) [(m + 1) - 3] : 2 diagonali
fine 2. Dimostro che se un poligono con m vertici ha m (m - 3) : 2 diagonali allora un poligono con m + 1 vertici ha (m + 1) [(m + 1) - 3] : 2 diagonali cioè faccio propagare la proprietà da un numero qualsiasi m al suo successivo (m + 1). m (m - 3) : 2 diagonali

29 Disegno un altro vertice (m +1)°
fine Disegno un altro vertice (m +1)° 2. Dimostro che se un poligono con m vertici ha m (m - 3) : 2 diagonali allora un poligono con m + 1 vertici ha (m + 1) [(m + 1) - 3] : 2 diagonali cioè faccio propagare la proprietà da un numero qualsiasi m al suo successivo (m + 1). Qui ci sono m (m - 3) diagonali m (m - 3) : 2 diagonali

30 Disegno un altro vertice (m +1)° Quante sono le diagonali?
fine 2. Dimostro che se un poligono con m vertici ha m (m - 3) : 2 diagonali allora un poligono con m + 1 vertici ha (m + 1) [(m + 1) - 3] : 2 diagonali cioè faccio propagare la proprietà da un numero qualsiasi m al suo successivo (m + 1). Disegno un altro vertice (m +1)° Quante sono le diagonali? Qui ci sono m (m - 3) diagonali Qui ci sono m (m - 3) diagonali Qui ci sono m (m - 3):2 diagonali m (m - 3) : 2 diagonali

31 Disegno un altro vertice (m +1)° Quante sono le diagonali?
fine 2. Dimostro che se un poligono con m vertici ha m (m - 3) : 2 diagonali allora un poligono con m + 1 vertici ha (m + 1) [(m + 1) - 3] : 2 diagonali cioè faccio propagare la proprietà da un numero qualsiasi m al suo successivo (m + 1). Disegno un altro vertice (m +1)° Quante sono le diagonali? Quelle di prima: m (m - 3) : 2 Qui ci sono m (m - 3) diagonali Qui ci sono m (m - 3) diagonali Qui ci sono m (m - 3):2 diagonali m (m - 3) : 2 diagonali

32 Disegno un altro vertice (m +1)° Quante sono le diagonali?
fine 2. Dimostro che se un poligono con m vertici ha m (m - 3) : 2 diagonali allora un poligono con m + 1 vertici ha (m + 1) [(m + 1) - 3] : 2 diagonali cioè faccio propagare la proprietà da un numero qualsiasi m al suo successivo (m + 1). Disegno un altro vertice (m +1)° Quante sono le diagonali? Quelle di prima: m (m - 3) : 2 Quelle da (m +1)°: m - 2 Qui ci sono m (m - 3) diagonali Qui ci sono m (m - 3) diagonali Qui ci sono m (m - 3):2 diagonali m (m - 3) : 2 diagonali

33 Disegno un altro vertice (m +1)° Quante sono le diagonali?
fine 2. Dimostro che se un poligono con m vertici ha m (m - 3) : 2 diagonali allora un poligono con m + 1 vertici ha (m + 1) [(m + 1) - 3] : 2 diagonali cioè faccio propagare la proprietà da un numero qualsiasi m al suo successivo (m + 1). Disegno un altro vertice (m +1)° Quante sono le diagonali? Quelle di prima: m (m - 3) : 2 Quelle da (m +1)°: m - 2 il segmento 1m: 1 Qui ci sono m (m - 3) diagonali Qui ci sono m (m - 3) diagonali Qui ci sono m (m - 3) : 2 diagonali Qui ci sono m (m - 3):2 diagonali m (m - 3) : 2 diagonali

34 In tutto sono: m (m - 3) : 2 + (m - 2) + 1 =
fine 2. Dimostro che se un poligono con m vertici ha m (m - 3) : 2 diagonali allora un poligono con m + 1 vertici ha (m + 1) [(m + 1) - 3] : 2 diagonali cioè faccio propagare la proprietà da un numero qualsiasi m al suo successivo (m + 1). In tutto sono: m (m - 3) : 2 + (m - 2) + 1 = [m (m - 3) + 2 (m - 1)] : 2 = [m2 - 3m + 2m - 2] : 2 = [m2 - m - 2] : 2 = (m + 1) (m - 2) : 2 Qui ci sono m (m - 3) diagonali Qui ci sono m (m - 3) diagonali Qui ci sono m (m - 3) : 2 diagonali Qui ci sono m (m - 3):2 diagonali m (m - 3) : 2 diagonali

35 Fatto! La proprietà vale per ogni M !!! In tutto sono:
fine 2. Dimostro che se un poligono con m vertici ha m (m - 3) : 2 diagonali allora un poligono con m + 1 vertici ha (m + 1) [(m + 1) - 3] : 2 diagonali cioè faccio propagare la proprietà da un numero qualsiasi m al suo successivo (m + 1). In tutto sono: m (m - 3) : 2 + (m - 2) + 1 = [m (m - 3) + 2 (m - 1)] : 2 = [m2 - 3m + 2m - 2] : 2 = [m2 - m - 2] : 2 = (m + 1) (m - 2) : 2 = (m + 1) [(m + 1) - 3]: 2 Fatto! La proprietà vale per ogni M !!! Qui ci sono m (m - 3) diagonali Qui ci sono m (m - 3) diagonali Qui ci sono m (m - 3) : 2 diagonali Qui ci sono m (m - 3):2 diagonali